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क्योंकि (n\(A\times B\)=3\times 2=6) और संबंधों की संख्या \(2^6=64\) होती है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since (n\(A\times B\)=3\times 2=6), the number of relations is \(2^6=64\). In exams, first count the elements of \(A\times B\).
(1+4=5) अभाज्य है इसलिए \((1,4)\in R\) है। ऐसे प्रश्नों में पहले शर्त के अनुसार योग जांचें। / Since (1+4=5) is prime, \((1,4)\in R\). In such questions, first check the sum according to the condition.
(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है और (n\(A\times A\)=16) है। इसलिए कुल संबंध \(2^{16}\) होंगे। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\), and (n\(A\times A\)=16). Therefore total relations are \(2^{16}\).
((3,3)) के लिए \(3^2+3^2=18\) और \(18\leq 10\) असत्य है। परीक्षा में प्रत्येक विकल्प को शर्त में रखकर जांचें। / For ((3,3)), \(3^2+3^2=18\), and \(18\leq 10\) is false. In exams, substitute each option into the condition.
युग्म हैं ((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4))। ऐसे प्रश्नों में शर्त के अनुसार युग्म व्यवस्थित लिखें। / The pairs are ((1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)). For such questions, list pairs systematically using the condition.
हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। सममितता के लिए ((2,1)) भी चाहिए था। / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\), so the relation is reflexive. Symmetry would also require ((2,1)).
हर \((a,b)\in R\) के साथ \((b,a)\in R\) भी है इसलिए यह सममित है। प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / For every \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\) is also present, so it is symmetric. To be reflexive, it needs ((1,1),(2,2),(3,3)).
क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी संबंध में है इसलिए यह सकर्मक स्थिति दिखाता है। परीक्षा में मध्य अवयव मिलाकर जांचें। / Since ((1,2)) and ((2,3)) imply ((1,3)), the relation shows transitivity. In exams, check matching middle elements.
केवल ((a,a)) रूप के युग्म हैं इसलिए यह सर्वसम संबंध है। यह प्रतिवर्ती और सममित दोनों भी है। / Only pairs of the form ((a,a)) are present, so it is the identity relation. It is also reflexive and symmetric.
यदि संबंध \(R\), समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर इस प्रकार परिभाषित है कि \(aRb\) तभी और केवल तभी जब \(a-b\) सम हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमित युग्म \(R\) में होगा?
किसी क्रमित युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a-b\) सम होना चाहिए। विकल्प C के लिए \(1-3=-2\), जो सम संख्या है; इसलिए \((1,3)\in R\)। इसके विपरीत, विकल्प D में \(4-1=3\), जो विषम है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दोनों संख्याओं की सम-विषमता समान है या नहीं, यह शीघ्र जाँचें। / An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) when \(a-b\) is even. For option C, \(1-3=-2\), which is even; therefore, \((1,3)\in R\). In contrast, option D gives \(4-1=3\), which is odd. Exam tip: two numbers have an even difference exactly when they have the same parity.
(4) संख्या (2) को विभाजित नहीं करती इसलिए \((4,2)\notin R\) है। विभाज्यता में पहले अवयव को भाजक मानें। / The number (4) does not divide (2), so \((4,2)\notin R\). In divisibility, treat the first element as the divisor.
किसी संबंध का प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम अवयव 1, 2 और 3 हैं, इसलिए प्रांत \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प B केवल दूसरे अवयवों का समुच्चय अर्थात् परिसर (Range) है, जबकि विकल्प C दोनों अवयवों को मिला देता है। परीक्षा-युक्ति: Domain के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का पहला घटक चुनें। / The domain of a relation is the set of first components of its ordered pairs. The first components here are 1, 2, and 3, so the domain is \(\{1,2,3\}\). Option B is the range, consisting of the second components, while option C combines both sets. Exam tip: To find the domain, collect the first entry from every ordered pair.
परिसर दूसरे अवयवों का समुच्चय होता है और पुनरावृत्ति नहीं लिखी जाती। इसलिए परिसर ({1,3,7}) है। / The range is the set of second components, and repetitions are not written. Therefore the range is ({1,3,7}).
