HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is not in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^5\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always take the smaller powers. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^5\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में केवल छोटी घातें लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
The smaller powers of (2), (3), and (7) are (3), (1), and (1), so HCF \(=2^3\times3\times7\).
Step 3
Exam Tip
Match each smaller power with the correct base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2), (3), (7) की छोटी घातें क्रमशः (3), (1), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3\times7\) है। चरण 3: छोटी घातों को आधार के साथ सही मिलाएँ।
Prime factorise: \(75=3\times5^2\), \(125=5^3\), and \(200=2^3\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
LCM \(=2^3\times3\times5^3=3000\).
Step 3
Exam Tip
Use the highest powers to get the final value. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड करें: \(75=3\times5^2\), \(125=5^3\), \(200=2^3\times5^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times5^3=3000\) है। चरण 3: सबसे बड़ी घातों को लेकर ही अंतिम मान निकालें।
\(75=3\times5^2\), \(125=5^3\), and \(200=2^3\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), (3), and \(5^3\), so LCM \(=8\times3\times125=3000\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget that \(5^3=125\). चरण 1: \(75=3\times5^2\), \(125=5^3\), \(200=2^3\times5^2\) है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), (3), \(5^3\) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(8\times3\times125=3000\) है। चरण 3: गणना में \(5^3\) को (125) लेना न भूलें।
HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is not present in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the smaller power. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), (3) और (5) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में हमेशा छोटी घात चुनें।
Since (ab=420), \(b=\frac{420}{20}=21\), and (20) and (21) are coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition helps verify the final answer. चरण 1: \(a=2^2\times5=20\) है। चरण 2: (ab=420), इसलिए \(b=\frac{420}{20}=21\) है, और (20) तथा (21) सहाभाज्य भी हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त अंतिम उत्तर की जाँच में मदद करती है।
The common primes are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, always choose the smaller power of each common prime. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं, इसलिए उत्तर \(2^3\times3^2\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक निकालते समय छोटी घात चुनें।
The larger power of (2) is \(2^5\), and that of (3) is \(3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not assume the larger given number is always the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए प्रत्येक अभाज्य की बड़ी घात चुनें। चरण 2: (2) की बड़ी घात \(2^5\) और (3) की बड़ी घात \(3^2\) है, इसलिए उत्तर \(2^5\times3^2\) है। चरण 3: बड़ी संख्या को ही लघुत्तम समापवर्त्य मान लेना हमेशा सही नहीं होता।
The common factors are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^2\) and \(3^2\), so the HCF is (36).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that HCF uses the minimum powers of common primes. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं, इसलिए मान \(4\times9=36\) है। चरण 3: परीक्षा में महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनना याद रखें।
The smallest such number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), and \(72=2^3\times 3^2\). The LCM is \(2^3\times 3^3\times 5=1080\).
Step 3
Exam Tip
Remainder (0) means exact divisibility by all numbers. चरण 1: सबसे छोटी ऐसी संख्या इन तीनों का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: \(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), और \(72=2^3\times 3^2\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^3\times 5=1080\) है। चरण 3: शेषफल (0) का अर्थ है संख्या सभी से पूरी तरह विभाजित हो।
The greatest number that divides all exactly is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), and \(180=2^2\times 3^2\times 5\). The common smallest part is \(2^2\times 3^2=36\).
Step 3
Exam Tip
When the greatest exact divisor is asked, find the HCF. चरण 1: ऐसी सबसे बड़ी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), और \(180=2^2\times 3^2\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^2\times 3^2=36\) है। चरण 3: सबसे बड़ी पूर्ण भाजक संख्या पूछी हो तो महत्तम समापवर्तक निकालें।
दो संख्याएँ \(2^a\times 3^2\times 5\) और \(2^4\times 3^b\times 7\) हैं। यदि उनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\) है, तो ((a,b)) के लिए कौन सा विकल्प सही है?
In the HCF, the exponent of (2) must be (\min(a,4)=3), so (a=3) fits.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) must be (\min(2,b)=2), so \(b\geq 2\); among the options, ((3,2)) fits.
Step 3
Exam Tip
For unknown exponents, apply the smaller-exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) का घातांक (\min(a,4)=3) होना चाहिए, इसलिए (a=3) संभव है। चरण 2: (3) का घातांक (\min(2,b)=2) होना चाहिए, इसलिए \(b\geq 2\); दिए विकल्पों में ((3,2)) सही बैठता है। चरण 3: अज्ञात घातांक वाले प्रश्न में छोटे घातांक का नियम लगाएँ।
\(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), so the LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\). The smallest multiple greater than (1000) is (1440).
Step 3
Exam Tip
Find the LCM first, then choose its multiple according to the limit. चरण 1: पहले (36), (48), और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। चरण 2: \(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। (1000) से बड़ा सबसे छोटा गुणज (1440) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य, फिर सीमा के अनुसार उसका गुणज लें।
Since all sweets must be divided equally, find the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times 3\), \(144=2^4\times 3^2\), and \(240=2^4\times 3\times 5\). The common smallest part is \(2^4\times 3=48\).
