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A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x) में हर (x) पर (y=x) होता है, इसलिए आलेख मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा है। परीक्षा में (x) और (y) के बराबर मान लगाएं। / In (f(x)=x), (y=x) for every (x), so the graph is a straight line through the origin. In exams, test equal (x) and (y) values.
(f(x)=c) में हर (x) के लिए (y) का मान (c) रहता है। इसलिए आलेख (x)-अक्ष के समांतर रेखा (y=c) है। / In (f(x)=c), the value of (y) remains (c) for all (x). So the graph is the horizontal line (y=c).
\(x^2\) हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(y=x^2\) का परवलय ऊपर खुलता है। बिंदु ((0,0)) शीर्ष है। / Since \(x^2\) is always (0) or positive, the parabola \(y=x^2\) opens upward. The point ((0,0)) is the vertex.
\(-x^2\) का मान (0) या ऋणात्मक होता है, इसलिए आलेख नीचे खुला परवलय है। संकेत देखकर दिशा पहचानें। / The value of \(-x^2\) is (0) or negative, so the graph is a downward parabola. Check the sign to identify the direction.
(|-x|=|x|), इसलिए (f(x)=|x|) सम फलन है और (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सममिति जांचने के लिए (x) को (-x) से बदलें। / Since (|-x|=|x|), (f(x)=|x|) is an even function and is symmetric about the (y)-axis. Replace (x) by (-x) to test symmetry.
(x=0) रखने पर \(y=0^3=0\), इसलिए आलेख ((0,0)) से गुजरता है। पहले सरल मान (0) और (1) लगाएं। / Putting (x=0) gives \(y=0^3=0\), so the graph passes through ((0,0)). First test simple values like (0) and (1).
वास्तविक संख्या में \(\sqrt{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\ge 0\)। इसलिए इसका आलेख दाईं ओर से शुरू होता है। / In real numbers, \(\sqrt{x}\) is defined only when \(x\ge 0\). So its graph starts on the right side.
\(\frac{1}{x}\) में हर (x) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (x=0) अनुमति नहीं है। हर को हमेशा जांचें। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator (x) cannot be zero, so (x=0) is not allowed. Always check the denominator.
\(x^2\ge 0\) और (x=0) पर \(x^2=0\), इसलिए न्यूनतम मान (0) है। वर्ग फलन में शीर्ष याद रखें। / Since \(x^2\ge 0\) and \(x^2=0\) at (x=0), the minimum value is (0). Remember the vertex of a square function.
\(|x|\ge 0\) और (x=0) पर (|x|=0), इसलिए न्यूनतम बिंदु ((0,0)) है। यह (V)-आकार का शीर्ष है। / Since \(|x|\ge 0\) and (|x|=0) at (x=0), the minimum point is ((0,0)). It is the vertex of the (V)-shape.
बिंदु जांचने के लिए (x=2) रखें, तो \(y=2^2=4\) मिलता है। हमेशा दिए गए बिंदु को समीकरण में रखें। / To check the point, put (x=2), then \(y=2^2=4\). Always substitute the given point in the equation.
(y=x) पर दोनों निर्देशांक समान होते हैं। ((4,5)) में \(4\neq 5\), इसलिए यह बिंदु आलेख पर नहीं है। / On (y=x), both coordinates are equal. In ((4,5)), \(4\neq 5\), so this point is not on the graph.
(f(-2)=(-2)3=-8), इसलिए सही मान (-8) है। घात विषम हो तो ऋण चिह्न बचता है। / (f(-2)=(-2)3=-8), so the correct value is (-8). For an odd power, the negative sign remains.
((-3)2=9) और \(3^2=9\), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। यह (y)-अक्ष सममिति दिखाता है। / ((-3)2=9) and \(3^2=9\), so both values are equal. This shows symmetry about the (y)-axis.
(f(-1)=-1) और (f(1)=1), इसलिए (f(-1)=-f(1)) है। यह विषम फलन का संकेत है। / (f(-1)=-1) and (f(1)=1), so (f(-1)=-f(1)). This is a sign of an odd function.