विलोम संबंध में हर क्रमित युग्म के अवयवों का स्थान बदल जाता है। इसलिए ((1,3)) से ((3,1)) बनेगा। / In the inverse relation, the components of each ordered pair are interchanged. Thus ((1,3)) becomes ((3,1)).
(A) के भीतर जिन युग्मों का योग (4) है वे ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। शर्त को दोनों क्रमों पर लागू करें। / The pairs in (A) whose sum is (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). Apply the condition to both orders.
((4,5)) में \(5\notin A\) है इसलिए यह \(A\times A\) का युग्म नहीं है। संबंध बनाते समय दोनों अवयव समुच्चय में होने चाहिए। / In ((4,5)), \(5\notin A\), so it is not a pair of \(A\times A\). While forming a relation, both components must belong to the set.
A. \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय/Any subset of \(A\times B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) से (B) तक संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। यह मूल परिभाषा अक्सर सीधे पूछी जाती है। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). This basic definition is often asked directly.
कुल संबंध \(2^{5\times 3}=2^{15}\) हैं और रिक्त संबंध हटाने पर \(2^{15}-1\) मिलते हैं। गैर रिक्त के लिए (1) घटाना न भूलें। / Total relations are \(2^{5\times 3}=2^{15}\), and removing the empty relation gives \(2^{15}-1\). For non-empty relations, remember to subtract (1).
\(\varnothing\) में कोई क्रमित युग्म नहीं होता इसलिए यह रिक्त संबंध है। \(A\neq\varnothing\) होने पर यह प्रतिवर्ती नहीं है। / There is no ordered pair in \(\varnothing\), so it is the empty relation. Since \(A\neq\varnothing\), it is not reflexive.
जब संबंध \(A\times A\) के सभी युग्मों को लेता है तो वह सार्वभौम संबंध होता है। इसमें हर संभव क्रमित युग्म होता है। / When a relation contains all pairs of \(A\times A\), it is the universal relation. It contains every possible ordered pair.
((4,2)) में \(4\geq 2\) सत्य है इसलिए यह (R) में है। असमानता में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In ((4,2)), \(4\geq 2\) is true, so it belongs to (R). In inequalities, changing the order can change the answer.
B. क्योंकि \((3,3)\notin R\)/Because \((3,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
किसी संबंध के प्रतिवर्ती होने के लिए समुच्चय के प्रत्येक \(a\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1)\) और \((2,2)\) तो \(R\) में हैं, लेकिन \((3,3)\) नहीं है; इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। विकल्प A और C में दिए गए युग्म प्रतिवर्तिता की शर्त नहीं हैं, क्योंकि उनमें दोनों अवयव समान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिवर्तिता जाँचने के लिए केवल \((a,a)\) प्रकार के युग्म देखें। / For a relation to be reflexive, \((a,a)\in R\) must hold for every element \(a\) of the set. Here \((1,1)\) and \((2,2)\) are in \(R\), but \((3,3)\) is missing, so the relation is not reflexive. The pairs in options A and C are not required for reflexivity because their two components are different. Exam tip: To test reflexivity, check only pairs of the form \((a,a)\) for every element of the set.
A. हर युग्म का उल्टा युग्म भी है/The reverse of every pair is also present
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((3,3)) अपना उल्टा स्वयं है। इसलिए संबंध सममित है। / The pair ((2,1)) is present with ((1,2)), and ((3,3)) is its own reverse. Therefore the relation is symmetric.
किसी क्रमित युग्म \((a,b)\) के \(R\) में होने के लिए \(a+b\) विषम होना चाहिए। \((2,3)\) के लिए \(2+3=5\), जो विषम है; इसलिए \((2,3)\in R\)। इसके विपरीत, अन्य विकल्पों में योग \(4,6\) और \(6\) है, जो सम हैं। परीक्षा-युक्ति: दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम और दूसरी विषम हो। / An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) only when \(a+b\) is odd. For \((2,3)\), \(2+3=5\), which is odd; therefore, \((2,3)\in R\). The sums for the other options are 4, 6, and 6, all of which are even. Exam tip: the sum of two numbers is odd exactly when one number is even and the other is odd.
