A. \(x\le -4\) या \(x\ge 4\)/\(x\le -4\) or \(x\ge 4\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2\ge 16\) को \(|x|\ge 4\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसका अर्थ है कि \(x\), \(-4\) से कम या बराबर अथवा \(4\) से अधिक या बराबर होगा; इसलिए हल \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) है। विकल्प B मध्यांतर \([-4,4]\) देता है, जहाँ \(x^2\le16\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) होने के कारण \(-4\) और \(4\) दोनों शामिल होंगे। / The inequality \(x^2\ge 16\) is equivalent to \(|x|\ge 4\). Therefore, \(x\) must be less than or equal to \(-4\), or greater than or equal to \(4\), giving \(x\le -4\) or \(x\ge 4\). Option B describes the interval \([-4,4]\), where \(x^2\le16\). Exam tip: because the sign is \(\ge\), both boundary values, \(-4\) and \(4\), are included.
\(x^2<9\) का अर्थ (|x|<3) है, इसलिए (-3<x<3)। वर्ग वाली असमानता में दोनों दिशाएं जांचें। / The inequality \(x^2<9\) means (|x|<3), so (-3<x<3). In square inequalities, check both directions.
A. \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -5\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
किसी निरपेक्ष मान की असमानता \(|A|\ge k\), जहाँ \(k>0\), के लिए \(A\le -k\) या \(A\ge k\) होता है। अतः \(|x+1|\ge 4\) से \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\), इसलिए \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)। विकल्प B और D बीच के मान देते हैं, जबकि यहाँ हल संख्या रेखा के बाहर के दो भागों में है; विकल्प C में बराबरी के सिरों को गलत ढंग से हटा दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) होने पर सीमा-बिंदु \(-5\) और \(3\) दोनों शामिल होते हैं। / For an absolute-value inequality \(|A|\ge k\), where \(k>0\), we use \(A\le -k\) or \(A\ge k\). Thus, \(|x+1|\ge 4\) gives \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\), so \(x\le -5\) or \(x\ge 3\). Options B and D describe values between the endpoints, whereas the solution lies outside them; option C incorrectly excludes the equality endpoints. Exam tip: with \(\ge\), both boundary values, \(-5\) and \(3\), are included.
(|x-2|<5) का अर्थ है (-5<x-2<5), इसलिए (-3<x<7)। कम से कम दूरी वाले प्रश्न में बीच का अंतराल आता है। / The inequality (|x-2|<5) means (-5<x-2<5), so (-3<x<7). A less-than distance inequality gives the middle interval.
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) में समानता (x=1) पर होती है। ऐसे मानक रूपों में समानता की शर्त याद रखें। / For positive (x), equality in \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) occurs at (x=1). Remember the equality condition in standard forms.
यदि (k>0) हो तो दिशा वही रहती है और यदि (k=0) हो तो बराबरी होती है। इसलिए \(ka\le kb\) हमेशा सही है। / If (k>0), the direction stays the same, and if (k=0), equality occurs. Hence \(ka\le kb\) is always correct.
दिया है कि p, q से बड़ा या उसके बराबर है और q, r से सख्ती से बड़ा है। इसलिए p ≥ q > r से निश्चित रूप से p > r प्राप्त होता है। p = r संभव नहीं है, क्योंकि q > r और p ≥ q के कारण p, r से भी बड़ा होगा। परीक्षा-टिप: असमिकताओं की श्रृंखला में एक भी सख्त असमिका हो और दिशा समान हो, तो अंतिम संबंध भी सख्त होता है। / Since p is greater than or equal to q and q is strictly greater than r, the chain p ≥ q > r guarantees p > r. Thus p = r and r ≥ p are impossible, while p < r is in the opposite direction. Exam tip: when inequalities have the same direction, a chain containing at least one strict inequality gives a strict final comparison.
\(x\le -3\) के बाहर सभी मान (x>-3) हैं। निषेध में बराबरी की स्थिति उलट जाती है। / All values outside \(x\le -3\) satisfy (x>-3). In negation, the equality case shifts to the opposite side.
(2) और (8) शामिल नहीं हैं, इसलिए प्राकृतिक मान (3) से (7) तक मिलते हैं। कठोर चिन्हों पर खास ध्यान दें। / The values (2) and (8) are excluded, so the natural values are from (3) to (7). Pay close attention to strict signs.
