\(19845=3^4\times5\times7^2\), so \(158760=2^3\times3^4\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Break 19845 completely. चरण 1: \(158760=8\times19845\) लिखें। चरण 2: \(19845=3^4\times5\times7^2\), इसलिए \(158760=2^3\times3^4\times5\times7^2\)। चरण 3: 19845 को पूरी तरह तोड़ें।
\(2^5\times81\times49\) must be changed into \(2^5\times3^4\times7^2\). चरण 1: अधूरे रूप में संयुक्त आधार बच जाता है। चरण 2: 81 और 49 संयुक्त आधार हैं। चरण 3: \(2^5\times81\times49\) को \(2^5\times3^4\times7^2\) में बदलना होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 135, 49, 27, 245, and 216 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 135, 49, 27, 245 और 216 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
\(1080=2^3\times3^3\times5\) and \(121=11^2\), so \(130680=2^3\times3^3\times5\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Break 1080 and 121 completely. चरण 1: \(130680=1080\times121\) लिखें। चरण 2: \(1080=2^3\times3^3\times5\) और \(121=11^2\), इसलिए \(130680=2^3\times3^3\times5\times11^2\)। चरण 3: 1080 और 121 को पूरा तोड़ें।
\(3969=3^4\times7^2\), so \(127008=2^5\times3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 3969 into prime powers. चरण 1: \(127008=32\times3969\) लिखें। चरण 2: \(3969=3^4\times7^2\), इसलिए \(127008=2^5\times3^4\times7^2\)। चरण 3: 3969 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(900=2^2\times3^2\times5^2\) and \(121=11^2\), so \(108900=2^2\times3^2\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
This is a square form, so all exponents are even. चरण 1: \(108900=900\times121\) लिखें। चरण 2: \(900=2^2\times3^2\times5^2\) और \(121=11^2\), इसलिए \(108900=2^2\times3^2\times5^2\times11^2\)। चरण 3: यह वर्ग रूप है, इसलिए सभी घातें सम हैं।
\(11907=3^5\times7^2\), so \(95256=2^3\times3^5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 11907 into powers of 3 and 7. चरण 1: \(95256=8\times11907\) लिखें। चरण 2: \(11907=3^5\times7^2\), इसलिए \(95256=2^3\times3^5\times7^2\)। चरण 3: 11907 को 3 और 7 की घातों में बदलें।
\(11025=3^2\times5^2\times7^2\), so \(88200=2^3\times3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 11025 into prime powers. चरण 1: \(88200=8\times11025\) लिखें। चरण 2: \(11025=3^2\times5^2\times7^2\), इसलिए \(88200=2^3\times3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 11025 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(630=2\times3^2\times5\times7\) and \(121=11^2\), so \(76230=2\times3^2\times5\times7\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Break both 630 and 121 completely. चरण 1: \(76230=630\times121\) लिखें। चरण 2: \(630=2\times3^2\times5\times7\) और \(121=11^2\), इसलिए \(76230=2\times3^2\times5\times7\times11^2\)। चरण 3: 630 और 121 दोनों को पूरा तोड़ें।
\(8505=3^5\times5\times7\), so \(68040=2^3\times3^5\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Convert 8505 into prime powers. चरण 1: \(68040=8\times8505\) लिखें। चरण 2: \(8505=3^5\times5\times7\), इसलिए \(68040=2^3\times3^5\times5\times7\)। चरण 3: 8505 को अभाज्य घातों में बदलें।
256 and 16 are composite bases, so write the power of 2 in final form. चरण 1: 65536 को 2 से बार-बार भाग दें। चरण 2: सोलह बार 2 मिलने से \(65536=2^{16}\) होता है। चरण 3: 256 और 16 संयुक्त आधार हैं, इसलिए अंतिम रूप में 2 की घात लिखें।
\(70=2\times5\times7\) and \(1331=11^3\), so \(59290=2\times5\times7\times11^3\).