Step 3
Exam Tip
For greatest equal grouping, use HCF. चरण 1: हर प्रकार की मिठाई बराबर बँटनी है, इसलिए महत्तम समापवर्तक निकालेंगे। चरण 2: \(96=2^5\times 3\), \(144=2^4\times 3^2\), और \(240=2^4\times 3\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^4\times 3=48\) है। चरण 3: सबसे अधिक बराबर बाँटने वाले प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The time when they ring together again is the LCM of (18), (24), and (30).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), \(30=2\times 3\times 5\). The LCM is \(2^3\times 3^2\times 5=360\).
Step 3
Exam Tip
Use LCM for repeated-time meeting problems. चरण 1: साथ दोबारा बजने का समय (18), (24), और (30) का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(18=2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), \(30=2\times 3\times 5\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^2\times 5=360\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लगाएँ।
Subtract the remainder (5) from each number to get (132), (180), and (252).
Step 2
Why this answer is correct
Find their HCF. \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), so the common part is \(2^2\times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder problems, subtract the remainder first. चरण 1: शेषफल (5) हटाने पर संख्याएँ (132), (180), और (252) मिलती हैं। चरण 2: इनका महत्तम समापवर्तक निकालें। \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), इसलिए समान भाग \(2^2\times 3=12\) है। चरण 3: समान शेषफल वाले प्रश्न में पहले शेषफल घटाएँ।
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
For two numbers, their product equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) in the product is (2+5=7).
Step 3
Exam Tip
If only one prime exponent is asked, add only that prime's exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) का घातांक (2+5=7) होगा। चरण 3: केवल पूछे गए अभाज्य का घातांक जोड़कर जल्दी उत्तर मिल सकता है।
LCM takes the greatest exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest exponent of (2) is (4), of (3) is (5), and of (5) is (2). So the answer is \(2^4\times 3^5\times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Any prime appearing in at least one number must appear in the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के सबसे बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: (2) का बड़ा घातांक (4), (3) का (5), और (5) का (2) है। इसलिए उत्तर \(2^4\times 3^5\times 5^2\)। चरण 3: जो अभाज्य संख्या किसी एक संख्या में भी हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में आती है।
HCF contains only the prime factors common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest exponent of (2) is (3) and of (3) is (1). (5) and (7) are not common to all. Hence the answer is \(2^3\times 3\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first identify prime factors common to all. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल वे अभाज्य गुणनखंड आते हैं जो तीनों में हों। चरण 2: (2) का छोटा घातांक (3) और (3) का छोटा घातांक (1) है। (5) और (7) तीनों में साथ नहीं हैं। इसलिए उत्तर \(2^3\times 3\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में समान गुणनखंड पहचानना सबसे जरूरी है।
When the product is asked, you need not find HCF and LCM separately. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: घातांक जोड़ने पर \(2^{3+2}\times 3^{2+4}\times 5\times 7=2^5\times 3^6\times 5\times 7\)। चरण 3: जब गुणनफल पूछा हो, तो अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालना जरूरी नहीं।
For two numbers, product of the numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The other number \(=\frac{18\times 540}{90}=108\).
Step 3
Exam Tip
Apply this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{18\times 540}{90}=108\) होगी। चरण 3: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू करें।
For LCM, take the greater exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\).
Step 3
Exam Tip
While finding LCM, do not leave out any prime factor. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\) मिलता है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य निकालते समय कोई भी अभाज्य गुणनखंड छोड़ना नहीं चाहिए।
\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, carefully choose the smaller powers. चरण 1: \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। चरण 2: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। चरण 3: ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें।
\(16=2^4\) and \(27=3^3\), so \(432=2^4 \times 3^3\). Hence (a=4, b=3).
Step 3
Exam Tip
For unknown exponents, split the number into familiar powers. चरण 1: (432) को \(16 \times 27\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(27=3^3\), इसलिए \(432=2^4 \times 3^3\)। अतः (a=4, b=3)। चरण 3: अज्ञात घातों के लिए संख्या को पहचानी हुई घातों में तोड़ें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए वह अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती से बचें।
In an odd factor, the exponent of (2) must be (0).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) can be (0,1,2,3), giving (4) odd factors.
Step 3
Exam Tip
While counting odd factors, remove (2) completely. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (3) की घात (0,1,2,3) हो सकती है, इसलिए (4) विषम गुणनखंड होंगे। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को पूरी तरह हटाएं।
An even factor must have exponent of (2) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) has (3) choices (1,2,3), (3) has (3) choices (0,1,2), and (5) has (2) choices (0,1). Total (18).
Step 3
Exam Tip
While counting even factors, do not take exponent (0) for (2). चरण 1: सम गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) के (3) विकल्प, (3) की घात (0,1,2) के (3) विकल्प और (5) की घात (0,1) के (2) विकल्प देती है। कुल \(3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: सम गुणनखंड गिनते समय (2) की घात (0) न लें।
