Multiply completely before selecting the option. चरण 1: दी गई घात का मान निकालें। चरण 2: \(2^2 \times 3 \times 5=4 \times 3 \times 5=60\)। चरण 3: विकल्प चुनने से पहले पूरा गुणा अवश्य करें।
\(15=3 \times 5\) and \(10=2 \times 5\), so \(150=2 \times 3 \times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Writing repeated prime factors as powers keeps the answer neat. चरण 1: (150) को \(15 \times 10\) के रूप में तोड़ें। चरण 2: \(15=3 \times 5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(150=2 \times 3 \times 5^2\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात के रूप में लिखना साफ तरीका है।
\(2^3=8\) and \(3^2=9\), so \(8 \times 9 \times 5=360\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, solve powers before multiplying. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^3=8\) और \(3^2=9\), इसलिए \(8 \times 9 \times 5=360\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में घात हल करने के बाद ही गुणा करें।
Since \(4=2^2\) and \(21=3 \times 7\), \(84=2^2 \times 3 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
In exams, multiply back to verify the original number. चरण 1: (84) को \(4 \times 21\) के रूप में लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(21=3 \times 7\), इसलिए \(84=2^2 \times 3 \times 7\)। चरण 3: परीक्षा में गुणा करके वापस मूल संख्या मिलाकर जांच करें।
Do not ignore powers while reading factorisation. चरण 1: पहले \(2^2=4\) लिखें। चरण 2: संख्या \(4\times3\times11=132\) होगी। चरण 3: गुणनखंडन पढ़ते समय घातों को अनदेखा न करें।
\(32\times9=288\), so the LCM is (288). चरण 1: \(96=2^5\times3\) और \(144=2^4\times3^2\)। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(32\times9=288\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (288) है।
The smaller powers of common factors are \(2^4\) and (3).
Step 3
Exam Tip
\(16\times3=48\), so the HCF is (48). चरण 1: \(96=2^5\times3\) और \(144=2^4\times3^2\)। चरण 2: समान गुणनखंडों की छोटी घातें \(2^4\) और (3) हैं। चरण 3: \(16\times3=48\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (48) है।
\(2\times3\times17=102\), so the answer is (102). चरण 1: \(34=2\times17\) और \(51=3\times17\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (2), (3) और (17) लिए जाते हैं। चरण 3: \(2\times3\times17=102\), इसलिए उत्तर (102) है।
\(2\times3\times11=66\), so the answer is (66). चरण 1: \(22=2\times11\) और \(33=3\times11\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए (2), (3) और (11) सभी लिए जाते हैं। चरण 3: \(2\times3\times11=66\), इसलिए उत्तर (66) है।
Therefore, the HCF is (11). चरण 1: \(22=2\times11\) और \(33=3\times11\)। चरण 2: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (11) है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (11) है।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
Link uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately and multiply. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। चरण 3: सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें।
Make an equation when finding an exponent from factor count. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)) होते हैं। चरण 2: (a=4), इसलिए ((4+1)(b+1)=20), यानी (5(b+1)=20), अतः (b=3)। चरण 3: गुणनखंडों की संख्या से घात खोजने में समीकरण बनाएं।
A factor divisible by (10) must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Exponent choices for (2) are (1) to (5), so (5) choices; for (5), (1) to (4), so (4) choices. Total (20).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both prime factors. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (5) तक (5) विकल्प, और (5) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प देती है। कुल \(5 \times 4=20\)। चरण 3: (10) से विभाज्यता में दोनों अभाज्यों की उपस्थिति जरूरी है।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factor counts, adjust the exponent choices. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है।
In a perfect cube, exponents must be multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) must become \(2^3\), and \(3^5\) must become \(3^6\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest cube multiple, move each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) को \(2^3\) और \(3^5\) को \(3^6\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा पूर्ण घन गुणज पाने के लिए अगली (3) की गुणज घात लें।
Make \(2^3\) into \(2^4\) and (5) into \(5^2\); \(3^2\) is already fine.
