चार अवयवों वाले समुच्चय (A) पर ऐसे सममित संबंधों की संख्या कितनी होगी जिनमें सभी विकर्ण युग्म अवश्य शामिल हों?
For a set (A) with four elements, how many symmetric relations contain all diagonal pairs necessarily?
#symmetric relation
#counting
#reflexive symmetric
A \(2^6\)
B \(2^{10}\)
C \(2^4\)
D \(4^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^6\)
Step 1
Concept
चार अवयवों के लिए गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूहों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / For four elements, the number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए केवल इन छह समूहों को चुनना या छोड़ना है। / All diagonal pairs are compulsory, so only these six blocks can be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
जब प्रतिवर्ती और सममित साथ हों तो गिनती में विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र मत गिनिए। / When reflexive and symmetric are combined, do not count diagonal choices as free.
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समुच्चय \(A=\{a,b,c\}\) पर किसी सममित संबंध में ((a,b)) और ((c,a)) हैं। कम से कम कौन से युग्म अवश्य होंगे?
On \(A=\{a,b,c\}\), a symmetric relation contains ((a,b)) and ((c,a)). Which pairs must be present at minimum?
#symmetric relation
#minimum pairs
#class 12
A ((b,a)) और ((a,c)) / ((b,a)) and ((a,c))
B ((a,a)) और ((b,b)) / ((a,a)) and ((b,b))
C ((b,c)) और ((c,b)) / ((b,c)) and ((c,b))
D ((a,c)) और ((c,b)) / ((a,c)) and ((c,b))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((b,a)) और ((a,c)) / ((b,a)) and ((a,c))
Step 1
Concept
सममित संबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / In a symmetric relation, every included ordered pair needs its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) के लिए ((b,a)) और ((c,a)) के लिए ((a,c)) जरूरी हैं। / ((a,b)) requires ((b,a)), and ((c,a)) requires ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म तभी जरूरी होते हैं जब प्रतिवर्ती संबंध पूछा जाए। / Diagonal pairs are required for reflexivity, not for symmetry alone.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,1)\}\) है। (R) सममित है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,1)\}\). Is (R) symmetric or not?
#symmetric relation
#ordered pairs
#hard mcq
A हाँ, सभी अनिवार्य उल्टे युग्म हैं / Yes, all required reverse pairs are present
B नहीं, ((1,1)) का उल्टा नहीं है / No, reverse of ((1,1)) is missing
C नहीं, ((1,3)) नहीं है / No, ((1,3)) is missing
D हाँ, क्योंकि सभी संभव युग्म हैं / Yes, because all possible pairs are present
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Correct Answer
A. हाँ, सभी अनिवार्य उल्टे युग्म हैं / Yes, all required reverse pairs are present
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और दोनों हैं। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है और दोनों हैं; ((1,1)) अपना ही उल्टा है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), and ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म जरूरी नहीं, केवल लिए गए युग्मों के उल्टे जरूरी हैं। / Symmetry does not require all possible pairs, only reverse pairs of the chosen pairs.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) 2 से विभाज्य है}) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 2}). Choose the correct statement about (R).
#symmetric relation
#divisibility
#modular relation
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) केवल प्रतिवर्ती है / (R) is only reflexive
C (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
D (R) रिक्त संबंध है / (R) is an empty relation
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) दो से विभाज्य है तो (b-a=-(a-b)) भी दो से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में ऋण चिह्न से सममितता नहीं टूटती। / Divisibility conditions often remain symmetric after changing the sign.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर संबंध (R={(a,b):a+b\) सम है}) दिया है। क्या (R) सममित संबंध है?
\(On the set (A={1,2,3,4,5}), the relation (R={(a,b):a+b\) is even}) is given. Is (R) symmetric?
