Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x=0) रखने पर (y=5) मिलता है। नियत फलन का (y)-अक्ष प्रतिच्छेद वही नियत मान होता है। / Putting (x=0) gives (y=5). The (y)-intercept of a constant function is the constant value itself.
(y=-2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा है। / In (y=-2), (y) is fixed and (x) varies. So it is a horizontal line parallel to the (x)-axis.
\(3^2=9\), इसलिए ((3,9)) आलेख पर स्थित है। बिंदु जांचने के लिए (y=f(x)) में (x) रखें। / Since \(3^2=9\), ((3,9)) lies on the graph. To check a point, put (x) in (y=f(x)).
क्योंकि \(-x^2\le 0\), इसलिए \(-x^2+1\le 1\)। अधिकतम मान (1) (x=0) पर मिलता है। / Since \(-x^2\le 0\), \(-x^2+1\le 1\). The maximum value (1) occurs at (x=0).
((x+3)2) शून्य (x=-3) पर होता है और बाहर (2) जुड़ता है। इसलिए शीर्ष ((-3,2)) है। / ((x+3)2) becomes zero at (x=-3) and (2) is added outside. So the vertex is ((-3,2)).
अंदर (x+5) होने से ग्राफ (5) इकाई बाईं ओर खिसकता है। अंदर का चिन्ह दिशा उलटी बताता है। / The inside term (x+5) shifts the graph (5) units left. The inside sign shows the opposite direction.
(2|x|) में हर (y)-मान दोगुना हो जाता है। इसलिए ग्राफ ऊर्ध्व रूप से खिंचता है। / In (2|x|), every (y)-value becomes double. So the graph is vertically stretched.
\(\sqrt{x+4}\) में (x+4=0) से (x=-4) मिलता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-4,0)) है। / In \(\sqrt{x+4}\), (x+4=0) gives (x=-4). So the starting point is ((-4,0)).
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(x-5\ge 0\) चाहिए। इसलिए डोमेन \(x\ge 5\) है। / For a real square root, \(x-5\ge 0\) is required. Hence the domain is \(x\ge 5\).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। ((-1,1)) में (x=-1) है इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर नहीं है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge 0\) is required. In ((-1,1)), (x=-1), so this point is not on the graph.
बाहर (-2) होने से हर (y)-मान (2) कम हो जाता है। इसलिए ग्राफ (2) इकाई नीचे खिसकता है। / The outside (-2) decreases every (y)-value by (2). So the graph shifts (2) units down.
अंदर (x+2) होने से ग्राफ (2) इकाई बाईं ओर जाता है। क्षैतिज खिसकाव में चिन्ह उल्टा होता है। / The inside term (x+2) shifts the graph (2) units left. In horizontal shifts, the sign is opposite.
बाहर ऋण चिह्न हर (y)-मान का चिह्न बदलता है। इसलिए यह (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है। / The outside negative sign changes the sign of every (y)-value. So it is a reflection in the (x)-axis.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता इसलिए \(\frac{1}{x}+4\) कभी (4) नहीं होता। अतः (4) को छोड़कर सभी मान मिलते हैं। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so \(\frac{1}{x}+4\) is never (4). Thus all values except (4) are obtained.
\(\frac{2}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न समान होते हैं। इसलिए ग्राफ प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{2}{x}\), (x) and (y) have the same sign. So the graph lies in the first and third quadrants.
\(\frac{-3}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। इसलिए ग्राफ द्वितीय और चतुर्थ चतुर्थांश में होता है। / In \(\frac{-3}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. So the graph lies in the second and fourth quadrants.
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x^2}\) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=1) है। / For large (|x|), \(\frac{1}{x^2}\) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=1).
(x=5) पर (x-2=3>0), इसलिए साइनम मान (1) है। पहले अंदर की मात्रा का चिह्न देखें। / At (x=5), (x-2=3>0), so the signum value is (1). First check the sign of the inside expression.
(x=-1) पर (x+1=0), इसलिए (\operatorname{sgn}(0)=0)। साइनम में शून्य का मान अलग होता है। / At (x=-1), (x+1=0), so (\operatorname{sgn}(0)=0). In signum, the value at zero is separate.
