\(\frac{63}{140}\) is in lowest form because (63) and (140) have no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(140=2^2\cdot 5\cdot 7\), so the denominator has (7). Hence the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
If a reduced denominator has a prime other than (2) or (5), it will not terminate. चरण 1: \(\frac{63}{140}\) सरलतम रूप में है क्योंकि (63) और (140) में कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(140=2^2\cdot 5\cdot 7\), इसमें (7) भी है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड दिखे तो सांत नहीं होगा।
\(1250=2\cdot 5^4\), and the fraction is already in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (2) and (5) are (1) and (4), so the decimal has (4) places.
Step 3
Exam Tip
Use the larger exponent to find the terminating decimal length quickly. चरण 1: \(1250=2\cdot 5^4\) है और भिन्न पहले से सरलतम रूप में है। चरण 2: हर में (2) की घात (1) और (5) की घात (4) है, इसलिए दशमलव स्थान (4) होंगे। चरण 3: बड़ी घात को देखकर सांत दशमलव की लंबाई जल्दी मिलती है।
The larger exponent is (4), and \(\frac{43}{400}=0.1075\) has four places.
Step 3
Exam Tip
Therefore it terminates after (4) places. चरण 1: \(400=2^4\times5^2\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है, लेकिन \(\frac{43}{400}=0.1075\) में चार स्थान आते हैं। चरण 3: इसलिए सही संख्या (4) स्थान है।
Therefore the decimal expansion terminates after (4) places. चरण 1: \(2000=2^4\times5^3\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है। चरण 3: इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
The larger exponent is (4), so it terminates after (4) places. चरण 1: \(80=2^4\times5\) है। चरण 2: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: बड़ी घात (4) है, इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
B. असमाप्त आवर्ती होगा/It will be non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(75=3\times5^2\), and \(\frac{13}{75}\) is already in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator contains (3), which is neither (2) nor (5).
Step 3
Exam Tip
If the denominator has a prime factor other than (2) and (5), the decimal is non-terminating recurring. चरण 1: \(75=3\times5^2\) है और \(\frac{13}{75}\) पहले से सरलतम रूप में है। चरण 2: सरलतम हर में (3) बचा है, जो (2) या (5) नहीं है। चरण 3: हर में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो तो दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है।
The larger exponent is (5), so the decimal terminates after (5) places.
Step 3
Exam Tip
Factorising and noting the larger exponent is the safest method. चरण 1: \(160=2^5\times5\) है। चरण 2: बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव (5) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: गुणनखंडन करके बड़ी घात लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है।
The larger exponent is (3), so the decimal terminates within (3) places.
Step 3
Exam Tip
For the number of decimal places, use the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: \(200=2^3\times5^2\) है। चरण 2: घातों में सबसे बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव अधिकतम (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: स्थानों की संख्या के लिए (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
B. दोनों असमाप्त आवर्ती हैं/Both are non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(14=2\times7\) and \(28=2^2\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
Factor (7) remains in both denominators, so both decimals do not terminate.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: In comparison questions, prime-factorise both denominators separately. चरण 1: \(14=2\times7\) और \(28=2^2\times7\) हैं। चरण 2: दोनों हरों में (7) बचता है, इसलिए दोनों दशमलव समाप्त नहीं होंगे। चरण 3: परीक्षा सुझाव: तुलना वाले प्रश्नों में दोनों हरों का अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडन करें।
The numerator (5) cancels one factor of (5) from \(5^2\) in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator still has \(2^3\times3\times5\), so factor (3) remains.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: If (3) remains after cancellation, the decimal will be recurring. चरण 1: अंश (5) और हर में \(5^2\) है, इसलिए एक (5) कट सकता है। चरण 2: सरल रूप में हर \(2^3\times3\times5\) रहेगा, जिसमें (3) बचता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: कटौती के बाद भी यदि (3) बचे तो दशमलव आवर्ती होगा।
B. यह असमाप्त आवर्ती है/It is non-terminating recurring
Step 1
Concept
\(\frac{65}{312}\) is in lowest form because there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(312=2^3\times3\times13\), so the denominator contains (3) and (13).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: A non-terminating decimal of a rational fraction is always recurring. चरण 1: \(\frac{65}{312}\) सबसे सरल रूप में है क्योंकि कोई समान गुणनखंड नहीं है। चरण 2: \(312=2^3\times3\times13\), इसलिए हर में (3) और (13) हैं। चरण 3: परीक्षा सुझाव: परिमेय भिन्न का असमाप्त दशमलव हमेशा आवर्ती होता है।
The denominator contains only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (3) and (5), and the larger exponent is (5).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, the number of places comes from the larger exponent of (2) and (5). चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (3) और (5) हैं, इनमें बड़ी घात (5) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या (2) और (5) की बड़ी घात से मिलती है।
The denominator has only (2) and (5) as prime factors, so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents are (2) and (4), and the larger exponent is (4).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: For a terminating decimal, use the larger exponent of (2) and (5) to count decimal places. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: घातें (2) और (4) हैं, इनमें बड़ी घात (4) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: समाप्त दशमलव में स्थानों की संख्या के लिए (2) और (5) की बड़ी घात देखें।
The larger exponent is (3), so the decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: \(\frac{17}{200}=0.085\) shows three decimal places. चरण 1: \(200=2^3\times5^2\) है। चरण 2: बड़ी घात (3) है, इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: \(\frac{17}{200}=0.085\) में तीन स्थान दिखते हैं।
For a terminating decimal, the denominator must have only (2) and (5) as prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), \(\frac{7}{8}\) terminates.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Always prime-factorise the denominator first. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होने चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए \(\frac{7}{8}\) का दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन करें।
\(455=5\times7\times13\), and the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator contains (7) and (13), so the decimal does not terminate, but it repeats.