#symmetric relation
#relations and functions
#class 12 math
A हाँ, क्योंकि (a+b=b+a) / Yes, because (a+b=b+a)
B नहीं, क्योंकि हर युग्म का उल्टा नहीं है / No, because every reverse pair is not present
C हाँ, केवल विकर्ण युग्मों के कारण / Yes, only because of diagonal pairs
D नहीं, क्योंकि विषम संख्याएँ भी हैं / No, because odd numbers are also present
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (a+b=b+a) / Yes, because (a+b=b+a)
Step 1
Concept
सममित संबंध में यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। / A relation is symmetric if \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ शर्त (a+b सम है) है और (a+b=b+a), इसलिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करता है। / Here the condition is (a+b is even\(), and (a+b=b+a), so the reverse pair also satisfies it.\)
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी शर्तों में जोड़ की क्रम-विनिमेयता तुरंत जाँचें। / In exams, check commutative conditions like addition first.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) है। (R) से न्यूनतम कितने युग्म हटाकर संबंध को सममित बनाया जा सकता है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\). What is the minimum number of pairs to remove to make the relation symmetric?
#minimum removal
#symmetric relation
#ordered pairs
A (1)
B (0)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं, और विकर्ण युग्म समस्या नहीं बनाते। / ((1,2)) and ((2,1)) are already balanced, and diagonal pairs cause no issue.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) है लेकिन ((3,2)) नहीं है। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
जोड़ने की जगह हटाने पर केवल ((2,3)) हटाना होगा, इसलिए न्यूनतम संख्या (1) है। / If only removal is allowed, remove ((2,3)), so the minimum number is (1).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv -b \pmod{5}\)}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a\equiv -b \pmod{5}\)}). What is the correct statement about (R)?
#modular relation
#symmetric relation
#hard
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) रिक्त है / (R) is empty
D (R) केवल परावर्ती है / (R) is only reflexive
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
\(a\equiv -b \pmod{5}\) का अर्थ \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\) है। / \(a\equiv -b \pmod{5}\) means \(a+b\equiv 0 \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह शर्त क्रम बदलने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\) बनती है, जो वही है। / Reversing the order gives \(b+a\equiv 0 \pmod{5}\), the same condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा और संबंध सममित है। / Therefore the reverse pair also belongs, so the relation is symmetric.
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कौन-सा कथन सममित संबंध की परिभाषा को सबसे सही रूप में बताता है?
Which statement gives the most accurate definition of a symmetric relation?
#definition
#symmetric relation
#relation properties
A हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\) / For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
B हर \(a\in A\) के लिए, \((a,a)\in R\) / For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
C यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
D हर दो अवयवों के बीच ठीक एक युग्म हो / There is exactly one pair between every two elements
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Correct Answer
A. हर \(a,b\in A\) के लिए, \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\) / For every \(a,b\in A\), \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता उलटे युग्म की उपस्थिति से जुड़ी है। / Symmetry is about the presence of reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) होना चाहिए। / If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also hold.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण वाली शर्त परावर्तिता और तीसरी शर्त संक्रामकता बताती है। / The diagonal condition is reflexivity, and the three-pair condition is transitivity.
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कौन-सा संबंध \(\mathbb{R}\) पर सममित है?
Which relation on \(\mathbb{R}\) is symmetric?
#real numbers
#symmetric relation
#equality
A \(R=\{(a,b):a-b=0\}\)
B \(R=\{(a,b):a-b=1\}\)
C \(R=\{(a,b):a<b\}\)
D \(R=\{(a,b):a=2b\}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R=\{(a,b):a-b=0\}\)
Step 1
Concept
(a-b=0) का अर्थ (a=b) है। / (a-b=0) means (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b), तो (b=a) भी सत्य है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। / If (a=b), then (b=a), so the reverse pair also belongs.
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित संबंध सममित होते हैं, पर (a-b=1) जैसे संबंध उलटने पर बदल जाते हैं। / Equality-based relations are symmetric, while conditions like (a-b=1) change when reversed.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\) है। (R) को सममित बनाने के लिए क्या करना होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4)\}\). What must be done to make (R) symmetric?
