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वर्गमूल से \(x+1\ge 0\) और हर से \(x-2\ne 0\) चाहिए। इसलिए डोमेन \([-1,\infty\)\setminus{2}) है। / The square root needs \(x+1\ge 0\) and the denominator needs \(x-2\ne 0\). Hence the domain is \([-1,\infty\)\setminus{2}).
वर्गमूल के लिए \(5-x\ge 0\) और हर के लिए \(x+3\ne 0\) चाहिए। परीक्षा में दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The square root needs \(5-x\ge 0\) and the denominator needs \(x+3\ne 0\). In exams take the intersection of both conditions.
वर्गमूल के अंदर \(x^2-9\ge 0\) होना चाहिए। \(x^2\ge 9\) से बाहरी अंतराल मिलते हैं। / The expression inside the square root must satisfy \(x^2-9\ge 0\). From \(x^2\ge 9\), we get the outer intervals.
हर में वर्गमूल है इसलिए \(16-x^2>0\) चाहिए। परीक्षा में हर वाले वर्गमूल में बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so \(16-x^2>0\) is required. In exams do not include equality for a denominator square root.
हर (x-2-16=(x-4)(x+4)) है इसलिए \(x=\pm4\) हटेंगे। परीक्षा में काटने से पहले मूल हर की रोक लगाएं। / The denominator is (x-2-16=(x-4)(x+4)), so \(x=\pm4\) are excluded. In exams apply restrictions from the original denominator before cancellation.
हर (x-2-x-20=(x-5)(x+4)) है इसलिए \(x\ne5\) और \(x\ne-4\)। परीक्षा में denominator को गुणनखंड करें। / The denominator (x-2-x-20=(x-5)(x+4)), so \(x\ne5\) and \(x\ne-4\). In exams factorize the denominator.
दोनों शर्तें \(x-2\ge0\) और \(9-x\ge0\) मिलकर \(2\le x\le9\) देती हैं। परीक्षा में दो वर्गमूल हों तो common interval लें। / The two conditions \(x-2\ge0\) and \(9-x\ge0\) together give \(2\le x\le9\). In exams take the common interval for two square roots.
हर (x-2-4x+5=(x-2)2+1) कभी (0) नहीं होता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाकर हर की न्यूनतम वैल्यू जांचें। / The denominator (x-2-4x+5=(x-2)2+1) is never (0). In exams complete the square to check the minimum denominator value.
वर्गमूल के लिए \(15-5x\ge0\) से \(x\le3\) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता बदलती है। / The square root needs \(15-5x\ge0\), giving \(x\le3\). In exams the inequality reverses when dividing by a negative coefficient.
वर्गमूल के अंदर ((x+1)(x-5)\ge0) होना चाहिए। संकेत तालिका से बाहरी अंतराल सही मिलते हैं। / The expression inside the square root must satisfy ((x+1)(x-5)\ge0). A sign table gives the correct outer intervals.
(x-2+8x+18=(x+4)2+2), इसलिए न्यूनतम (2) है। परीक्षा में quadratic की रेंज के लिए पूर्ण वर्ग विधि उपयोगी है। / (x-2+8x+18=(x+4)2+2), so the minimum is (2). In exams completing the square is useful for the range of a quadratic.
क्योंकि ((x-3)2\ge0), इसलिए (7-(x-3)2\le7)। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय की maximum value पहचानें। / Since ((x-3)2\ge0), (7-(x-3)2\le7). In exams identify the maximum value of a downward-opening parabola.
\(|x+4|\ge0\), इसलिए \(|x+4|-5\ge-5\)। परीक्षा में मापांक का minimum उसके zero point पर मिलता है। / \(|x+4|\ge0\), so \(|x+4|-5\ge-5\). In exams the minimum of modulus occurs at its zero point.
(|x-1|) की न्यूनतम वैल्यू (0) है, इसलिए (f(x)\ge2)। परीक्षा में बाहर जोड़ा गया (2) minimum को ऊपर करता है। / The minimum value of (|x-1|) is (0), so (f(x)\ge2). In exams the outside added (2) shifts the minimum upward.
\(\sqrt{x+9}\ge0\), इसलिए \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\)। परीक्षा में वर्गमूल की basic range पर vertical shift लगाएं। / \(\sqrt{x+9}\ge0\), so \(\sqrt{x+9}-4\ge-4\). In exams apply the vertical shift to the basic square-root range.
\(\sqrt{x+2}\ge0\), इसलिए \(6-\sqrt{x+2}\le6\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative sign रेंज की दिशा बदलता है। / \(\sqrt{x+2}\ge0\), so \(6-\sqrt{x+2}\le6\) and can decrease without bound. In exams a negative sign changes the direction of the range.
हर \(x^2+9\) की न्यूनतम वैल्यू (9) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{9}\) है। (0) केवल सीमा है, प्राप्त वैल्यू नहीं। / The denominator \(x^2+9\) has minimum value (9), so the maximum output is \(\frac{1}{9}\). (0) is only a limiting value, not an attained value.