(6) संख्या (3) का गुणज है इसलिए \((6,3)\in R\) है। गुणज और भाजक की दिशा को ध्यान से पढ़ें। / The number (6) is a multiple of (3), so \((6,3)\in R\). Read the direction of multiple and divisor carefully.
संबंध में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y=x^2\) लेना है। इसलिए \(x=1\) पर \(y=1\), \(x=2\) पर \(y=4\), और \(x=3\) पर \(y=9\) मिलता है। अतः क्रमित युग्म \((1,1),(2,4),(3,9)\) हैं और विकल्प A सही है। विकल्प C में युग्मों का क्रम उलट गया है। परीक्षा-युक्ति: संबंध में \((x,y)\) का पहला घटक दिए गए समुच्चय से लेकर नियम में उसका मान रखकर दूसरा घटक ज्ञात करें। / For each value of \(x\), calculate \(y=x^2\). Thus, \(x=1\) gives \(y=1\), \(x=2\) gives \(y=4\), and \(x=3\) gives \(y=9\). Therefore, the ordered pairs are \((1,1),(2,4),(3,9)\), so option A is correct. In option C, the components are effectively reversed. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), take the first component from the given set and use the rule to find the second component.
युग्म हैं ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3))। निरपेक्ष मान में दोनों दिशाएं आती हैं। / The pairs are ((1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)). With absolute value, both directions are included.
(4+4=8) और \(8\leq 5\) असत्य है इसलिए \((4,4)\notin R\)। सीमा वाली शर्त में बराबरी भी जांचें। / Since (4+4=8) and \(8\leq 5\) is false, \((4,4)\notin R\). For boundary conditions, also check equality.
सम्बन्ध \(R\) में प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \(b=2a\) है। अतः \(a=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(b=2,4,6\) प्राप्त होते हैं और \(R=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}\)। इसलिए \(R\) का परिसर \(\{2,4,6\}\) है। विकल्प A परिभाषा-समुच्चय है, परिसर नहीं। परीक्षा-युक्ति: सम्बन्ध का परिसर ज्ञात करने के लिए क्रमित युग्मों के दूसरे अवयवों का समुच्चय लें। / For each \(a\in A\), the relation gives \(b=2a\). Substituting \(a=1,2,3\) gives \(b=2,4,6\), so \(R=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}\). Therefore, the range of \(R\) is \(\{2,4,6\}\). Option A is the domain, not the range. Exam tip: To find the range of a relation, collect the second components of its ordered pairs.
प्रत्येक क्रमित युग्म \((x,y)\) में दूसरा अवयव पहले अवयव से 3 अधिक है: \(4=1+3\), \(5=2+3\) और \(6=3+3\)। अतः संबंध का नियम \(y=x+3\) है। उदाहरण के लिए, \(y=2x\) केवल \((1,2)\) देगा, इसलिए वह दिए गए युग्मों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-युक्ति: किसी नियम की जाँच करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म में \(x\) और \(y\) के मान रखकर देखें। / In every ordered pair \((x,y)\), the second component is 3 greater than the first: \(4=1+3\), \(5=2+3\), and \(6=3+3\). Therefore, the rule is \(y=x+3\). For example, \(y=2x\) would give \((1,2)\), so it does not match the given pairs. Exam tip: substitute the coordinates of each ordered pair into a proposed rule to verify it.
((1,1),(2,2),(3,3)) हैं इसलिए यह प्रतिवर्ती है और ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) भी है। इसलिए यह सममित भी है। / It is reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, and symmetric because the reverse of ((1,2)) is ((2,1)). Hence it satisfies both.
A. क्योंकि \((1,3)\notin R\)/Because \((1,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं तो सकर्मकता के लिए ((1,3)) चाहिए। यह अनुपस्थित है इसलिए सकर्मकता असफल है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)). It is missing, so transitivity fails.
A. हाँ क्योंकि यह प्रतिवर्ती सममित और सकर्मक है/Yes because it is reflexive symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
यह प्रतिवर्ती है और ((1,2),(2,1)) के उल्टे मौजूद हैं। साथ ही आवश्यक सकर्मक युग्म ((1,1),(2,2)) मौजूद हैं। / It is reflexive and the reverses of ((1,2),(2,1)) are present. The required transitive pairs ((1,1),(2,2)) are also present.
