Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सार्वत्रिक सम्बन्ध में (A) के हर सम्भव क्रमित युग्म होते हैं। / A universal relation contains every possible ordered pair from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो ((a,c)) भी निश्चित रूप से होगा। अतः यह संक्रामी है। / Therefore, if ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also certainly present. Hence it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) वाले प्रश्नों में कोई युग्म छूटता नहीं। / In \(A\times A\), no required pair is missing.
A. हाँ, शर्त टूटने का कोई उदाहरण नहीं है/Yes, there is no case that violates the condition
Step 1
Concept
संक्रामी न होने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें ((a,b)) और ((b,c)) हों पर ((a,c)) न हो। / To disprove transitivity, we need ((a,b)) and ((b,c)) present but ((a,c)) absent.
Step 2
Why this answer is correct
खाली सम्बन्ध में कोई भी पहला युग्म नहीं है, इसलिए शर्त कभी टूटती नहीं। अतः यह संक्रामी माना जाता है। / In the empty relation, no starting pair exists, so the condition is never violated. Hence it is transitive.
Step 3
Exam Tip
खाली सम्बन्ध को देखकर जल्दी असंक्रामी न मानें। / Do not assume an empty relation is non-transitive.
संक्रामी के लिए हर आत्म युग्म जरूरी नहीं होता, केवल आवश्यक बने हुए युग्म चाहिए। / Transitivity does not require every reflexive pair; it only requires the pairs forced by chains.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए, जो मौजूद है। ((a,b)) और ((b,b)) से ((a,b)) फिर मिल जाता है। / ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)), which is present. ((a,b)) and ((b,b)) again require ((a,b)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामी को आत्म सम्बन्ध से अलग पहचानें। / Do not confuse transitivity with reflexivity.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\) अवश्य होगा। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
यही संक्रामी सम्बन्ध की मुख्य शर्त है। इसलिए दिया गया सम्बन्ध संक्रामी है। / This is exactly the condition for transitivity, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) और (<) दोनों सामान्य क्रम में संक्रामी होते हैं। / Both \(\le\) and (<) are transitive in usual order.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी (R) में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Hence ((a,c)) belongs to (R), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतरों को जोड़कर देखें। / In such questions, add the given differences.
यदि (a) किसी (b) को विभाजित करता है और (b) किसी (c) को विभाजित करता है, तो (a) भी (c) को विभाजित करेगा। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। यह संक्रामी की शर्त है। / Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले प्रश्नों में गुणन रूप लिखना जल्दी मदद करता है। / For divisibility questions, write the numbers in multiplication form.
संक्रामी जाँच में ((a,b)) और ((b,c)) को साथ देखकर ((a,c)) खोजते हैं। / To test transitivity, look for ((a,b)) and ((b,c)), then check ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) दोनों (R) में हैं, इसलिए ((1,3)) भी होना चाहिए। पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are in (R), ((1,3)) must also be in (R). It is missing, so (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
एक ही कमी भी सम्बन्ध को असंक्रामी सिद्ध कर देती है। / A single missing required pair is enough to disprove transitivity.
A. हाँ, क्योंकि सभी जरूरी युग्म उपस्थित हैं/Yes, because all required pairs are present
Step 1
Concept
संक्रामी होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / A relation is transitive if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\) imply \((a,c) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो उपस्थित है। बाकी जरूरी स्थितियाँ भी टूटती नहीं हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present. Other required cases also do not fail.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले बीच वाले तत्व को मिलाकर जांचें। / In exams, first check pairs with matching middle elements.
(a+b) सम होने का अर्थ है (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने पर (b) और (c) भी समान प्रकृति के होंगे, इसलिए (a) और (c) समान प्रकृति के होंगे। / (b+c) even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
तब (a+c) सम होगा और संबंध संक्रामी है। / Hence (a+c) is even, and the relation is transitive.
यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) और \(b \equiv c \pmod{3}\), तो (a) और (c) का शेष समान होगा। / If \(a \equiv b \pmod{3}\) and \(b \equiv c \pmod{3}\), then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / So \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाला संबंध संक्रामी होता है। / A relation based on the same remainder is transitive.
A. जरूरी नहीं कि \(R \cup S\) संक्रामी हो/\(R \cup S\) need not be transitive
Step 1
Concept
मिलन में पहला युग्म एक संबंध से और दूसरा दूसरे संबंध से आ सकता है। / In a union, one pair may come from one relation and the second pair from another relation.
Step 2
Why this answer is correct
तब जरूरी ((a,c)) मिलन में होना निश्चित नहीं है। / Then the required ((a,c)) may not be in the union.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी संबंधों का छेदन सुरक्षित है, पर मिलन हमेशा सुरक्षित नहीं। / Intersection of transitive relations is safe, but union is not always safe.
A. \(R \cap S\) हमेशा संक्रामी होता है/\(R \cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R \cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R \cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) भी दोनों में होगा। / Since both relations are transitive, ((a,c)) is in both.
Step 3
Exam Tip
अतः ((a,c)), \(R \cap S\) में होगा। / Therefore, ((a,c)) is in \(R \cap S\), so the intersection is transitive.
A. ((2,3)) पहले से है, ((2,3)) नहीं/((2,3)) already exists, not ((2,3))
Step 1
Concept
((2,1)) और ((1,3)) मौजूद हैं। / ((2,1)) and ((1,3)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((2,3)) चाहिए, और वह पहले से संबंध में है। / They require ((2,3)), and it is already in the relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दिए गए विकल्पों में नया जरूरी युग्म नहीं है; सही बात यह है कि ((2,3)) की जरूरत पूरी है। / So among the options, no new required pair is represented; the need for ((2,3)) is already fulfilled.
यदि (a), (b) का भाई है और (b), (c) का भाई है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भाई हो। / If (a) is brother of (b), and (b) is brother of (c), it does not always force (a) to be brother of (c) in every possible setting.
Step 2
Why this answer is correct
संबंध परिवार की स्थिति पर निर्भर कर सकता है, इसलिए सामान्य संक्रामिता नहीं मिलती। / The relation may depend on family context, so general transitivity is not guaranteed.
Step 3
Exam Tip
सामाजिक संबंधों में निश्चित गणितीय नियम सावधानी से लगाएं। / Apply mathematical relation rules carefully to social examples.
यदि (l) रेखा (m) के समानांतर है और (m) रेखा (n) के समानांतर है, तो (l) रेखा (n) के समानांतर होगी। / If line (l) is parallel to line (m), and (m) is parallel to line (n), then (l) is parallel to (n).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यह संबंध संक्रामी है। / Hence, the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति में समान दिशा की श्रृंखला पर ध्यान दें। / In geometry, focus on the chain of same direction.
उदाहरण लें \(A=\{1\}\), \(B=\{2\}\), \(C=\{1\}\)। / Take \(A=\{1\}\), \(B=\{2\}\), and \(C=\{1\}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A \cap B=\varnothing\) और \(B \cap C=\varnothing\), पर \(A \cap C={1}\) है। / \(A \cap B=\varnothing\) and \(B \cap C=\varnothing\), but \(A \cap C={1}\).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग होने का संबंध जरूरी नहीं कि संक्रामी हो। / The disjointness relation is not necessarily transitive.