\(\frac{4}{x^2+5}\) की रेंज ( \(0,\frac{4}{5}]\) है। इसमें (-1) जोड़ने पर (\(-1,-\frac{1}{5}]\) मिलता है। / The range of \(\frac{4}{x^2+5}\) is ( \(0,\frac{4}{5}]\). Adding (-1) gives (\(-1,-\frac{1}{5}]\).
(x-2+2x-8=(x+1)2-9), इसलिए न्यूनतम (-9) है। परीक्षा में quadratic को पूर्ण वर्ग में बदलें। / (x-2+2x-8=(x+1)2-9), so the minimum is (-9). In exams convert the quadratic into a perfect square.
((x+2)2\ge0), इसलिए (10-(x+2)2\le10)। परीक्षा में maximum तब आता है जब squared term (0) हो। / ((x+2)2\ge0), so (10-(x+2)2\le10). In exams the maximum occurs when the squared term is (0).
अंतराल ([-4,1]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) और अधिकतम (16) है। परीक्षा में endpoints के साथ vertex भी जांचें। / The interval ([-4,1]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (16). In exams check the vertex along with endpoints.
डोमेन \([-6,-2]\) में सभी मान ऋणात्मक हैं। फलन \(f(x)=x^2\) के लिए \(-6\) पर मान \(36\) और \(-2\) पर मान \(4\) मिलता है। चूँकि वर्गफल इस पूरे अंतराल में \(4\) से \(36\) तक सभी मान ग्रहण करता है, इसलिए रेंज \([4,36]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(0\) प्राप्त करने के लिए \(x=0\) चाहिए, जो डोमेन में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सतत फलन की रेंज ज्ञात करने के लिए अंतराल के सिरों और आवश्यक चरम मानों की जाँच करें। / Every value in the domain \([-6,-2]\) is negative. For \(f(x)=x^2\), the endpoint values are \(f(-6)=36\) and \(f(-2)=4\). Since squaring takes all intermediate values on this interval, the range is \([4,36]\). Option B is incorrect because obtaining \(0\) would require \(x=0\), which is not in the domain. Exam tip: For a continuous function on a closed interval, check the endpoint values and any relevant extreme values to determine the range.
(3x-2) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। खुले endpoint (-1) से (-5) खुलेगा और (5) से (13) शामिल होगा। / (3x-2) is an increasing linear function. The open endpoint (-1) gives open (-5) and (5) gives included (13).
फलन घटता है, इसलिए (x=1) पर (2) और \(x\to6\) पर (-8) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में endpoints का क्रम बदलें। / The function is decreasing, so at (x=1) it gives (2) and as \(x\to6\) it approaches (-8), not included. In exams reverse endpoint order for a decreasing function.
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और सबसे बड़ा मापांक (7) है। परीक्षा में interval में (0) है या नहीं देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0) and the largest modulus is (7). In exams check whether the interval contains (0).
डोमेन ([1,5]) में प्रत्येक x+2 धनात्मक है, इसलिए |x+2|=x+2। यह फलन इस अंतराल पर बढ़ता है; अतः f(1)=3 और f(5)=7। इसलिए रेंज ([3,7]) है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे फलन में पहले डोमेन पर निरपेक्ष मान के अंदर की राशि का चिह्न जाँचें, फिर endpoints के मान निकालें। / For every x in the domain ([1,5]), x+2 is positive, so |x+2|=x+2. The function increases on this interval, with f(1)=3 and f(5)=7. Hence the range is ([3,7]). Exam tip: first check the sign of the expression inside the modulus on the given domain, then evaluate the endpoint values.
\(\sqrt{x-1}\) बढ़ता है, इसलिए endpoints पर वैल्यू (0) और (3) हैं। परीक्षा में बंद अंतराल के endpoints शामिल करें। / \(\sqrt{x-1}\) is increasing, so endpoint values are (0) and (3). In exams include endpoints of a closed interval.
धनात्मक अंतराल पर \(\frac{1}{x+1}\) घटता है। (x=1) और (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{4}\) मिलते हैं। / On the positive interval, \(\frac{1}{x+1}\) decreases. At (x=1) and (x=3), values are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{x+6}\) कभी (0) नहीं हो सकता। परीक्षा में horizontal shift से reciprocal की excluded range value नहीं बदलती। / \(\frac{1}{x+6}\) can never be (0). In exams a horizontal shift does not change the excluded range value of a reciprocal.
\(\frac{5}{x-2}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (1) आउटपुट नहीं मिलता। परीक्षा में vertical shift से excluded value बदलती है। / \(\frac{5}{x-2}\) is never (0), so output (1) is not obtained. In exams a vertical shift changes the excluded value.
डोमेन पर अंदर की वैल्यू (0) से (9) तक हो सकती है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,3]) है। / On the domain, the inside value can vary from (0) to (9). Hence the square-root range is ([0,3]).
अंदर की अधिकतम वैल्यू (36) है और न्यूनतम (0) हो सकती है। इसलिए (f(x)) की रेंज ([0,6]) है। / The maximum inside value is (36) and the minimum can be (0). Therefore the range of (f(x)) is ([0,6]).