रेखा (y=3) में (y) का मान हर (x) के लिए (3) है। इसलिए यह नियत फलन है। / In the line (y=3), the value of (y) is (3) for every (x). So it is a constant function.
A. मूलबिंदु से गुजरती सीधी रेखा/Straight line through (O)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=2x) एक रैखिक फलन है और (x=0) पर (y=0), इसलिए रेखा मूलबिंदु से गुजरती है। गुणांक ढाल बताता है। / (f(x)=2x) is a linear function and at (x=0), (y=0), so the line passes through the origin. The coefficient gives the slope.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0) रखें, तो (y=2) मिलता है। रेखा में (f(0)) प्रतिच्छेद देता है। / For the (y)-intercept, put (x=0), giving (y=2). In a line, (f(0)) gives the intercept.
(x)-अक्ष प्रतिच्छेद पर (y=0), इसलिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है। प्रतिच्छेद में उपयुक्त निर्देशांक शून्य रखें। / At the (x)-intercept, (y=0), so (x-3=0) gives (x=3). For intercepts, set the proper coordinate to zero.
(|x-2|) का न्यूनतम मान तब (0) है जब (x=2), इसलिए शीर्ष ((2,0)) है। अंदर का भाग शून्य करें। / The minimum of (|x-2|) is (0) when (x=2), so the vertex is ((2,0)). Set the inside part equal to zero.
\(x^2+1\) में हर (y) मान (1) बढ़ जाता है। इसलिए पूरा आलेख (1) इकाई ऊपर खिसकता है। / In \(x^2+1\), every (y)-value increases by (1). So the whole graph shifts (1) unit upward.
((x-1)2) का न्यूनतम मान (0) तब है जब (x=1), इसलिए शीर्ष ((1,0)) है। कोष्ठक के अंदर को शून्य करें। / The minimum of ((x-1)2) is (0) when (x=1), so the vertex is ((1,0)). Set the inside of the bracket to zero.
\(\sqrt{x}\) में सबसे छोटा अनुमत (x) मान (0) है और \(\sqrt{0}=0\)। इसलिए आलेख ((0,0)) से शुरू होता है। / In \(\sqrt{x}\), the smallest allowed (x)-value is (0), and \(\sqrt{0}=0\). So the graph starts from ((0,0)).
वास्तविक मान के लिए \(x-4\ge 0\), इसलिए \(x\ge 4\)। अतः आलेख (x=4) से शुरू होता है। / For real values, \(x-4\ge 0\), so \(x\ge 4\). Hence the graph starts at (x=4).
(x) और \(y=\frac{1}{x}\) का चिह्न समान होता है। इसलिए आलेख प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / The signs of (x) and \(y=\frac{1}{x}\) are the same. So the graph lies in the first and third quadrants.
\(x^2\ge 0\), इसलिए (y) का मान (0) या उससे बड़ा होता है। अतः परिसर \([0,\infty\)) है। / Since \(x^2\ge 0\), the value of (y) is (0) or greater. Hence the range is \([0,\infty\)).
\(x^3\) हर वास्तविक (y) मान दे सकता है। इसलिए इसका परिसर (\(-\infty,\infty\)) है। / \(x^3\) can produce every real (y)-value. So its range is (\(-\infty,\infty\)).
\(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। इसलिए परिसर \([0,\infty\)) है। / The value of \(\sqrt{x}\) is always (0) or positive. Hence the range is \([0,\infty\)).
(f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), इसलिए आलेख (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सम फलन की सममिति याद रखें। / Since (f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. Remember symmetry of even functions.
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), इसलिए यह मूलबिंदु के प्रति सममित है। विषम फलन की पहचान (f(-x)=-f(x)) से करें। / Since (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), it is symmetric about the origin. Identify odd functions by (f(-x)=-f(x)).
\(\sqrt{9}=3\), इसलिए (y=3) है। वर्गमूल फलन का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / \(\sqrt{9}=3\), so (y=3). The principal value of the square root function is taken as positive.
