B. अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं आधार होती हैं/Only prime numbers are bases in prime factorisation
Step 1
Concept
Prime factorisation means writing a number as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the bases must be prime numbers only.
Step 3
Exam Tip
Treating (1) as a prime factor is a major mistake. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अर्थ है संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना। चरण 2: इसलिए आधार केवल अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 3: (1) को अभाज्य गुणनखंड मानना बड़ी गलती है।
\(4^3\) gives the value, but it is not prime factorisation because (4) is not prime. चरण 1: (64) को (2) से बार-बार भाग दें। चरण 2: \(64=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^6\)। चरण 3: \(4^3\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (4) अभाज्य नहीं है।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a square, increase odd exponents by one to make them even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें।
In a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^2\) into \(2^3\) and \(3^2\) into \(3^3\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a cube, exponents should be like (3,6,9). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) को \(2^3\) और \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण घन में घातें (3,6,9) जैसी होनी चाहिए।
Removing \(2^5\) leaves only (3), so the greatest odd factor is (3).
Step 3
Exam Tip
For the greatest odd factor, remove all powers of (2). चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को हटाने पर केवल (3) बचता है, इसलिए सबसे बड़ा विषम गुणनखंड (3) है। चरण 3: सबसे बड़े विषम गुणनखंड के लिए सभी (2) हटा दें।
\(12=2^2 \times 3\) and \(10=2 \times 5\), so \(120=2^3 \times 3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to combine repeated prime factors from different parts. चरण 1: \(120=12 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(12=2^2 \times 3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(120=2^3 \times 3 \times 5\)। चरण 3: अलग-अलग भागों के समान अभाज्य गुणनखंडों को जोड़ना न भूलें।
A trailing zero is formed by a pair \(10=2 \times 5\).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (3) and of (5) is (2), so (2) pairs can be formed.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, take the smaller exponent of (2) and (5). चरण 1: अंतिम शून्य \(10=2 \times 5\) के जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (3) और (5) की घात (2) है, इसलिए जोड़े (2) बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए (2) और (5) की छोटी घात लें।
A divisor must not need prime exponents greater than those available.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3 \times 3^2\), which is fully present in \(2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, match the exponent of each prime separately. चरण 1: भाजक के अभाज्य गुणनखंड उपलब्ध घातों से अधिक नहीं होने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3 \times 3^2\), जो \(2^4 \times 3^2\) में पूरी तरह मौजूद है। चरण 3: विभाज्यता में हर अभाज्य की घात अलग-अलग मिलाएं।
\(54=2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting a large number into easy parts is a safe method. चरण 1: \(540=54 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(54=2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(540=2^2 \times 3^3 \times 5\)। चरण 3: बड़े नंबर को आसान भागों में तोड़ना सुरक्षित तरीका है।
Remembering small powers helps you calculate faster. चरण 1: \(3^3=27\) है। चरण 2: \(27 \times 7=189\), इसलिए संख्या (189) है। चरण 3: पहले छोटी घातों को याद करके गणना तेज करें।
\(8=2^3\) and \(27=3^3\), so \(216=2^3 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
Recognising cube numbers is very useful in medium-level questions. चरण 1: \(216=8 \times 27\) है। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27=3^3\), इसलिए \(216=2^3 \times 3^3\)। चरण 3: घन संख्याएं पहचानना मध्यम स्तर के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
Keeping the order of powers and multiplication clear reduces mistakes. चरण 1: \(3^2\) का मान (9) है। चरण 2: \(9 \times 5=45\), इसलिए (m=45)। चरण 3: घात और गुणा का क्रम ठीक रखने से गलती कम होती है।
For total factors, add (1) to each exponent and multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\).
Step 3
Exam Tip
If an exponent is not shown, take it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करें। चरण 2: \((2+1)(2+1)(1+1)=3 \times 3 \times 2=18\)। चरण 3: जिस अभाज्य पर घात न दिखे, उसकी घात (1) मानें।
The exponents are (2,4,3,1), and the greatest is (4).