Step 3
Exam Tip
Change 1331 into \(11^3\). चरण 1: \(59290=70\times1331\) लिखें। चरण 2: \(70=2\times5\times7\) और \(1331=11^3\), इसलिए \(59290=2\times5\times7\times11^3\)। चरण 3: 1331 को \(11^3\) में बदलें।
\(6615=3^3\times5\times7^2\), so \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Give 6615 its complete prime form. चरण 1: \(52920=8\times6615\) लिखें। चरण 2: \(6615=3^3\times5\times7^2\), इसलिए \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\)। चरण 3: 6615 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(90=2\times3^2\times5\) and \(539=7^2\times11\), so \(48510=2\times3^2\times5\times7^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give prime form to both 90 and 539. चरण 1: \(48510=90\times539\) लिखें। चरण 2: \(90=2\times3^2\times5\) और \(539=7^2\times11\), इसलिए \(48510=2\times3^2\times5\times7^2\times11\)। चरण 3: 90 और 539 दोनों को अभाज्य रूप दें।
\(432=2^4\times3^3\) and \(100=2^2\times5^2\), so \(43200=2^6\times3^3\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
Count the total power of 2 as 6. चरण 1: \(43200=432\times100\) लिखें। चरण 2: \(432=2^4\times3^3\) और \(100=2^2\times5^2\), इसलिए \(43200=2^6\times3^3\times5^2\)। चरण 3: 2 की कुल घात 6 गिनें।
\(315=3^2\times5\times7\) and \(121=11^2\), so \(38115=3^2\times5\times7\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Break both parts completely. चरण 1: \(38115=315\times121\) लिखें। चरण 2: \(315=3^2\times5\times7\) और \(121=11^2\), इसलिए \(38115=3^2\times5\times7\times11^2\)। चरण 3: दोनों भागों को पूरा तोड़ें।
\(300=2^2\times3\times5^2\) and \(121=11^2\), so \(36300=2^2\times3\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 300 and 121 into prime powers. चरण 1: \(36300=300\times121\) लिखें। चरण 2: \(300=2^2\times3\times5^2\) और \(121=11^2\), इसलिए \(36300=2^2\times3\times5^2\times11^2\)। चरण 3: 300 और 121 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(945=3^3\times5\times7\), so \(30240=2^5\times3^3\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep 945 in the final answer. चरण 1: \(30240=32\times945\) लिखें। चरण 2: \(945=3^3\times5\times7\), इसलिए \(30240=2^5\times3^3\times5\times7\)। चरण 3: 945 को अंतिम उत्तर में न रखें।
\(1701=3^5\times7\), so \(27216=2^4\times3^5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1701 into prime form using 3 and 7. चरण 1: \(27216=16\times1701\) लिखें। चरण 2: \(1701=3^5\times7\), इसलिए \(27216=2^4\times3^5\times7\)। चरण 3: 1701 को 3 और 7 के अभाज्य रूप में बदलें।
\(210=2\times3\times5\times7\) and \(121=11^2\), so \(25410=2\times3\times5\times7\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Give prime form to both 210 and 121. चरण 1: \(25410=210\times121\) लिखें। चरण 2: \(210=2\times3\times5\times7\) और \(121=11^2\), इसलिए \(25410=2\times3\times5\times7\times11^2\)। चरण 3: 210 और 121 दोनों को अभाज्य रूप दें।
\(200=2^3\times5^2\) and \(121=11^2\), so \(24200=2^3\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 200 and 121 in the final form. चरण 1: \(24200=200\times121\) लिखें। चरण 2: \(200=2^3\times5^2\) और \(121=11^2\), इसलिए \(24200=2^3\times5^2\times11^2\)। चरण 3: 200 और 121 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(32=2^5\) and \(567=3^4\times7\), so \(18144=2^5\times3^4\times7\).
Step 3
Exam Tip
Give 567 its complete prime form. चरण 1: \(18144=32\times567\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(567=3^4\times7\), इसलिए \(18144=2^5\times3^4\times7\)। चरण 3: 567 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(16=2^4\) and \(891=3^4\times11\), so \(14256=2^4\times3^4\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 891 in the final form. चरण 1: \(14256=16\times891\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(891=3^4\times11\), इसलिए \(14256=2^4\times3^4\times11\)। चरण 3: 891 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार होने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The final form of prime factorisation is based only on prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) remains, it must be written as \(45=3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अंतिम रूप केवल अभाज्य संख्याओं पर आधारित होता है। चरण 2: यदि (45) जैसा आधार बचा है, तो \(45=3^2\times5\) लिखना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की जांच करें।
LCM takes the highest exponent of every prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
LCM \(=2^4\times3^2\times5^3\). Total factors (=(4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
After finding the LCM, apply the factor-count rule. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^2\times5^3\) होगा। कुल गुणनखंड ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60) होंगे। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के बाद गुणनखंडों का नियम लगाएं।
HCF \(=2^3\times3^2\). Its number of factors is ((3+1)(2+1)=12).
Step 3
Exam Tip
First find the HCF, then count its factors. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घातें ली जाती हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\) होगा। इसके गुणनखंड ((3+1)(2+1)=12) होंगे। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक निकालें, फिर उसके गुणनखंड गिनें।
To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero. चरण 1: (2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। चरण 3: न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें।
Let \(d=2^a\times3^b\times5^c\), so \(d^3=2^{3a}\times3^{3b}\times5^{3c}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3a\le5\), \(3b\le4\), and \(3c\le3\), giving (2) choices each. Total (=8).
Step 3
Exam Tip
For cube divisibility, triple the exponents and compare. चरण 1: मान लें \(d=2^a\times3^b\times5^c\), तो \(d^3=2^{3a}\times3^{3b}\times5^{3c}\)। चरण 2: \(3a\le5\) से (a=0,1), \(3b\le4\) से (b=0,1), \(3c\le3\) से (c=0,1)। कुल \(2\times2\times2=8\)। चरण 3: घन वाले प्रश्न में घातों को (3) गुना करके सीमा जांचें।
If \(d=2^a\times3^b\times7^c\), then \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\).
Step 2
Why this answer is correct
Conditions are \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), so choices are (4,2,2). Total (=16).
Step 3
Exam Tip
For square divisibility, double the exponents and compare. चरण 1: यदि \(d=2^a\times3^b\times7^c\), तो \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\) होगा। चरण 2: \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), इसलिए (a=0,1,2,3) चार तरीके, (b=0,1) दो तरीके, (c=0,1) दो तरीके। कुल \(4\times2\times2=16\)। चरण 3: वर्ग विभाजन में घातों को दुगना करके सीमा लगाएं।
Add (1) to each exponent and multiply to get total factors.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60).
Step 3
Exam Tip
In option-based questions, test the exponents of each option. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए घातों में (1) जोड़कर गुणा करते हैं। चरण 2: विकल्प A में ((4+1)(2+1)(3+1)=5\times3\times4=60)। चरण 3: विकल्प आधारित प्रश्नों में हर विकल्प की घातों पर यह नियम लगाएं।