(y=(-2)2=4), इसलिए बिंदु ((-2,4)) आलेख पर है। वर्ग करते समय कोष्ठक लगाएं। / (y=(-2)2=4), so the point ((-2,4)) lies on the graph. Use brackets while squaring a negative number.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0), इसलिए (f(0)=02-4=-4)। प्रतिच्छेद में (x=0) रखना न भूलें। / For the (y)-intercept, (x=0), so (f(0)=02-4=-4). Do not forget to put (x=0) for this intercept.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(x^2-4=0\) से \(x=\pm 2\) मिलता है। शून्यक प्रतिच्छेद बताते हैं। / On the (x)-axis, (y=0), so \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm 2\). Zeros give the intercepts.
\(x^2+4\) हमेशा (4) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। अतः आलेख (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+4\) is always (4) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
(x=0) रखने पर (y=0), इसलिए रेखा (y=-x) मूलबिंदु से गुजरती है। रेखीय फलन में सरल बिंदु पहले जांचें। / Putting (x=0) gives (y=0), so the line (y=-x) passes through the origin. Check simple points first in a linear function.
(y=-x) में (x) का गुणांक (-1) है, इसलिए ढाल (-1) है। (y=mx+c) में (m) ढाल होता है। / In (y=-x), the coefficient of (x) is (-1), so the slope is (-1). In (y=mx+c), (m) is the slope.
नियत फलन (f(x)=2) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / The constant function (f(x)=2) is defined for every real (x). Hence its domain is all real numbers.
(x+1) में (y=x) के हर मान में (1) जुड़ता है। इसलिए रेखा (1) इकाई ऊपर खिसकती है। / In (x+1), (1) is added to every value of (y=x). So the line shifts (1) unit upward.
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। ऊर्ध्व खिसकाव को ध्यान में रखें। / The minimum of (|x|) is (0), so the minimum of (|x|+3) is (3). Keep the vertical shift in mind.
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+2\ge 2\)। न्यूनतम मान (2) तब मिलता है जब (x=0)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+2\ge 2\). The minimum value (2) occurs when (x=0).
(y=0) पर सभी बिंदु (x)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए रेखा (y=0) ही (x)-अक्ष है। / All points with (y=0) lie on the (x)-axis. Therefore the line (y=0) is the (x)-axis.
(x=0) पर सभी बिंदु (y)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए रेखा (x=0) ही (y)-अक्ष है। / All points with (x=0) lie on the (y)-axis. Therefore the line (x=0) is the (y)-axis.
A. (g) का आलेख (5) इकाई ऊपर है/Graph of (g) is (5) units up
Explanation
Simple Explanation
(g(x)=f(x)+5), इसलिए हर (y) मान (5) बढ़ता है। अतः आलेख (5) इकाई ऊपर खिसकता है। / Since (g(x)=f(x)+5), every (y)-value increases by (5). Hence the graph shifts (5) units upward.
(|-4|=4), इसलिए ((-4,4)) आलेख पर स्थित है। बिंदु जांचते समय (y=|x|) में (x) रखें। / (|-4|=4), so ((-4,4)) lies on the graph. To check a point, substitute (x) in (y=|x|).
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\), क्योंकि यह (2.7) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऐसे आलेख में सीढ़ीनुमा भाग याद रखें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\), because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). Remember the step-like shape of this graph.
\(\frac{1}{x^2}\) में हर \(x^2\) है, इसलिए (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा। भिन्न वाले फलन में हर को पहले जांचें। / In \(\frac{1}{x^2}\), the denominator is \(x^2\), so at (x=0) the denominator becomes zero. In fractional functions, check the denominator first.
(-|x|) का आलेख ( |x| ) का (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है और शीर्ष ((0,0)) ही रहता है। ऋण चिह्न से (V)-आकार नीचे की ओर खुलता है। / The graph of (-|x|) is the reflection of (|x|) in the (x)-axis, and the vertex remains ((0,0)). The negative sign makes the (V)-shape open downward.
साइनम फलन में (x>0) के लिए मान (1) होता है। ग्राफ में दाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=1) याद रखें। / In the signum function, the value is (1) for (x>0). Remember the right-side horizontal line (y=1) in the graph.
साइनम फलन में (x<0) के लिए मान (-1) होता है। ग्राफ में बाईं ओर क्षैतिज रेखा (y=-1) होती है। / In the signum function, the value is (-1) for (x<0). In the graph, the left side is the horizontal line (y=-1).