#minimum addition
#symmetric relation
#closure
A केवल ((4,3)) जोड़ना होगा / Add only ((4,3))
B केवल ((3,3)) जोड़ना होगा / Add only ((3,3))
C केवल ((4,4)) जोड़ना होगा / Add only ((4,4))
D कुछ नहीं जोड़ना होगा / Add nothing
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Correct Answer
A. केवल ((4,3)) जोड़ना होगा / Add only ((4,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) पहले से युग्म बनाकर मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) already appear as a reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
((3,4)) का उलटा ((4,3)) नहीं है। / The reverse of ((3,4)), namely ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((4,3)) जोड़ना पर्याप्त और न्यूनतम है। / Adding only ((4,3)) is enough and minimal.
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यदि किसी संबंध (R) की मैट्रिक्स (M) है, तो (R) के सममित होने की सही मैट्रिक्स शर्त क्या है?
If (M) is the matrix of a relation (R), what is the correct matrix condition for (R) to be symmetric?
#relation matrix
#transpose
#symmetric relation
A \(M=M^T\)
B \(M^2=M\)
C \(M+M^T=0\)
D (M) में सभी प्रविष्टियां (1) हों / All entries of (M) are (1)
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Correct Answer
A. \(M=M^T\)
Step 1
Concept
संबंध में (\(a_i,a_j\)) होने का अर्थ मैट्रिक्स में \(m_{ij}=1\) है। / (\(a_i,a_j\)) in a relation means \(m_{ij}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए (\(a_j,a_i\)) भी होना चाहिए, यानी \(m_{ji}=1\)। / Symmetry requires (\(a_j,a_i\)), meaning \(m_{ji}=1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर (i,j) के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\), अर्थात \(M=M^T\)। / Thus \(m_{ij}=m_{ji}\) for all (i,j), so \(M=M^T\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें ((1,2)) हो और ((2,1)) न हो?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many symmetric relations contain ((1,2)) but not ((2,1))?
#impossible condition
#symmetric relation
#counting
A (0)
B \(2^9\)
C \(2^8\)
D (1)
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Step 1
Concept
सममित संबंध में ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना अनिवार्य है। / A symmetric relation must contain ((2,1)) whenever it contains ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
प्रश्न में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, यह सममितता के विरुद्ध है। / The condition asks for ((1,2)) to be present but ((2,1)) absent, which violates symmetry.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या (0) है। / Hence the number of such relations is (0).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे सममित संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((3,4)) दोनों अवश्य हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many symmetric relations must contain both ((1,2)) and ((3,4))?
#fixed off diagonal pairs
#counting
#symmetric relation
A \(2^8\)
B \(2^{10}\)
C \(2^6\)
D \(2^{12}\)
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Correct Answer
A. \(2^8\)
Step 1
Concept
(4) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह (10) हैं। / For (4) elements, there are (10) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाला समूह और ((3,4)) वाला समूह लेना तय हो गया। / The groups containing ((1,2)) and ((3,4)) are fixed as included.
Step 3
Exam Tip
बचे (8) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^8\) है। / The remaining (8) groups are free, so the number is \(2^8\).
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यदि (A) में (6) अवयव हैं, तो (A) पर कुल सममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (6) elements, how many symmetric relations are there on (A)?
#counting formula
#symmetric relation
#n elements
A \(2^{21}\)
B \(2^{36}\)
C \(2^{15}\)
D \(2^{12}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{21}\)
Step 1
Concept
(n) अवयवों के लिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / For (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=6) रखने पर \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / Substituting (n=6), we get \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^{21}\) है। / Hence the total number is \(2^{21}\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2=10\}\) है। (R) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2=10\}\). What type of relation is (R)?
#quadratic relation
#symmetric relation
#sum of squares
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल परावर्ती / Only reflexive
D सार्वत्रिक / Universal
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a^2+b^2=10\), तो \(b^2+a^2=10\) भी होगा। / If \(a^2+b^2=10\), then \(b^2+a^2=10\) as well.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में आएगा। / Hence ((a,b)) comes with ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए यह संबंध सममित है। / The sum is unchanged when the order is reversed, so the relation is symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+2b=6\}\) है। (R) सममित है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+2b=6\}\). Is (R) symmetric?