अंदर (x-2-2x+10=(x-1)2+9) है, इसलिए न्यूनतम (9) है। वर्गमूल लेने पर रेंज \([3,\infty\)) होगी। / Inside, (x-2-2x+10=(x-1)2+9), so the minimum is (9). Taking square root gives the range \([3,\infty\)).
(f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), इसलिए (0) मिलता है पर (1) नहीं मिलता। परीक्षा में ऐसे rational expressions को (1-) रूप में लिखना उपयोगी है। / (f(x)=1-\frac{4}{x-2+4}), so (0) is attained but (1) is not. In exams writing such rational expressions in (1-) form is useful.
\(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\) है। (x=0) पर न्यूनतम \(\frac{2}{5}\) मिलता है और (1) नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+2}{x^2+5}=1-\frac{3}{x^2+5}\). At (x=0), the minimum \(\frac{2}{5}\) is attained and (1) is not attained.
हर (|x-3|+1) की न्यूनतम वैल्यू (1) है और यह अनंत तक जा सकता है। इसलिए output (0) से बड़ा और (1) तक है। / The denominator (|x-3|+1) has minimum value (1) and can grow without bound. Hence the output is greater than (0) and up to (1).
बहुपद \(x^2+8\) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में polynomial functions का डोमेन सामान्यतः \(\mathbb{R}\) होता है। / The polynomial \(x^2+8\) is defined for every real (x). In exams polynomial functions usually have domain \(\mathbb{R}\).
\(\frac{2}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-3) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal function की vertical shift पहचानें। / \(\frac{2}{x}\) is never (0), so output (-3) cannot occur. In exams identify the vertical shift of a reciprocal function.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([4,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([4,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+16\ge16\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (4) है। अंदर की राशि हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। / Since \(x^2+16\ge16\), the square root is at least (4). The inside expression is defined for every real (x).
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-2,2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-4\) तब (0) होगा जब (x=-2) या (x=2)। परीक्षा में denominator की zero values हटाएं। / The denominator \(x^2-4\) becomes (0) when (x=-2) or (x=2). In exams remove zero values of the denominator.
\(\sqrt{x-3}=5\) से (x-3=25), इसलिए (x=28)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद original equation में जांच लें। / \(\sqrt{x-3}=5\) gives (x-3=25), so (x=28). In exams check the answer in the original equation after squaring.
\(f(x)=9\) रखने पर \(|x+6|=9\) प्राप्त होता है। परिमाण समीकरण में दो स्थितियाँ होती हैं: \(x+6=9\), जिससे \(x=3\), और \(x+6=-9\), जिससे \(x=-15\)। इसलिए दोनों मान संभव हैं। विकल्प D केवल धनात्मक शाखा लेता है और ऋणात्मक शाखा को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: \(|A|=k\) के लिए, जहाँ \(k>0\), हमेशा \(A=k\) या \(A=-k\) लिखें। / Substituting \(f(x)=9\) gives \(|x+6|=9\). A modulus equation has two cases: \(x+6=9\), which gives \(x=3\), and \(x+6=-9\), which gives \(x=-15\). Hence both values are possible. Option D considers only the positive branch and misses the negative one. Exam tip: for \(|A|=k\) with \(k>0\), always solve both \(A=k\) and \(A=-k\).
दिए गए फलन में \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=(-2)^2+3(-2)-2=4-6-2=-4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में ऋणात्मक पदों के चिह्नों की अनदेखी हो सकती है। परीक्षा में ऋणात्मक मान रखने के लिए हमेशा कोष्ठक का प्रयोग करें। / Substituting \(x=-2\) in the function gives \(f(-2)=(-2)^2+3(-2)-2=4-6-2=-4\). Therefore, option A is correct. Option B may result from overlooking the negative signs in the expression. In exams, use brackets when substituting a negative value.
(f(1)=\frac{1-3}{1+2}=-\frac{2}{3}) है। परीक्षा में numerator और denominator अलग-अलग सावधानी से रखें। / (f(1)=\frac{1-3}{1+2}=-\frac{2}{3}). In exams handle the numerator and denominator separately with care.
(f(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3) है। परीक्षा में वर्गमूल की principal value non-negative होती है। / (f(-5)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3). In exams the principal value of square root is non-negative.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-12\ge-12\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-12\ge-12\). In exams remember the minimum value of the square function is (0).
A. रेंज \([7,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([7,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([7,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain अलग रखें। / In the given notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([7,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
(f(-3)=8), (f(-1)=0), और (f(2)=3) हैं। परीक्षा में set में repeated output हो तो एक बार ही लिखें। / (f(-3)=8), (f(-1)=0), and (f(2)=3). In exams write a repeated output only once in a set.
दिए गए inputs पर (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), और (f(17)=4) हैं। परीक्षा में finite domain में केवल दिए गए inputs लें। / For the given inputs, (f(2)=1), (f(5)=2), (f(10)=3), and (f(17)=4). In exams use only the given inputs in a finite domain.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) और \(x\ne1\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x+3}{x-1}\ge0\) and \(x\ne1\). A sign table gives ((-\infty,-3]\cup\(1,\infty\)).