Step 3
Exam Tip
For the smallest square multiple, increase only the necessary exponents. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (5) को \(5^2\) बनाना होगा; \(3^2\) पहले से सही है। चरण 3: सबसे छोटे पूर्ण वर्ग गुणज में केवल जरूरी घातें ही बढ़ाएं।
(9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
Every base must be prime; writing powers alone is not enough. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: (9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। चरण 3: हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं।
Do not write (25) in prime factorisation because (25) is not prime. चरण 1: \(625=25 \times 25\) है। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(625=5^2 \times 5^2=5^4\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन में (25) नहीं लिखना चाहिए क्योंकि (25) अभाज्य नहीं है।
Each division by (12) uses \(2^2\) and (3). From \(2^5\), this can happen (2) times, and from \(3^2\), also (2) times.
Step 3
Exam Tip
For a composite divisor, check the limiting prime exponent. चरण 1: \(12=2^2 \times 3\) है। चरण 2: हर बार (12) से भाग देने पर \(2^2\) और (3) घटेंगे; \(2^5\) से अधिकतम (2) बार और \(3^2\) से अधिकतम (2) बार मिलते हैं। इसलिए उत्तर (2) है। चरण 3: संयुक्त भाजक के लिए सभी अभाज्यों की सीमा देखें।
The exponent of (2) is (4) and of (5) is (3), so (3) pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The maximum divisions by (10) equals the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) होता है। चरण 2: (2) की घात (4) और (5) की घात (3) है, इसलिए (10) के जोड़े (3) बनेंगे। चरण 3: (10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से मिलती है।
The prime factors of the first number are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
The second number has (2,3,7), so (5) is not common.
Step 3
Exam Tip
To check common factors, compare the prime bases. चरण 1: पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) हैं। चरण 2: दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंड (2,3,7) हैं, इसलिए (5) समान नहीं है। चरण 3: समानता देखते समय केवल मौजूद अभाज्य आधारों की तुलना करें।
In a cube root, divide each prime exponent by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^6\) becomes \(2^2\) and \(5^3\) becomes (5).
Step 3
Exam Tip
The cube root is an integer only when all exponents are multiples of (3). चरण 1: घनमूल में हर अभाज्य घात को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(2^6\) से \(2^2\) और \(5^3\) से (5) मिलेगा। चरण 3: घनमूल तभी पूर्ण संख्या होगा जब सभी घातें (3) की गुणज हों।
When taking a square root, halve the prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) becomes \(2^2\) and \(3^2\) becomes (3), so \(\sqrt{N}=2^2 \times 3\).
Step 3
Exam Tip
In square roots, halve exponents, not bases. चरण 1: वर्गमूल लेते समय अभाज्य घातों को आधा किया जाता है। चरण 2: \(2^4\) से \(2^2\) और \(3^2\) से (3) मिलेगा, इसलिए \(\sqrt{N}=2^2 \times 3\)। चरण 3: वर्गमूल में केवल घातों को आधा करें, आधार नहीं बदलें।
The total number of factors is found by multiplying ((exponent+1)).
Step 2
Why this answer is correct
\((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों की संख्या ((घात+1)) के गुणनफल से मिलती है। चरण 2: \((2+1)(3+1)(1+1)=3 \times 4 \times 2=24\)। चरण 3: जिस अभाज्य की घात नहीं लिखी होती, उसकी घात (1) मानें।
\(8=2^3\) and \(9=3^2\), so \(72=2^3 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Recognising simple squares and cubes speeds up factorisation. चरण 1: \(72=8 \times 9\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(9=3^2\), इसलिए \(72=2^3 \times 3^2\)। चरण 3: आसान वर्ग और घन पहचानना गुणनखंडन को तेज बनाता है।
Trailing zeros are formed by pairs of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The number of pairs equals the smaller exponent of (a) and (b), so (\min(a,b)=4).
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, count the minimum exponent, not the sum. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के जोड़ों से बनते हैं। चरण 2: जोड़ों की संख्या (a) और (b) में छोटी घात के बराबर होती है, इसलिए (\min(a,b)=4)। चरण 3: अंतिम शून्य में योग नहीं, छोटी घात गिनी जाती है।
The given number is odd because it has no factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
To make the smallest even multiple, multiply by only one (2).
Step 3
Exam Tip
Do not increase exponents unnecessarily when the smallest value is asked. चरण 1: दी गई संख्या विषम है क्योंकि इसमें (2) नहीं है। चरण 2: सबसे छोटा सम गुणज बनाने के लिए केवल एक (2) गुणा करना पर्याप्त है। चरण 3: सबसे छोटी शर्त पूरी करने के लिए अनावश्यक घात न बढ़ाएं।