#linear condition
#counterexample
#symmetric relation
A नहीं, क्योंकि \((4,1)\in R\) पर \((1,4)\notin R\) / No, because \((4,1)\in R\) but \((1,4)\notin R\)
B हाँ, क्योंकि जोड़ क्रमविनिमेय है / Yes, because addition is commutative
C हाँ, क्योंकि सभी युग्म विकर्ण हैं / Yes, because all pairs are diagonal
D नहीं, क्योंकि (R) में कोई युग्म नहीं है / No, because (R) has no pair
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Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि \((4,1)\in R\) पर \((1,4)\notin R\) / No, because \((4,1)\in R\) but \((1,4)\notin R\)
Step 1
Concept
((4,1)) के लिए \(4+2\cdot1=6\), इसलिए यह संबंध में है। / For ((4,1)), \(4+2\cdot1=6\), so the pair belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
उलटा ((1,4)) लेने पर \(1+2\cdot4=9\), जो (6) नहीं है। / For the reverse ((1,4)), \(1+2\cdot4=9\), not (6).
Step 3
Exam Tip
गुणांक अलग हों तो क्रम बदलने से शर्त बदल सकती है। / Unequal coefficients can break symmetry when the order is reversed.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। (R) कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is odd}). What is (R)?
#odd difference
#symmetric relation
#parity
A सममित है / Symmetric
B सममित नहीं है / Not symmetric
C परावर्ती है / Reflexive
D रिक्त संबंध है / Empty relation
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Correct Answer
A. सममित है / Symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। / If (a-b) is odd, then (b-a=-(a-b)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए युग्म उलटने पर भी शर्त बनी रहती है। / Thus the condition remains true after reversing the pair.
Step 3
Exam Tip
संकेत बदलने से विषमता नहीं बदलती, इसलिए संबंध सममित है। / Changing the sign does not change oddness, so the relation is symmetric.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a-b\) सम है}) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a-b\) is even}). Choose the correct statement about (R).
#even difference
#symmetric relation
#parity
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (R) has no diagonal pair
D (R) में केवल एक युग्म है / (R) has only one pair
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
यदि (a-b) सम है, तो (b-a=-(a-b)) भी सम होगा। / If (a-b) is even, then (b-a=-(a-b)) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / So whenever ((a,b)) belongs, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक सम संख्या भी सम ही रहती है, यह मुख्य बात है। / The key point is that the negative of an even integer is also even.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):|a-b|\) सम है}) है। (R) कैसा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):|a-b|\) is even}). What is (R)?
#absolute value relation
#parity
#symmetric relation
A सममित है / Symmetric
B सममित नहीं है / Not symmetric
C केवल रिक्त है / Empty only
D केवल एक युग्म है / Has only one pair
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Correct Answer
A. सममित है / Symmetric
Step 1
Concept
(|a-b|=|b-a|) हमेशा सत्य है। / (|a-b|=|b-a|) is always true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि (|a-b|) सम है, तो (|b-a|) भी सम होगा। / Therefore if (|a-b|) is even, then (|b-a|) is also even.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष अंतर वाले संबंधों में उलटा युग्म वही अंतर देता है। / Absolute-difference relations usually preserve symmetry because the difference value stays the same.
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यदि (R) और (S) सममित हैं, तो (R-S) हमेशा सममित है या नहीं?
If (R) and (S) are symmetric, is (R-S) always symmetric?
#difference of relations
#symmetric relation
#proof based
A हाँ, हमेशा सममित है / Yes, always symmetric
B नहीं, कभी सममित नहीं है / No, never symmetric
C केवल तब जब \(S\subseteq R\) हो / Only when \(S\subseteq R\)
D केवल तब जब (R) रिक्त हो / Only when (R) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, हमेशा सममित है / Yes, always symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित होने से \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से \((a,b)\notin S\) का अर्थ \((b,a)\notin S\) है। / Symmetry of (R) gives \((b,a)\in R\), and symmetry of (S) ensures \((b,a)\notin S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a)\in R-S\), अतः यह हमेशा सममित है। / Thus \((b,a)\in R-S\), so it is always symmetric.