साइनम फलन में (x=0) पर मान (0) होता है। यह बिंदु ग्राफ में अलग से ध्यान देने योग्य है। / In the signum function, the value at (x=0) is (0). This point should be noticed separately in the graph.
साइनम फलन केवल (-1), (0) और (1) मान देता है। इसलिए इसका परिसर ({-1,0,1}) है। / The signum function gives only the values (-1), (0), and (1). So its range is ({-1,0,1}).
\(\lfloor 3.2\rfloor=3\), क्योंकि यह (3.2) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ग्रेटेस्ट इंटीजर ग्राफ सीढ़ीनुमा होता है। / \(\lfloor 3.2\rfloor=3\), because it is the greatest integer less than or equal to (3.2). The greatest integer graph is step-like.
\(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), क्योंकि (-2) इससे छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऋणात्मक दशमलव में सावधानी रखें। / \(\lfloor -1.4\rfloor=-2\), because (-2) is the greatest integer less than or equal to it. Be careful with negative decimals.
हर \(x\in[2,3\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=2\) होता है। इसलिए इस हिस्से में ग्राफ क्षैतिज रेखा (y=2) है। / For every \(x\in[2,3\)), \(\lfloor x\rfloor=2\). So this part of the graph is the horizontal line (y=2).
\(\lfloor x\rfloor\) प्रत्येक ([n,n+1)) पर स्थिर रहता है। इसलिए इसका आलेख सीढ़ीनुमा बनता है। / \(\lfloor x\rfloor\) remains constant on each ([n,n+1)). Therefore its graph is step-like.
\(x^2\) का सबसे छोटा मान (0) है और यह (x=0) पर मिलता है। इसलिए शीर्ष ((0,0)) है। / The smallest value of \(x^2\) is (0), and it occurs at (x=0). So the vertex is ((0,0)).
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-3\ge -3\)। न्यूनतम मान (-3) तब मिलता है जब (x=0)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-3\ge -3\). The minimum value (-3) occurs when (x=0).
(|x+1|) का मान (0) तब होता है जब (x=-1)। इसलिए (V)-आकार का शीर्ष ((-1,0)) है। / The value of (|x+1|) is (0) when (x=-1). So the vertex of the (V)-shape is ((-1,0)).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|-2) का न्यूनतम मान (-2) है। ग्राफ (2) इकाई नीचे खिसकता है। / The minimum value of (|x|) is (0), so the minimum value of (|x|-2) is (-2). The graph shifts (2) units down.
(|x-3|) शून्य (x=3) पर होता है और ऋण चिह्न दिशा बदलता है। शीर्ष फिर भी ((3,0)) रहता है। / (|x-3|) becomes zero at (x=3), and the negative sign changes direction. The vertex still remains ((3,0)).
(y=|x|) में (y) ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए ((-3,-3)) इस आलेख पर नहीं है। / In (y=|x|), (y) cannot be negative. Therefore ((-3,-3)) is not on this graph.
(f(-x)=-f(x)), इसलिए \(x^3\) विषम फलन है। इसका आलेख मूलबिंदु के प्रति सममित होता है। / Since (f(-x)=-f(x)), \(x^3\) is an odd function. Its graph is symmetric about the origin.
\(x^3+1\) में हर (y)-मान (1) बढ़ जाता है। इसलिए ग्राफ (1) इकाई ऊपर खिसकता है। / In \(x^3+1\), every (y)-value increases by (1). So the graph shifts (1) unit up.
((x-1)3) में अंदर (x-1) है, इसलिए ग्राफ (1) इकाई दाईं ओर खिसकता है। अंदर का बदलाव दिशा उलटी दिखाता है। / In ((x-1)3), the inside term is (x-1), so the graph shifts (1) unit right. An inside change shows the opposite direction.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(x+2\ge 0\) होना चाहिए। इसलिए डोमेन \(x\ge -2\) है। / For a real square root, \(x+2\ge 0\) is required. Hence the domain is \(x\ge -2\).