दो संख्याएँ modulo 2 में तुल्य तभी होती हैं जब उनकी समता समान हो। इसलिए A दो तुल्यता वर्गों में विभाजित होता है: {1, 3} (विषम संख्याएँ) और {2, 4} (सम संख्याएँ)। अतः सही उत्तर 2 है। 4 प्रत्येक तत्व को अलग वर्ग मानने पर मिलता, लेकिन समान समता वाले तत्व एक ही वर्ग में होते हैं। परीक्षा-युक्ति: modulo 2 के तुल्यता वर्ग पहचानने के लिए संख्याओं को सम और विषम समूहों में बाँटें। / Two numbers are congruent modulo 2 exactly when they have the same parity. Thus, A is partitioned into two equivalence classes: {1, 3} (odd numbers) and {2, 4} (even numbers). Therefore, the correct answer is 2. The answer 4 would incorrectly treat every element as a separate class, even though elements with the same parity belong to one class. Exam tip: for congruence modulo 2, group the elements into odd and even numbers.
\(1\) का तुल्यता वर्ग उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(3\) से भाग देने पर \(1\) के समान शेषफल देते हैं। समुच्चय \(A\) में \(1\) और \(4\) दोनों का शेषफल \(1\) है, जबकि \(2,3,5,6\) के शेषफल क्रमशः \(2,0,2,0\) हैं। इसलिए \([1]_R=\{1,4\}\)। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलो संबंध में समान शेषफल वाले तत्वों को एक ही तुल्यता वर्ग में रखें। / The equivalence class of \(1\) contains all elements that leave the same remainder as \(1\) upon division by \(3\). In \(A\), only \(1\) and \(4\) leave remainder \(1\); the remainders of \(2,3,5,6\) are \(2,0,2,0\), respectively. Hence, \([1]_R=\{1,4\}\). Exam tip: For a modulo relation, group elements having the same remainder.
प्रतिवर्ती संबंध की यही पहचान है कि हर अवयव स्वयं से संबंधित हो। इस परिभाषा को सीधे याद रखें। / The key feature of a reflexive relation is that every element is related to itself. Remember this definition directly.
A. यदि \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होना चाहिए। विकल्पों में यही सही शर्त है। / In symmetry, the reverse of every pair must also be in the relation. This is the correct condition among the options.
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
सकर्मकता में दो जुड़े युग्मों से पहला और अंतिम अवयव जुड़ना चाहिए। इसलिए ((a,c)) की उपस्थिति जांचें। / In transitivity, two connected pairs must imply a pair between the first and last elements. Therefore check the presence of ((a,c)).
यदि (x+y=5) है तो (y+x=5) भी है इसलिए उल्टा युग्म भी आएगा। अतः संबंध सममित है। / If (x+y=5), then (y+x=5) also holds, so the reverse pair is included. Hence the relation is symmetric.
हर \(x\leq x\) है इसलिए प्रतिवर्ती है और \(x\leq y\leq z\) से \(x\leq z\) मिलता है। यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Every \(x\leq x\), so it is reflexive, and \(x\leq y\leq z\) gives \(x\leq z\). It is generally not symmetric.
समुच्चय के सभी अवयव सम हैं इसलिए किसी भी दो अवयवों का अंतर (2) से विभाज्य है। अतः \(R=A\times A\) है। / All elements of the set are even, so the difference of any two elements is divisible by (2). Hence \(R=A\times A\).
प्रतिलोम संबंध में प्रत्येक क्रमित युग्म \((a,b)\) को उलटकर \((b,a)\) लिखा जाता है। \(R\) में \((1,3)\) का उल्टा युग्म \((3,1)\) पहले से मौजूद है, और \((1,1),(2,2),(3,3)\) अपने उल्टे के समान हैं। इसलिए \(R^{-1}=R\), अर्थात विकल्प A सही है। विकल्प B केवल विकर्ण युग्म रखता है और \((1,3),(3,1)\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी संबंध के प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म भी उसी संबंध में हो, तो वह संबंध सममित होता है और \(R^{-1}=R\)। / In an inverse relation, every ordered pair \((a,b)\) is reversed to \((b,a)\). In \(R\), the reverse of \((1,3)\), namely \((3,1)\), is already present, while \((1,1),(2,2),(3,3)\) remain unchanged when reversed. Hence \(R^{-1}=R\), so option A is correct. Option B contains only the diagonal pairs and omits \((1,3)\) and \((3,1)\). Exam tip: If the reverse of every ordered pair in a relation is also in the relation, the relation is symmetric and \(R^{-1}=R\).