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यदि (R) सममित है, तो \(A\times A-R\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is symmetric, which statement about \(A\times A-R\) is correct?
#complement relation
#symmetric relation
#set difference
A यह भी सममित है / It is also symmetric
B यह कभी सममित नहीं है / It is never symmetric
C यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
D यह हमेशा परावर्ती है / It is always reflexive
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Correct Answer
A. यह भी सममित है / It is also symmetric
Step 1
Concept
सममित (R) में ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ होते हैं या साथ-साथ अनुपस्थित होते हैं। / In a symmetric (R), ((a,b)) and ((b,a)) are either both present or both absent.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पूरक संबंध में भी दोनों उलटे युग्म साथ-साथ आएंगे। / Therefore, in the complement, reverse pairs also appear together.
Step 3
Exam Tip
अतः \(A\times A-R\) भी सममित होगा। / Hence \(A\times A-R\) is also symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है। (R) सममित क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\leq b\}\). Why is (R) not symmetric?
#less than equal relation
#counterexample
#symmetric relation
A \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
B \((2,2)\in R\)
C \((4,4)\in R\)
D हर युग्म का उलटा है / Every pair has its reverse
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Correct Answer
A. \((1,2)\in R\) लेकिन \((2,1)\notin R\) / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
\(1\leq2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। / Since \(1\leq2\), ((1,2)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\leq1\) गलत है, इसलिए ((2,1)) संबंध में नहीं है। / But \(2\leq1\) is false, so ((2,1)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
क्रम-आधारित असमानता वाले संबंध अक्सर सममित नहीं होते। / Order-based inequality relations are often not symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq5\}\) है। (R) सममित है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq5\}\). Is (R) symmetric?
#inequality relation
#symmetric relation
#sum condition
A हाँ, सममित है / Yes, it is symmetric
B नहीं, सममित नहीं है / No, it is not symmetric
C केवल परावर्ती है / It is only reflexive
D केवल रिक्त है / It is only empty
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Correct Answer
A. हाँ, सममित है / Yes, it is symmetric
Step 1
Concept
\(a+b\leq5\) होने पर \(b+a\leq5\) भी होगा। / If \(a+b\leq5\), then \(b+a\leq5\) also.
Step 2
Why this answer is correct
योग क्रम बदलने से नहीं बदलता। / The sum does not change when the order is reversed.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर युग्म का उलटा भी शर्त पूरी करता है और संबंध सममित है। / So every pair's reverse also satisfies the condition, making the relation symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\). What type of relation is (R)?
#equality relation
#symmetric relation
#functions
A सममित है / It is symmetric
B सममित नहीं है / It is not symmetric
C रिक्त संबंध है / It is empty
D केवल दो युग्मों वाला है / It has only two pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a^2=b^2\), तो समानता पलटने पर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। / If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) से \((b,a)\in R\) मिलता है। / Hence \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समानता वाले संबंधों में अक्सर सममितता सीधे उलटकर जांची जाती है। / Relations based on equality are often checked by simply reversing the equality.
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यदि किसी संबंध की निर्देशित आकृति में (x) से (y) तक तीर है, तो सममित संबंध के लिए क्या जरूरी है?
If the directed graph of a relation has an arrow from (x) to (y), what is necessary for the relation to be symmetric?
#directed graph
#symmetric relation
#visual reasoning
A (y) से (x) तक भी तीर हो / There must also be an arrow from (y) to (x)
B (x) पर घेरा जरूर हो / There must be a loop at (x)
C (y) पर घेरा जरूर हो / There must be a loop at (y)
D कोई और तीर नहीं होना चाहिए / There must be no other arrow
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (y) से (x) तक भी तीर हो / There must also be an arrow from (y) to (x)
Step 1
Concept
निर्देशित आकृति में तीर (x) से (y) का अर्थ \((x,y)\in R\) है। / An arrow from (x) to (y) represents \((x,y)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए \((y,x)\in R\) भी होना चाहिए। / Symmetry requires \((y,x)\in R\) as well.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उलटी दिशा का तीर जरूरी है। / Therefore an arrow in the reverse direction is necessary.