\(\sqrt{x}\ge 0\), इसलिए \(\sqrt{x}+4\ge 4\)। न्यूनतम मान (4) (x=0) पर मिलता है। / Since \(\sqrt{x}\ge 0\), \(\sqrt{x}+4\ge 4\). The minimum value (4) occurs at (x=0).
\(\sqrt{x-1}\) में (x-1=0) से (x=1) मिलता है। इसलिए ग्राफ ((1,0)) से शुरू होता है। / In \(\sqrt{x-1}\), (x-1=0) gives (x=1). So the graph starts from ((1,0)).
\(\sqrt{4}=2\), इसलिए ((4,2)) आलेख पर है। वर्गमूल फलन में (y) ऋणात्मक नहीं होता। / Since \(\sqrt{4}=2\), ((4,2)) lies on the graph. In the square root function, (y) is not negative.
हर (x+1) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं रहता। इसलिए (x=-1) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / When the denominator (x+1) becomes zero, the function is not defined. So (x=-1) is the vertical asymptote.
\(\frac{1}{x}\) का मान बड़े (x) पर (0) के पास जाता है। इसलिए \(\frac{1}{x}+2\) का क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=2) है। / The value of \(\frac{1}{x}\) approaches (0) for large (x). So the horizontal asymptote of \(\frac{1}{x}+2\) is (y=2).
वृत्त \(x^2+y^2=1\) में कुछ (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / The circle \(x^2+y^2=1\) gives two (y)-values for some (x)-values. So it fails the vertical line test.
A. हर ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटे/Each vertical line cuts at at most one point
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रत्येक (x) के लिए केवल एक (y) होना चाहिए। इसलिए ऊर्ध्व रेखा अधिकतम एक बिंदु पर काटती है। / A function must have only one (y) for each (x). Therefore a vertical line cuts it at at most one point.
\(2^2=4\) और ((-2)2=4), इसलिए दोनों मान बराबर हैं। यह (y)-अक्ष सममिति दिखाता है। / Since \(2^2=4\) and ((-2)2=4), both values are equal. This shows (y)-axis symmetry.
((-2)3=-8) और \(2^3=8\), इसलिए (f(-2)=-f(2))। यह मूलबिंदु सममिति का संकेत है। / Since ((-2)3=-8) and \(2^3=8\), (f(-2)=-f(2)). This indicates origin symmetry.
\(x^2=0\) केवल (x=0) पर होता है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को ((0,0)) पर स्पर्श करता है। / \(x^2=0\) only at (x=0). So the graph touches the (x)-axis at ((0,0)).
(|x|) ऋणात्मक (x) को धनात्मक दूरी में बदल देता है। इसलिए ग्राफ (V)-आकार का होता है। / (|x|) changes negative (x)-values into positive distance values. Therefore the graph is (V)-shaped.
\(y=x^2\) का आलेख ऊपर खुला (U)-आकार का परवलय है। शीर्ष ((0,0)) पर रहता है। / The graph of \(y=x^2\) is an upward-opening (U)-shaped parabola. Its vertex is at ((0,0)).
(y=x) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए रेखा प्रथम और तृतीय चतुर्थांश से गुजरती है। / In (y=x), (x) and (y) have the same sign. So the line passes through the first and third quadrants.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए (x+4=0) से (x=-4) मिलता है। शून्यक ही (x)-प्रतिच्छेद होता है। / On the (x)-axis, (y=0), so (x+4=0) gives (x=-4). The zero gives the (x)-intercept.
(2x-6=0) से (2x=6), इसलिए (x=3) मिलता है। (x)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (y=0) रखें। / From (2x-6=0), we get (2x=6), so (x=3). Put (y=0) for the (x)-intercept.
\(x^2+6\) हमेशा (6) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) संभव नहीं। अतः ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+6\) is always (6) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
(|x+2|) शून्य (x=-2) पर होता है और फिर (3) घटता है। इसलिए शीर्ष ((-2,-3)) है। / (|x+2|) becomes zero at (x=-2), and then (3) is subtracted. So the vertex is ((-2,-3)).