दोनों सिरों को शामिल करते हुए पूर्णांक हैं: \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\)। अतः मानों की संख्या \(4-(-4)+1=9\) है। विकल्प B में एक सिरा छूट जाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: समावेशी अंतराल \([a,b]\) में पूर्णांकों की संख्या \(b-a+1\) होती है। / Including both endpoints, the integers are \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\). Hence, their number is \(4-(-4)+1=9\). Option B would result from omitting one endpoint. Exam tip: the number of integers in the inclusive interval \([a,b]\) is \(b-a+1\).
दोनों असमानताएं कठोर हैं, इसलिए दोनों सिरों पर खुला कोष्ठक लगेगा। (-1) और (3) शामिल नहीं हैं। / Both inequalities are strict, so both endpoints use open parentheses. The values (-1) and (3) are not included.
अंतराल \((-\infty,4)\) में (4) शामिल है और उससे छोटे सभी मान आते हैं। इसलिए यह \(x\le 4\) है। / The interval \((-\infty,4)\) includes (4) and all smaller values. Hence it is \(x\le 4\).
विपरीत दिशा की असमानताओं को जोड़कर (a+c) और (b+d) की निश्चित तुलना नहीं मिलती। जोड़ने के लिए दिशा समान होना सुरक्षित नियम है। / Inequalities in opposite directions do not give a fixed comparison between (a+c) and (b+d). Same direction is the safe rule for adding inequalities.
फलन \(4-2x\) में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए यह घटता हुआ फलन है। जब \(x=-3\), तब \(4-2(-3)=10\), और यह मान शामिल है। जब \(x\) का मान \(2\) के निकट बाईं ओर जाता है, तब \(4-2x\) \(0\) के निकट जाता है, लेकिन \(x=2\) शामिल नहीं है; इसलिए \(0\) भी शामिल नहीं होगा। अतः अंतराल \((0,10]\) है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमता की दिशा और खुले-बंद सिरों की स्थिति ध्यान से जाँचें। / The coefficient of \(x\) in \(4-2x\) is negative, so the expression decreases as \(x\) increases. At \(x=-3\), its value is \(4-2(-3)=10\), and this endpoint is included. As \(x\) approaches \(2\) from the left, \(4-2x\) approaches \(0�"); however, \(x=2\) is excluded, so \(0\) is also excluded. Therefore, the range is \((0,10]\). Exam tip: when multiplying an inequality by a negative number, reverse the inequality sign and check open and closed endpoints carefully.
पहले (6) घटाने पर \(-10\le 2x<4\) और फिर (2) से भाग देने पर \(-5\le x<2\) मिलता है। दोनों सिरों की बराबरी अलग-अलग देखें। / Subtracting (6) gives \(-10\le 2x<4\), then dividing by (2) gives \(-5\le x<2\). Check equality at each endpoint separately.
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (2(2x-1)\ge 3(x+5)), इसलिए \(x\ge 17\) है। हर हटाते समय धनात्मक गुणक चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (6) gives (2(2x-1)\ge 3(x+5)), hence \(x\ge 17\). A positive multiplier used to clear denominators does not change the sign.
\(\frac{3x}{2}<9\) से (3x<18), इसलिए (x<6) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(\frac{3x}{2}<9\), we get (3x<18), so (x<6). Dividing by a positive number does not reverse the sign.
\(7-2x\le x+1\) से \(6\le 3x\), इसलिए \(x\ge 2\) है। असमानता को सरल करते समय दोनों पक्षों पर समान क्रिया करें। / From \(7-2x\le x+1\), we get \(6\le 3x\), so \(x\ge 2\). Apply the same operation to both sides while simplifying.
(5x-2>3x+8) से (2x>10), इसलिए (x>5) मिलता है। चर पदों को एक ओर लाते समय चिन्ह न बदलें। / From (5x-2>3x+8), we get (2x>10), so (x>5). Do not change the sign while moving terms by addition or subtraction.
(6-3x<x+5) से (1<4x), इसलिए \(x>\frac{1}{4}\) मिलता है। चर पदों को एक ओर लाते समय चिन्ह और क्रम सावधानी से रखें। / From (6-3x<x+5), we get (1<4x), so \(x>\frac{1}{4}\). While moving variable terms to one side, keep the sign and order carefully.