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यदि (R) सममित है और \((a,b)\notin R\), तो क्या \((b,a)\notin R\) निश्चित रूप से होगा?
If (R) is symmetric and \((a,b)\notin R\), must \((b,a)\notin R\) also be true?
#logical reasoning
#symmetric relation
#contrapositive
A हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा / Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
B नहीं, सममितता अनुपस्थित युग्मों पर कुछ नहीं कहती / No, symmetry says nothing about absent pairs
C हाँ, केवल जब (a=b) हो / Yes, only when (a=b)
D नहीं, ((b,a)) हमेशा संबंध में होगा / No, ((b,a)) is always in the relation
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि \((b,a)\in R\) होने पर \((a,b)\in R\) होना पड़ेगा / Yes, because if \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) must hold
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि किसी भी उपस्थित युग्म का उलटा भी उपस्थित होगा। / Symmetry says the reverse of every present pair is also present.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((b,a)\in R\) होता, तो उलटकर \((a,b)\in R\) भी होना चाहिए था। / If \((b,a)\in R\), then \((a,b)\in R\) would also have to be present.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \((a,b)\notin R\), इसलिए \((b,a)\notin R\) निश्चित है। / Since \((a,b)\notin R\), \((b,a)\notin R\) must be true.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित संबंध (R) में ठीक (2) विकर्ण युग्म और ठीक (2) विकर्ण-बाह्य युग्म-जोड़े हैं। ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), a symmetric relation (R) has exactly (2) diagonal pairs and exactly (2) off-diagonal mirror-pair groups. How many such relations are possible?
#advanced counting
#symmetric relation
#combinations
A \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
B \(4\cdot6\)
C \(2^8\)
D \(\binom{10}{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्मों में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}\) हैं। / Choose (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण-बाह्य उलटे युग्म-जोड़े में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}\) हैं। / Choose (2) off-diagonal mirror groups from (6) in \(\binom{6}{2}\) ways.
Step 3
Exam Tip
दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) है। / The choices are independent, so the total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है। (R) किस कारण सममित नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\). Why is (R) not symmetric?
#missing reverse pair
#symmetric relation
#counterexample
A ((2,1)) अनुपस्थित है / ((2,1)) is missing
B ((1,1)) उपस्थित है / ((1,1)) is present
C ((3,3)) उपस्थित है / ((3,3)) is present
D ((2,2)) उपस्थित है / ((2,2)) is present
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Correct Answer
A. ((2,1)) अनुपस्थित है / ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना जरूरी है। / Symmetry requires ((2,1)) whenever ((1,2)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है। / The relation contains ((1,2)) but not ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता को खराब नहीं करते, कमी उलटे युग्म की है। / Diagonal pairs do not break symmetry; the missing reverse pair does.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) विषम है}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is odd}). What is the correct statement about (R)?
#odd sum relation
#parity
#symmetric relation
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
D (R) केवल एक युग्म वाला है / (R) has only one pair
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / Changing the order in addition does not change the sum.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम होगा। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर युग्म का उलटा भी संबंध में है और (R) सममित है। / Hence every pair has its reverse, so (R) is symmetric.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b=5\}\). What is (R)?
#sum relation
#symmetric relation
#reflexivity
A सममित लेकिन परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
B परावर्ती लेकिन सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C न सममित न परावर्ती / Neither symmetric nor reflexive
D सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
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Correct Answer
A. सममित लेकिन परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) too.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा, अतः यह सममित है। / So each pair comes with its reverse, making the relation symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) जैसे विकर्ण युग्म नहीं आते, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / Diagonal pairs like ((1,1)) are not included, so it is not reflexive.
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