\(1\cdot 3=3\) विषम है इसलिए \((1,3)\notin R\) है। गुणनफल सम तभी होगा जब कम से कम एक अवयव सम हो। / Since \(1\cdot 3=3\) is odd, \((1,3)\notin R\). A product is even when at least one component is even.
(|3-5|=2) और \(2\leq 2\) है इसलिए \((3,5)\in R\) है। निरपेक्ष अंतर में सीमा बराबर होने पर भी युग्म शामिल होता है। / Since (|3-5|=2) and \(2\leq 2\), \((3,5)\in R\). In absolute difference, equality with the bound is included.
(A) से (B) तक संबंध सदैव \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। क्रम महत्वपूर्ण है इसलिए \(B\times A\) अलग हो सकता है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). Order matters, so \(B\times A\) can be different.
पहले अवयवों से प्रांत ({1,2}) और दूसरे अवयवों से परिसर ({2,3}) है। दोहराव हटाकर समुच्चय लिखें। / The first components give the domain ({1,2}), and the second components give the range ({2,3}). Write sets after removing repetitions.
संबंध के क्रमित युग्म \(A\times A\) से लिए जाते हैं और उनके लिए \(a+b=6\) होना चाहिए। संभव युग्म \((2,4), (3,3), (4,2)\) हैं। \((1,5)\) मान्य नहीं है क्योंकि \(5\notin A\)। इसलिए संबंध में कुल 3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए समुच्चय के प्रत्येक तत्व के लिए दूसरा तत्व \(6-a\) जाँचें। / The ordered pairs of the relation must come from \(A\times A\) and satisfy \(a+b=6\). The valid pairs are \((2,4), (3,3), (4,2)\). The pair \((1,5)\) is not valid because \(5\notin A\). Hence, the relation contains 3 pairs. Exam tip: For each \(a\in A\), check whether \(6-a\) also belongs to \(A\).
संबंध में \(a=b^2\) होना चाहिए और दोनों \(a,b\) का समुच्चय \(A\) में होना आवश्यक है। \(b=1\) के लिए \(a=1\), तथा \(b=2\) के लिए \(a=4\) मिलता है, इसलिए युग्म \((1,1)\) और \((4,2)\) हैं। \(b=3\) और \(b=4\) के लिए क्रमशः \(a=9\) और \(a=16\), जो \(A\) में नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: संबंध के प्रत्येक युग्म के लिए पहले शर्त जाँचें और फिर देखें कि दोनों अवयव दिए गए समुच्चय में हैं या नहीं। / The relation requires \(a=b^2\), with both \(a\) and \(b\) belonging to \(A\). For \(b=1\), \(a=1\), giving \((1,1)\); for \(b=2\), \(a=4\), giving \((4,2)\). For \(b=3\) and \(b=4\), the values of \(a\) are 9 and 16, which are not in \(A\). Hence option A is correct. Exam tip: Check the defining condition and membership in the given set for every ordered pair.
A. क्योंकि यह सममित नहीं है/Because it is not symmetric
Explanation
Simple Explanation
\((1,2)\in R\) है लेकिन \((2,1)\notin R\) है इसलिए यह सममित नहीं है। तुल्यता के लिए प्रतिवर्ती सममित और सकर्मक तीनों चाहिए। / Here \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\), so it is not symmetric. Equivalence needs reflexive, symmetric, and transitive properties.
(A) में विषम अवयव (1) और (3) हैं इसलिए इन्हीं से सभी क्रमित युग्म बनेंगे। शर्त में दोनों अवयवों को जांचें। / The odd elements in (A) are (1) and (3), so all ordered pairs are formed from them. Check both components in the condition.