क्योंकि (x>0), इसलिए (x) से गुणा करने पर \(x^2<1\) मिलता है। धनात्मक शर्त के साथ इसका हल (0<x<1) है। / Since (x>0), multiplying by (x) gives \(x^2<1\). With the positive condition, the solution is (0<x<1).
पहले (3) घटाने पर \(-10<2x\le 6\) मिलता है। फिर धनात्मक (2) से भाग देने पर \(-5<x\le 3\) सही हल है। / Subtracting (3) first gives \(-10<2x\le 6\). Then dividing by positive (2) gives the correct solution \(-5<x\le 3\).
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\)। अतः (x=0) ही हल है। / For every real (x), \(x^2\ge 0\), so \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\). Hence (x=0) is the only solution.
\(x\ge -2\) को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर \(-\frac{x}{2}\le 1\), फिर (5) जोड़ने पर \(-\frac{x}{2}+5\le 6\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\ge -2\) by \(-\frac{1}{2}\) gives \(-\frac{x}{2}\le 1\), then adding (5) gives \(-\frac{x}{2}+5\le 6\). A negative multiplier reverses the sign.
A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
कोई वास्तविक संख्या (6) से कम या बराबर और (6) से बड़ी एक साथ नहीं हो सकती। साझा भाग खाली है। / No real number can be less than or equal to (6) and greater than (6) at the same time. The common part is empty.
(1<x<4) से (0<x-1<3), फिर धनात्मक (3) से भाग देने पर \(0<\frac{x-1}{3}<1\) मिलता है। धनात्मक भाग में चिन्ह नहीं बदलता। / From (1<x<4), we get (0<x-1<3), then dividing by positive (3) gives \(0<\frac{x-1}{3}<1\). Division by a positive number does not change the sign.
\(x\le 2\) को (-4) से गुणा करने पर \(-4x\ge -8\), फिर (7) जोड़ने पर \(7-4x\ge -1\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\le 2\) by (-4) gives \(-4x\ge -8\), and adding (7) gives \(7-4x\ge -1\). Negative multiplication reverses the sign.
विकल्प A में \(-3<-1\), लेकिन वर्ग करने पर \((-3)^2=9\) और \((-1)^2=1\), इसलिए \(9>1\), न कि \(9<1\)। इस प्रकार यह दिए गए निष्कर्ष का प्रतिउदाहरण है। विकल्प B, C और D में दोनों संख्याएँ गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए उनके वर्गों का क्रम मूल क्रम के समान रहता है। परीक्षा-युक्ति: असमता को वर्ग करने से पहले संख्याओं के चिन्ह अवश्य जाँचें। / In option A, \(-3<-1\), but squaring gives \((-3)^2=9\) and \((-1)^2=1\), so \(9>1\), not \(9<1\). Hence, it is a counterexample to the stated implication. In options B, C, and D, both numbers are non-negative, so their squares preserve the original order. Exam tip: Check the signs of the numbers before squaring an inequality.
दोनों शर्तों का साझा भाग (-1) से शुरू होकर (4) से पहले तक है। (-1) शामिल है और (4) शामिल नहीं है। / The common part of both conditions starts at (-1) and goes up to before (4). The value (-1) is included and (4) is excluded.
असमानता \(-5<x\le 1\) में \(-5\) शामिल नहीं है, जबकि \(1\) शामिल है। इसलिए संभव पूर्णांक \(-4,-3,-2,-1,0,1\) हैं, जिनकी संख्या 6 है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि \(-5\) को भी गिन लिया जाए, परंतु \(x>-5\) होने के कारण वह मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: खुले चिह्न \(<\) या \(>\) पर सीमा मान शामिल नहीं होता, जबकि \(\le\) या \(\ge\) पर शामिल होता है। / In \(-5<x\le 1\), the value \(-5\) is excluded, while \(1\) is included. Thus, the possible integers are \(-4,-3,-2,-1,0,1\), giving a total of 6 values. A common mistake is to count \(-5\) as well, but it is not allowed because the inequality is strict at that endpoint. Exam tip: an open inequality sign excludes the boundary value, whereas \(\le\) or \(\ge\) includes it.
