Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल स्वतंत्र समूह (6) हैं। / There are (6) independent groups in total.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाला समूह लेना तय है और ((1,1)) वाला विकर्ण समूह न लेना तय है। / The group containing ((1,2)) is fixed as included, and the diagonal pair ((1,1)) is fixed as excluded.
Step 3
Exam Tip
दो समूह तय होने के बाद (4) समूह स्वतंत्र बचे, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / So (4) groups remain free, giving \(2^4\).
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े (\frac{n(n-1)}{2}) हैं। / The off-diagonal mirror groups are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
A. क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है/Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल वाली संख्याएं क्रम बदलने पर भी समान शेषफल वाली ही रहती हैं। / Numbers with the same remainder still have the same remainder after reversing their order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\equiv b \pmod{2}\) होने पर \(b\equiv a \pmod{2}\) भी सही है। / Thus \(a\equiv b \pmod{2}\) implies \(b\equiv a \pmod{2}\).
Step 3
Exam Tip
सममितता में यही उलटा युग्म जांचना होता है। / Symmetry is exactly about checking this reverse pair.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुण की दिशा बदलकर जांचना सबसे तेज तरीका है। / For such questions, reverse the pair and check whether the condition remains true.
सभी (5) विकर्ण युग्म पहले से तय हैं, इसलिए उनमें चुनाव नहीं है। / The (5) diagonal pairs are fixed, so they give no choice.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़ा या तो पूरा लिया जाएगा या नहीं लिया जाएगा, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / Each group is either included fully or excluded, so the number is \(2^{10}\).
सममित संबंध में विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (4) diagonal pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (4) अवयवों से \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) उलटे युग्म-जोड़े बनते हैं। / The off-diagonal pairs form \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) mirror-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए उत्तर \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (10), so the number of relations is \(2^{10}\).
(a+b=2b) से (a=b) मिलता है। / From (a+b=2b), we get (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R) में केवल विकर्ण युग्म होंगे, जैसे ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4))। ये सभी अपने उल्टे खुद हैं। / Thus (R) contains only diagonal pairs such as ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी अलग दिखने वाली शर्त भी केवल विकर्ण संबंध दे सकती है। / Sometimes a condition that looks different may still define only a diagonal relation.
(a+b=2a) से (b=a) मिलता है। / From (a+b=2a), we get (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के विकर्ण युग्म आएँगे, जो अपने उल्टे खुद होते हैं। / So the relation contains only diagonal pairs ((a,a)), and each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
पहले शर्त सरल करें, फिर सममितता जाँचें। / Simplify the condition first, then check symmetry.
आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ बराबर होनी चाहिए। / For a relation matrix to represent a symmetric relation, entries across the main diagonal must match.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ पहली और तीसरी स्थिति पर \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), तथा बाकी विपरीत प्रविष्टियाँ भी बराबर हैं। / Here \(m_{13}=1\) and \(m_{31}=1\), and the other opposite entries also match.
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने स्थानांतरण के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / A relation is symmetric when its matrix equals its transpose.
\(R^{-1}\) में सभी युग्म उलट जाते हैं। / In \(R^{-1}\), all ordered pairs are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(R=R^{-1}\) तभी होगा जब हर युग्म का उल्टा युग्म पहले से (R) में हो। यही सममितता है। / \(R=R^{-1}\) exactly when every reverse pair is already in (R), which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) सममितता की बहुत उपयोगी पहचान है। / \(R=R^{-1}\) is a very useful test for symmetry.
A. (R) सममित है क्योंकि (a+b=b+a)/(R) is symmetric because (a+b=b+a)
Step 1
Concept
यदि (a+b) (5) का गुणज है, तो (b+a) भी वही योग देगा। / If (a+b) is a multiple of (5), then (b+a) gives the same sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
गुणज वाली योग-शर्त में संख्या का सम या विषम होना सममितता को नहीं रोकता। / For sum-multiple conditions, whether the modulus is even or odd does not affect symmetry.
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वे ठीक हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so they are fine.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) भी दोनों हैं। केवल ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,2)) are also both present. Only the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
हर असमान युग्म की जोड़ी बनाकर जाँचें। / Check off-diagonal pairs in reverse-pair groups.
\(a^2-b^2=0\) का अर्थ है \(a^2=b^2\)। / \(a^2-b^2=0\) means \(a^2=b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\) भी सही है, इसलिए उल्टा युग्म भी आएगा। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
शर्त को सरल रूप में बदलकर देखना परीक्षा में उपयोगी होता है। / Simplifying the condition helps in exam questions.
(a+b=ab) में (a) और (b) को बदलने पर (b+a=ba) मिलता है। / Swapping (a) and (b) in (a+b=ab) gives (b+a=ba).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ और गुणन दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए शर्त वही रहती है। / Both addition and multiplication are commutative, so the condition remains the same.
Step 3
Exam Tip
जब पूरी शर्त बदलने पर समान रहे, तो संबंध सममित होता है। / If the full condition is unchanged after swapping, the relation is symmetric.
(ab) और (ba) बराबर होते हैं। / (ab) and (ba) are equal.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (ab) सम है, तो (ba) भी सम होगा, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / If (ab) is even, then (ba) is also even, so the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
गुणन में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। / Multiplication is commutative, so product-based conditions often preserve symmetry.
((1,2)) और ((2,1)) संतुलित हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are already balanced.
Step 2
Why this answer is correct
((3,1)) मौजूद है, पर उसका उल्टा ((1,3)) नहीं है। ((2,2)) अपना उल्टा खुद है। / ((3,1)) is present, but its reverse ((1,3)) is missing. ((2,2)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
केवल गायब उल्टे युग्म जोड़ें, अनावश्यक विकर्ण युग्म नहीं। / Add only missing reverse pairs, not unnecessary diagonal pairs.
तीर ((a,b)) को दिखाता है। / An arrow from (a) to (b) represents ((a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
हर तीर के साथ उल्टा तीर होना ((b,a)) की उपस्थिति बताता है, यही सममितता है। / A reverse arrow for every arrow means ((b,a)) is also present, which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
आलेखीय प्रश्नों में तीरों की दिशा देखकर गुण पहचानें। / In diagram-based questions, observe arrow directions carefully.
समान सम-विषम प्रकृति का संबंध दोनों दिशाओं में समान रहता है। / Having the same parity is a two-way condition.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो (b) और (a) भी उसी प्रकार रहेंगे। / If (a) and (b) are both even or both odd, then (b) and (a) are also the same way.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग में होने वाली शर्तें सममित संबंध देती हैं। / Conditions based on belonging to the same class give symmetric relations.