Step 3
Exam Tip
For comparison, you need not calculate the whole number; check only the required exponent. चरण 1: हर विकल्प में (2) की घात देखें। चरण 2: घातें (2,4,3,1) हैं, इनमें सबसे बड़ी (4) है। चरण 3: तुलना में पूरी संख्या निकालना जरूरी नहीं, केवल मांगी गई घात देखें।
\(16=2^4\) and \(9=3^2\), so \(144=2^4 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Recognising square numbers helps in prime factorisation. चरण 1: \(144=16 \times 9\) है। चरण 2: \(16=2^4\) और \(9=3^2\), इसलिए \(144=2^4 \times 3^2\)। चरण 3: वर्ग संख्याएं पहचानना अभाज्य गुणनखंडन में मदद करता है।
\(9=3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(90=2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Splitting into easy parts like (9) and (10) is quick. चरण 1: \(90=9 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(90=2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: (9) और (10) जैसे आसान भागों में तोड़ना तेज तरीका है।
Use this method when the number is in prime factorised form. चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((3+1)(2+1)=4 \times 3=12\)। चरण 3: यह तरीका तभी लगाएं जब संख्या अभाज्य गुणनखंडन रूप में हो।
An odd number does not have (2) as a prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
The third option has (3,5,7) and no (2), so it forms an odd number.
Step 3
Exam Tip
If (2) appears, the number is even. चरण 1: विषम संख्या में (2) अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: तीसरे विकल्प में (3,5,7) हैं और (2) नहीं है, इसलिए यह विषम संख्या बनेगी। चरण 3: (2) दिखते ही संख्या सम हो जाती है।
An even number must have (2) in its prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Only the third option contains (2), so it forms an even number.
Step 3
Exam Tip
You do not need to calculate the whole number to check even or odd. चरण 1: सम संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में (2) अवश्य होता है। चरण 2: केवल तीसरे विकल्प में (2) है, इसलिए वही सम संख्या बनाएगा। चरण 3: सम या विषम पहचानने के लिए पूरी संख्या निकालने की जरूरत नहीं होती।
\(4=2^2\) and \(100=2^2 \times 5^2\), so \(400=2^4 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
(4) is not prime, so final factorisation must use only prime bases. चरण 1: \(400=4 \times 100\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(100=2^2 \times 5^2\), इसलिए \(400=2^4 \times 5^2\)। चरण 3: (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार लिखें।
\(9=3^2\) and \(35=5 \times 7\), so \(315=3^2 \times 5 \times 7\). It does not include (2).
Step 3
Exam Tip
A prime not appearing in the factorisation is not a prime factor of the number. चरण 1: \(315=9 \times 35\) लिखें। चरण 2: \(9=3^2\) और \(35=5 \times 7\), इसलिए \(315=3^2 \times 5 \times 7\)। इसमें (2) शामिल नहीं है। चरण 3: जो अभाज्य गुणनखंडन में नहीं आता, वह उस संख्या का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
Solving powers first makes multiplication simple. चरण 1: \(2^3=8\) और \(5^2=25\) है। चरण 2: \(8 \times 25=200\), इसलिए संख्या (200) है। चरण 3: घातों को पहले हल करने से गुणा सरल हो जाता है।
\(18=2 \times 3^2\) and \(10=2 \times 5\), so \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Focus on the required exponent instead of memorising the whole number. चरण 1: \(180=18 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(18=2 \times 3^2\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(180=2^2 \times 3^2 \times 5\)। चरण 3: मांगी गई घात ही देखें, पूरी संख्या याद रखना जरूरी नहीं है।
For an unknown exponent, compare prime factorisations on both sides. चरण 1: (72) का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(72=8 \times 9=2^3 \times 3^2\), इसलिए (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात के लिए दोनों ओर के अभाज्य गुणनखंड मिलाएं।
\(15^2\) shows the value, but it is not prime factorisation because (15) is not prime. चरण 1: \(225=15 \times 15\) है। चरण 2: \(15=3 \times 5\), इसलिए \(225=3^2 \times 5^2\)। चरण 3: \(15^2\) मान तो सही दिखाता है, पर अभाज्य गुणनखंडन में (15) नहीं लिखते।
Evaluating the power first makes calculation easier. चरण 1: \(2^4\) का मान (16) है। चरण 2: \(16 \times 3=48\), इसलिए बनी संख्या (48) है। चरण 3: पहले घात का मान निकालना गणना को आसान बनाता है।
In prime factorisation, every base must be a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the second option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Always check each base carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए दूसरा विकल्प सही अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार की जांच जरूर करें।
To find an exponent, divide repeatedly by that prime. चरण 1: (96) को \(32 \times 3\) लिख सकते हैं। चरण 2: \(32=2^5\), इसलिए \(96=2^5 \times 3\)। चरण 3: किसी अभाज्य की घात जानने के लिए उस अभाज्य से बार-बार भाग देना अच्छा तरीका है।