\(\sqrt{x}\) का ग्राफ ((0,0)) से शुरू होता है और (1) इकाई ऊपर खिसकता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((0,1)) है। / The graph of \(\sqrt{x}\) starts at ((0,0)) and shifts (1) unit up. Therefore the starting point is ((0,1)).
(x)-अक्ष में प्रतिबिंब से हर (y)-मान का चिह्न बदल जाता है। इसलिए (y=|x|) बदलकर (y=-|x|) बनता है। / Reflection in the (x)-axis changes the sign of every (y)-value. So (y=|x|) becomes (y=-|x|).
\(\sqrt{x-3}\) के लिए (x-3=0) से (x=3) मिलता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((3,2)) है। / For \(\sqrt{x-3}\), (x-3=0) gives (x=3), and the outside (2) is added. So the starting point is ((3,2)).
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x-4}\) का मान (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=0) है। / For large (|x|), the value of \(\frac{1}{x-4}\) approaches (0). Therefore the horizontal asymptote is (y=0).
(x=0) रखने पर (y=5) मिलता है। नियत फलन का (y)-अक्ष प्रतिच्छेद वही नियत मान होता है। / Putting (x=0) gives (y=5). The (y)-intercept of a constant function is the constant value itself.
(y=-2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=-2), (y) is fixed and (x) varies. So it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
\(3^2=9\), इसलिए ((3,9)) आलेख पर स्थित है। बिंदु जांचने के लिए (y=f(x)) में (x) रखें। / Since \(3^2=9\), ((3,9)) lies on the graph. To check a point, put (x) in (y=f(x)).
क्योंकि \(-x^2\le 0\), इसलिए \(-x^2+1\le 1\)। अधिकतम मान (1) (x=0) पर मिलता है। / Since \(-x^2\le 0\), \(-x^2+1\le 1\). The maximum value (1) occurs at (x=0).
((x+3)2) शून्य (x=-3) पर होता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए शीर्ष ((-3,2)) है। / ((x+3)2) becomes zero at (x=-3) and (2) is added outside. So the vertex is ((-3,2)).
अंदर (x+5) होने से ग्राफ (5) इकाई बाईं ओर खिसकता है। अंदर का चिन्ह दिशा उलटी बताता है। / The inside term (x+5) shifts the graph (5) units left. The inside sign shows the opposite direction.
(2|x|) में हर (y)-मान दोगुना हो जाता है। इसलिए ग्राफ ऊर्ध्व रूप से खिंचता है। / In (2|x|), every (y)-value becomes double. So the graph is vertically stretched.
\(\sqrt{x+4}\) में (x+4=0) से (x=-4) मिलता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-4,0)) है। / In \(\sqrt{x+4}\), (x+4=0) gives (x=-4). So the starting point is ((-4,0)).
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(x-5\ge 0\) चाहिए। इसलिए डोमेन \(x\ge 5\) है। / For a real square root, \(x-5\ge 0\) is required. Hence the domain is \(x\ge 5\).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। ((-1,1)) में (x=-1) है इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर नहीं है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) is required. In ((-1,1)), (x=-1), so this point is not on the graph.
बाहर (-2) होने से हर (y)-मान (2) कम हो जाता है। इसलिए ग्राफ (2) इकाई नीचे खिसकता है। / The outside (-2) decreases every (y)-value by (2). So the graph shifts (2) units down.
अंदर (x+2) होने से ग्राफ (2) इकाई बाईं ओर जाता है। क्षैतिज खिसकाव में चिन्ह उल्टा होता है। / The inside term (x+2) shifts the graph (2) units left. In horizontal shifts, the sign is opposite.
बाहर ऋण चिह्न हर (y)-मान का चिह्न बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है। / The outside negative sign changes the sign of every (y)-value. So it is a reflection in the (x)-axis.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए \(\frac{1}{x}+4\) कभी (4) नहीं होता। अतः (4) को छोड़कर सभी मान मिलते हैं। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so \(\frac{1}{x}+4\) is never (4). Thus all values except (4) are obtained.
\(\frac{2}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए ग्राफ प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{2}{x}\), (x) and (y) have the same sign. So the graph lies in the first and third quadrants.
