A. हर (1) से बड़ी पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही मूल रूप में लिखा जा सकता है/Every integer greater than (1) can be written as a product of primes in one basic way
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation except for order.
Step 2
Why this answer is correct
Option A states this correctly.
Step 3
Exam Tip
Unique means the same prime factors appear, only their order may change. चरण 1: अंकगणित का मूल सिद्धांत कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: विकल्प A यही बात सही ढंग से कहता है। चरण 3: अद्वितीयता का अर्थ है कि गुणनखंड वही रहेंगे, केवल क्रम बदल सकता है।
Coprime numbers do not have any common factor greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, their HCF is always (1), even if their product is large.
Step 3
Exam Tip
When you see coprime, think about common factors first. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में कोई भी (1) से बड़ा समान गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक हमेशा (1) होता है, चाहे उनका गुणनफल कितना भी बड़ा हो। चरण 3: सहअभाज्य शब्द दिखे तो पहले समान गुणनखंड की बात सोचें।
Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें।
A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent. चरण 1: (2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें।
For an unknown exponent, apply the factor-count rule directly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(2+1)(1+1)) होंगे। चरण 2: ((a+1)\times3\times2=24), इसलिए (a+1=4) और (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात वाले प्रश्न में गुणनखंडों का नियम सीधे लगाएं।
Multiply the prime factors according to their powers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) and \(7^2=49\), so \(4\times3\times49=588\).
Step 3
Exam Tip
First evaluate powers, then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात के अनुसार गुणा करें। चरण 2: \(2^2=4\), \(7^2=49\), इसलिए \(4\times3\times49=588\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालें, फिर धीरे-धीरे गुणा करें।
LCM uses higher exponents and HCF uses lower exponents.
Step 2
Why this answer is correct
In the ratio, subtract exponents: \(2^{4-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Use exponent difference instead of calculating both full numbers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात होती है। चरण 2: अनुपात में घातें घटती हैं: \(2^{4-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पूरी संख्या निकालने की जगह घातों का अंतर लें।
LCM includes every prime factor with its highest exponent.
Step 2
Why this answer is correct
Highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and \(5^2\).
Step 3
Exam Tip
For LCM, do not miss a prime factor that appears in either number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंड अपनी सबसे बड़ी घात के साथ लिए जाते हैं। चरण 2: (2) की बड़ी घात (3), (3) की घात (2), और (5) की बड़ी घात (2) है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में कोई अभाज्य गुणनखंड छूटना नहीं चाहिए।
The smaller power of (2) is (2), and the smaller power of (3) is (2). So HCF \(=2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, choose the smaller exponent of common primes. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: (2) की छोटी घात (2) और (3) की छोटी घात (2) है, इसलिए उत्तर \(2^2\times3^2\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनें।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) needs one more (2), \(3^2\) needs one more (3), and \(7^1\) needs \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2), \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3), और \(7^1\) को \(7^3\) बनाने के लिए \(7^2\) चाहिए। चरण 3: घातों को अगली (3) की गुणज तक पूरा करें।
In a perfect square, every prime factor must have an even exponent.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) and \(5^2\) are already even powers, but \(3^3\) is odd. Dividing by (3) leaves \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Fix only the prime factor with an odd exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) और \(5^2\) की घात सम है, पर \(3^3\) विषम है। (3) से भाग देने पर \(3^2\) रह जाएगा। चरण 3: केवल विषम घात वाले गुणनखंड को ठीक करें, पूरी संख्या को नहीं।
For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, always add (1) to each exponent before multiplying. चरण 1: किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। चरण 2: यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। चरण 3: परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें।
A. क्योंकि 600 और 49 संयुक्त रूप हैं/Because 600 and 49 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(600=2^3\times3\times5^2\) and \(49=7^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^3\times3\times5^2\times7^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(600=2^3\times3\times5^2\) और \(49=7^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^3\times3\times5^2\times7^2\) होगा।
\(64=2^6\) and \(729=3^6\), so \(46656=2^6\times3^6\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 64 and 729 in the final form. चरण 1: \(46656=64\times729\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(64=2^6\) और \(729=3^6\), इसलिए \(46656=2^6\times3^6\)। चरण 3: 64 और 729 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(675=3^3\times5^2\) and \(49=7^2\), so \(33075=3^3\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Write 675 and 49 as prime powers. चरण 1: \(33075=675\times49\) लिखें। चरण 2: \(675=3^3\times5^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(33075=3^3\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 675 और 49 को अभाज्य घातों में लिखें।