Step 3
Exam Tip
A denominator with factors other than (2) and (5) gives a recurring decimal. चरण 1: \(455=5\times7\times13\) है और भिन्न सरल रूप में है। चरण 2: भाजक में (7) और (13) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा, पर आवर्ती होगा। चरण 3: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो तो उत्तर आवर्ती होता है।
\(102=2\times3\times17\), \(170=2\times5\times17\), and \(255=3\times5\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
The required primes are (2), (3), (5), and (17), so the LCM is (510).
Step 3
Exam Tip
Take a common prime once and include every distinct prime. चरण 1: \(102=2\times3\times17\), \(170=2\times5\times17\) और \(255=3\times5\times17\) है। चरण 2: सभी जरूरी अभाज्य (2), (3), (5) और (17) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (510) है। चरण 3: समान अभाज्य को एक बार और अलग अभाज्य को जरूर शामिल करें।
Since (ab=1736), \(b=\frac{1736}{56}=31\), and (56) and (31) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Use the coprime condition to verify the final answer. चरण 1: \(a=2^3\times7=56\) है। चरण 2: (ab=1736), इसलिए \(b=\frac{1736}{56}=31\), और (56) तथा (31) सहाभाज्य हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें।
HCF of three numbers includes only primes common to all three.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, with smallest powers \(2^3\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: तीनों के महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, छोटी घातें \(2^3\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी में नहीं है, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
\(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\), and \(245=5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are (2), (3), (5), and \(7^2\), so LCM \(=2\times3\times5\times49=1470\).
Step 3
Exam Tip
Take the common highest power \(7^2\) only once. चरण 1: \(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\) और \(245=5\times7^2\) है। चरण 2: बड़ी घातें (2), (3), (5) और \(7^2\) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2\times3\times5\times49=1470\) है। चरण 3: समान बड़ी घात \(7^2\) को एक बार ही लें।
(ab=2496), so \(b=\frac{2496}{48}=52\), but (48) and (52) are not coprime.
Step 3
Exam Tip
The coprime condition is essential for checking the answer. चरण 1: \(a=2^4\times3=48\) है। चरण 2: (ab=2496), इसलिए \(b=\frac{2496}{48}=52\), पर (48) और (52) सहाभाज्य नहीं हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त उत्तर की जाँच में बहुत जरूरी है।
HCF of three numbers includes only primes common to all three.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, with smallest powers \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: तीनों के महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी में नहीं है, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^3\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the smaller power for each prime base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड आते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^3\), \(3^3\) और (5) हैं। चरण 3: हर अभाज्य आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime. चरण 1: संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें।
Since (ab=1720), \(b=\frac{1720}{40}=43\), and (40) and (43) are coprime.
Step 3
Exam Tip
Use the coprime condition to verify the final answer. चरण 1: \(a=2^3\times5=40\) है। चरण 2: (ab=1720), इसलिए \(b=\frac{1720}{40}=43\), और (40) तथा (43) सहाभाज्य हैं। चरण 3: सहाभाज्य शर्त से अंतिम उत्तर की जाँच करें।
HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (3) are common, but (5) is absent in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not include a prime that is not present in every number. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। चरण 2: (2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में शामिल न करें।
The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), \(3^2\), and (5).
Step 3
Exam Tip
In exponent questions, choose the smaller power for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान अभाज्य (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), \(3^2\) और (5) हैं। चरण 3: घातों वाले प्रश्न में हर आधार की छोटी घात अलग-अलग चुनें।
The smaller powers of (2), (3), and (11) are (3), (2), and (1), so HCF \(=2^3\times3^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Compare the powers for each base separately. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: (2), (3), (11) की छोटी घातें क्रमशः (3), (2), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times11\) है। चरण 3: हर आधार की घात अलग-अलग तुलना करें।
\(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), and \(270=2\times3^3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^4\), and (5), so LCM \(=4\times81\times5=1620\).
Step 3
Exam Tip
Use the highest powers to get the final value. चरण 1: \(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\) है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^4\), (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(4\times81\times5=1620\) है। चरण 3: सबसे बड़ी घातों को लेकर अंतिम मान निकालें।
