(p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), which is irrational. In exams substitute first and then simplify the radical.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. अपरिमेय / Irrational. (p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), which is irrational. In exams substitute first and then simplify the radical.
Step 3
Exam Tip
(p\(\sqrt{2}\)=2-5\sqrt{2}+6=8-5\sqrt{2}), जो अपरिमेय है। परीक्षा में पहले प्रतिस्थापन करें फिर वर्गमूल को सरल करें।
A. (p=2k) रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है/Putting (p=2k) gives \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
First (p) is proved even, so (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
Thus \(q^2\) is even and hence (q) is even. चरण 1: पहले (p) सम सिद्ध होता है, इसलिए (p=2k)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने से \(q^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और इसलिए (q) सम होता है।
A. (p=3r) को \(p^2=3q^2\) में रखकर \(q^2=3r^2\) पाना/Substitute (p=3r) in \(p^2=3q^2\) to get \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3r) in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
From \(9r^2=3q^2\), we get \(q^2=3r^2\), so \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Do not conclude about (q) without substitution. चरण 1: (p=3r) को मूल समीकरण में रखना होगा। चरण 2: \(9r^2=3q^2\) से \(q^2=3r^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\)। चरण 3: बिना प्रतिस्थापन किए (q) पर निष्कर्ष न लिखें।
Squaring the coefficient correctly is necessary for the next conclusion. चरण 1: (a=3m) का वर्ग \(a^2=9m^2\) होगा। चरण 2: इसे \(a^2=3b^2\) में रखने पर \(9m^2=3b^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग सही रखना आगे के निष्कर्ष के लिए जरूरी है।
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना/Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then \(3\mid q\) is proved. चरण 1: \(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(3\mid q\) साबित होता है।
This makes (5) common to both (p) and (q). चरण 1: (p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। चरण 2: इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। चरण 3: यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है।
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)/\(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows (3) in both numerator and denominator. चरण 1: \(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। चरण 3: यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है।
This step completes the proof that (q) is even. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। चरण 2: \(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है।
In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This is the final step against coprimality. चरण 1: \(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है।
From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=3r) gives \(9r^2=3q^2\), so \(q^2=3r^2\).
Step 3
Exam Tip
This shows the path to proving (q) is divisible by (3). चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: (p=3r) रखने पर \(9r^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3r^2\)। चरण 3: इस रूप से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता खुलता है।
B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना/To show (n) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
(m=5k) shows factor (5) in (m).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it in \(m^2=5n^2\) gives \(n^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then (n) is also proved divisible by (5), giving contradiction. चरण 1: (m=5k) से (m) में (5) का गुणनखंड मिल चुका है। चरण 2: इसे \(m^2=5n^2\) में रखने पर \(n^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: तब (n) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होकर विरोधाभास बनेगा।
From \(4r^2=2q^2\), dividing both sides by (2) gives \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves \(q^2\), and then (q), is even. चरण 1: (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) होगा। चरण 2: \(4r^2=2q^2\) से दोनों ओर (2) से भाग करने पर \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इससे \(q^2\) सम और फिर (q) सम सिद्ध होता है।
This leads to the conclusion that (q) is divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इसी से (q) के (5) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है।
Always remember to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) है, इसलिए (p-2=(3k)2)। चरण 2: ((3k)2=9k-2), अतः \(9k^2=3q^2\) मिलेगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना हमेशा याद रखें।
This is used to prove (q) is also divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), अर्थात \(q^2=5k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध किया जाता है।
Writing ((2k)2) as \(2k^2\) is a common mistake. चरण 1: (p=2k) होने पर (p-2=(2k)2=4k-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: ((2k)2) को \(2k^2\) लिखना सामान्य गलती है।
From \(9t^2=3b^2\), divide by (3) to get \(b^2=3t^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not rush the division step. चरण 1: (a=3t) रखने पर \(a^2=9t^2\) होगा। चरण 2: \(9t^2=3b^2\) से दोनों ओर (3) से भाग करने पर \(b^2=3t^2\) मिलेगा। चरण 3: भाग करने के चरण में जल्दबाजी न करें।
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=2r) है, इसलिए (p-2=(2r)2=4r-2)। चरण 2: इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें।
This later shows that (q) is divisible by (5). चरण 1: \(25k^2=5q^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। चरण 2: \(5k^2=q^2\), यानी \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) के (5) से विभाज्य होने की बात आगे आती है।
This leads to (q) being divisible by (3). चरण 1: \(9k^2=3q^2\) के दोनों ओर (3) से भाग करें। चरण 2: \(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलेगा। चरण 3: इससे (q) के (3) से विभाज्य होने की राह खुलती है।
In such steps, divide both sides by the same number. चरण 1: \(4k^2=2b^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। चरण 2: इससे \(2k^2=b^2\), अर्थात \(b^2=2k^2\) मिलता है। चरण 3: ऐसे चरण में दोनों ओर समान संख्या से भाग करें।
A. \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) (5) से विभाज्य है/\(q^2=5k^2\), so (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Getting a common factor creates the contradiction. चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होता है। चरण 2: \(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास बनता है।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) (3) से विभाज्य है/\(q^2=3k^2\), so (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
Putting (p=3k) gives \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\), so (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
A common factor breaks the coprime condition. चरण 1: (p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। चरण 2: \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलने पर सहअभाज्य शर्त टूटती है।
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है/\(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even
Step 1
Concept
If (p=2k), then \(p^2=4k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(4k^2=2q^2\), we get \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) is even.
Step 3
Exam Tip
Simplify step by step to avoid mistakes. चरण 1: (p=2k) रखने पर \(p^2=4k^2\) होगा। चरण 2: \(4k^2=2q^2\) से \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम है। चरण 3: धीरे-धीरे सरलीकरण करें ताकि गलती न हो।
The product is (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}).
Step 3
Exam Tip
Before applying an identity directly, substitute the given value of (x) carefully. चरण 1: ((x-2)=\sqrt{7}) और ((x+2)=\sqrt{7}+4)। चरण 2: गुणन (\sqrt{7}\(\sqrt{7}+4\)=7+4\sqrt{7}) है। चरण 3: सीधे सूत्र लगाने से पहले (x) का दिया हुआ मान ध्यान से रखें।
Simplify inside the bracket before expanding the square. चरण 1: \(x-\sqrt{2}=\sqrt{5}\) है। चरण 2: इसलिए (\(x-\sqrt{2}\)2=\(\sqrt{5}\)2=5)। चरण 3: पूरे वर्ग को फैलाने से पहले कोष्ठक के अंदर सरल करें।
\(x-\sqrt{3}=\sqrt{2}\) and \(x-\sqrt{2}=\sqrt{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Their product is \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify the small brackets first. चरण 1: \(x-\sqrt{3}=\sqrt{2}\) और \(x-\sqrt{2}=\sqrt{3}\)। चरण 2: उनका गुणन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) है। चरण 3: पहले छोटे-छोटे कोष्ठकों को सरल करें।