\(600=2^3\times3\times5^2\) and \(49=7^2\), so \(29400=2^3\times3\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Break 600 and 49 completely. चरण 1: \(29400=600\times49\) लिखें। चरण 2: \(600=2^3\times3\times5^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(29400=2^3\times3\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 600 और 49 को पूरी तरह तोड़ें।
\(2^4\times45\times49\) must be changed into \(2^4\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: अधूरे रूप में संयुक्त गुणनखंड बचा रहता है। चरण 2: 45 और 49 दोनों संयुक्त हैं। चरण 3: \(2^4\times45\times49\) को \(2^4\times3^2\times5\times7^2\) में बदलना होगा।
In the first form, the bases 2, 3, 5, 7, and 11 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 9, 385, and 72 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले रूप में आधार 2, 3, 5, 7 और 11 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 9, 385 और 72 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
\(3465=3^2\times5\times7\times11\), so \(27720=2^3\times3^2\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 3465 its complete prime form. चरण 1: \(27720=8\times3465\) लिखें। चरण 2: \(3465=3^2\times5\times7\times11\), इसलिए \(27720=2^3\times3^2\times5\times7\times11\)। चरण 3: 3465 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(450=2\times3^2\times5^2\) and \(49=7^2\), so \(22050=2\times3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Give 450 its complete prime form. चरण 1: \(22050=450\times49\) लिखें। चरण 2: \(450=2\times3^2\times5^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(22050=2\times3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 450 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(256=2^8\) and \(81=3^4\), so \(20736=2^8\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Convert 256 and 81 into prime powers. चरण 1: \(20736=256\times81\) लिखें। चरण 2: \(256=2^8\) और \(81=3^4\), इसलिए \(20736=2^8\times3^4\)। चरण 3: 256 और 81 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(2205=3^2\times5\times7^2\), so \(17640=2^3\times3^2\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Give 2205 its complete prime form. चरण 1: \(17640=8\times2205\) लिखें। चरण 2: \(2205=3^2\times5\times7^2\), इसलिए \(17640=2^3\times3^2\times5\times7^2\)। चरण 3: 2205 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(32=2^5\) and \(495=3^2\times5\times11\), so \(15840=2^5\times3^2\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 495 its complete prime form. चरण 1: \(15840=32\times495\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(495=3^2\times5\times11\), इसलिए \(15840=2^5\times3^2\times5\times11\)। चरण 3: 495 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(300=2^2\times3\times5^2\) and \(49=7^2\), so \(14700=2^2\times3\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 300 into prime powers. चरण 1: \(14700=300\times49\) लिखें। चरण 2: \(300=2^2\times3\times5^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(14700=2^2\times3\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 300 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(270=2\times3^3\times5\) and \(49=7^2\), so \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep 270 and 49 in the final form. चरण 1: \(13230=270\times49\) लिखें। चरण 2: \(270=2\times3^3\times5\) और \(49=7^2\), इसलिए \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 3: 270 और 49 को अंतिम रूप में न रखें।
\(32=2^5\) and \(385=5\times7\times11\), so \(12320=2^5\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 385 its complete prime form. चरण 1: \(12320=32\times385\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(385=5\times7\times11\), इसलिए \(12320=2^5\times5\times7\times11\)। चरण 3: 385 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(128=2^7\) and \(81=3^4\), so \(10368=2^7\times3^4\).
Step 3
Exam Tip
Write both 128 and 81 as prime powers. चरण 1: \(10368=128\times81\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\) और \(81=3^4\), इसलिए \(10368=2^7\times3^4\)। चरण 3: 128 और 81 दोनों को अभाज्य घातों में लिखें।
\(8=2^3\) and \(1225=5^2\times7^2\), so \(9800=2^3\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 1225 in the final form. चरण 1: \(9800=8\times1225\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(1225=5^2\times7^2\), इसलिए \(9800=2^3\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 1225 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(49=7^2\), so \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 180 and 49 into prime powers. चरण 1: \(8820=180\times49\) लिखें। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(49=7^2\), इसलिए \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\)। चरण 3: 180 और 49 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(15=3\times5\) and \(539=7^2\times11\), so \(8085=3\times5\times7^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 539 its complete prime form too. चरण 1: \(8085=15\times539\) लिखें। चरण 2: \(15=3\times5\) और \(539=7^2\times11\), इसलिए \(8085=3\times5\times7^2\times11\)। चरण 3: 539 को भी पूरा अभाज्य रूप दें।