जब (x) पूर्णांक हो तो \(\lfloor x\rfloor=x\) होता है। इसलिए \(\lfloor 4\rfloor=4\)। / When (x) is an integer, \(\lfloor x\rfloor=x\). Therefore \(\lfloor 4\rfloor=4\).
पूर्णांक इनपुट पर ग्रेटेस्ट इंटीजर फलन वही संख्या देता है। इसलिए \(\lfloor -3\rfloor=-3\) है। / For an integer input, the greatest integer function gives the same number. So \(\lfloor -3\rfloor=-3\).
\(\lfloor 0.8\rfloor=0\), क्योंकि (0.8) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या (0) है। दशमलव में नीचे की पूर्णांक संख्या लें। / \(\lfloor 0.8\rfloor=0\), because (0) is the greatest integer less than or equal to (0.8). For decimals, take the lower integer.
हर \(x\in[-1,0\)) के लिए \(\lfloor x\rfloor=-1\)। इसलिए इस भाग में (y=-1) रहता है। / For every \(x\in[-1,0\)), \(\lfloor x\rfloor=-1\). So (y=-1) on this part.
भिन्नात्मक भाग हमेशा (0) से कम नहीं और (1) से कम होता है। इसलिए परिसर ([0,1)) है। / The fractional part is never less than (0) and is always less than (1). So the range is ([0,1)).
(|x-2|) शून्य (x=2) पर होता है और बाहर (1) जुड़ता है। इसलिए शीर्ष ((2,1)) है। / (|x-2|) becomes zero at (x=2) and (1) is added outside. So the vertex is ((2,1)).
(|x+3|) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए (|x+3|-2) का न्यूनतम मान (-2) है। / The minimum value of (|x+3|) is (0). Therefore the minimum value of (|x+3|-2) is (-2).
क्योंकि \(-|x|\le 0\), इसलिए \(-|x|+6\le 6\)। अधिकतम मान (6) (x=0) पर मिलता है। / Since \(-|x|\le 0\), \(-|x|+6\le 6\). The maximum value (6) occurs at (x=0).
\(x^3\) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / \(x^3\) is defined for every real (x). Therefore its domain is all real numbers.
\(\sqrt{x-2}\) (x=2) से शुरू होता है और बाहर (5) जुड़ता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((2,5)) है। / \(\sqrt{x-2}\) starts at (x=2), and (5) is added outside. So the starting point is ((2,5)).
\(\sqrt{x+1}\) (x=-1) से शुरू होता है और बाहर (3) घटता है। इसलिए प्रारंभिक बिंदु ((-1,-3)) है। / \(\sqrt{x+1}\) starts at (x=-1), and (3) is subtracted outside. So the starting point is ((-1,-3)).
हर (x+5) शून्य होने पर फलन परिभाषित नहीं होता। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्व आसिम्प्टोट है। / The function is not defined when the denominator (x+5) is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
बड़े (|x|) पर \(\frac{1}{x-1}\) (0) के पास जाता है। इसलिए क्षैतिज आसिम्प्टोट (y=-2) है। / For large (|x|), \(\frac{1}{x-1}\) approaches (0). So the horizontal asymptote is (y=-2).
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x))। इसलिए \(x^3\) का आलेख मूलबिंदु के प्रति सममित है। / (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)). So the graph of \(x^3\) is symmetric about the origin.
वृत्त \(x^2+y^2=4\) में कई (x)-मानों पर दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह फलन का आलेख नहीं है। / The circle \(x^2+y^2=4\) gives two (y)-values for many (x)-values. So it is not the graph of a function.
वास्तविक वर्गमूल के लिए \(9-x\ge 0\) चाहिए, इसलिए \(x\le 9\)। वर्गमूल वाले ग्राफ में अंदर की राशि को (0) या धनात्मक रखें। / For a real square root, \(9-x\ge 0\) is required, so \(x\le 9\). In square root graphs, keep the inside expression (0) or positive.