\(\frac{-3}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। इसलिए ग्राफ द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{-3}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. So the graph lies in the second and fourth quadrants.
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x^2}\) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=1) है। / For large (|x|), \(\frac{1}{x^2}\) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=1).
(x=5) पर (x-2=3>0), इसलिए साइनम मान (1) है। पहले अंदर की मात्रा का चिह्न देखें। / At (x=5), (x-2=3>0), so the signum value is (1). First check the sign of the inside expression.
(x=-1) पर (x+1=0), इसलिए (\operatorname{sgn}(0)=0)। साइनम में शून्य का मान अलग होता है। / At (x=-1), (x+1=0), so (\operatorname{sgn}(0)=0). In signum, the value at zero is separate.
जब (x) पूर्णांक हो तो \(\lfloor x\rfloor=x\) होता है। इसलिए \(\lfloor 4\rfloor=4\)। / When (x) is an integer, \(\lfloor x\rfloor=x\). Therefore \(\lfloor 4\rfloor=4\).
पूर्णांक इनपुट पर ग्रेटेस्ट इंटीजर फलन वही संख्या देता है। इसलिए \(\lfloor -3\rfloor=-3\) है। / For an integer input, the greatest integer function gives the same number. So \(\lfloor -3\rfloor=-3\).
\(\lfloor 0.8\rfloor=0\), क्योंकि (0.8) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या (0) है। दशमलव में नीचे की पूर्णांक संख्या लें। / \(\lfloor 0.8\rfloor=0\), because (0) is the greatest integer less than or equal to (0.8). For decimals, take the lower integer.
हर \(x\in[-1,0\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=-1\)। इसलिए इस भाग में (y=-1) रहता है। / For every \(x\in[-1,0\)), \(\lfloor x\rfloor=-1\). So (y=-1) on this part.
भिन्नात्मक भाग हमेशा (0) से कम नहीं और (1) से कम होता है। इसलिए परिसर ([0,1)) है। / The fractional part is never less than (0) and is always less than (1). So the range is ([0,1)).
(|x-2|) शून्य (x=2) पर होता है और बाहर (1) जुड़ता है। इसलिए शीर्ष ((2,1)) है। / (|x-2|) becomes zero at (x=2) and (1) is added outside. So the vertex is ((2,1)).
(|x+3|) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए (|x+3|-2) का न्यूनतम मान (-2) है। / The minimum value of (|x+3|) is (0). Therefore the minimum value of (|x+3|-2) is (-2).
क्योंकि \(-|x|\le 0\), इसलिए \(-|x|+6\le 6\)। अधिकतम मान (6) (x=0) पर मिलता है। / Since \(-|x|\le 0\), \(-|x|+6\le 6\). The maximum value (6) occurs at (x=0).
\(x^3\) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / \(x^3\) is defined for every real (x). Therefore its domain is all real numbers.
\(\sqrt{x-2}\) (x=2) से शुरू होता है और बाहर (5) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((2,5)) है। / \(\sqrt{x-2}\) starts at (x=2), and (5) is added outside. So the starting point is ((2,5)).
\(\sqrt{x+1}\) (x=-1) से शुरू होता है और बाहर (3) घटता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-1,-3)) है। / \(\sqrt{x+1}\) starts at (x=-1), and (3) is subtracted outside. So the starting point is ((-1,-3)).
हर (x+5) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं होता। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / The function is not defined when the denominator (x+5) is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x-1}\) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=-2) है। / For large (|x|), \(\frac{1}{x-1}\) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=-2).
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x))। इसलिए \(x^3\) का आलेख मूलबिंदु के प्रति सममित है। / (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)). So the graph of \(x^3\) is symmetric about the origin.
वृत्त \(x^2+y^2=4\) में कई (x)-मानों पर दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह फलन का आलेख नहीं है। / The circle \(x^2+y^2=4\) gives two (y)-values for many (x)-values. So it is not the graph of a function.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(9-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(x\le 9\)। वर्गमूल वाले ग्राफ में अंदर की राशि को (0) या धनात्मक रखें। / For a real square root, \(9-x\ge 0\) is required, so \(x\le 9\). In square root graphs, keep the inside expression (0) or positive.
