linear inequalities se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
2120 questions tagged with linear inequalities.
What is the correct solution of \(\frac{x-4}{-2}\ge 6\)?
A. \(x\le -8\)
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटकर \(x-4\le -12\) मिलता है। इसलिए \(x\le -8\) सही हल है। / Multiplying by (-2) reverses the sign and gives \(x-4\le -12\). Hence \(x\le -8\) is the correct solution.
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What is the correct solution of \(\frac{2x+1}{5}>3\)?
A. (x>7)
धनात्मक (5) से गुणा करने पर (2x+1>15), इसलिए (2x>14) और (x>7) मिलता है। धनात्मक हर से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by positive (5) gives (2x+1>15), so (2x>14) and (x>7). A positive denominator does not change the sign.
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What is the correct solution of \(4-3x\le -8\)?
A. \(x\ge 4\)
\(4-3x\le -8\) से \(-3x\le -12\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge 4\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह उलटता है। / From \(4-3x\le -8\), we get \(-3x\le -12\), and dividing by (-3) gives \(x\ge 4\). Division by a negative reverses the sign.
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Which statement is equivalent to \(x\not<7\)?
A. \(x\ge 7\)
\(x<7\) का निषेध उन सभी मानों को दर्शाता है जो 7 से कम नहीं हैं; इसलिए \(x\ge 7\) सही है। विकल्प B, \(x>7\), में \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि निषेध में बराबरी का मान शामिल होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम नहीं’ को ‘कम से कम’ में बदलें। / The negation of \(x<7\) includes every value that is not less than 7, so it is \(x\ge 7\). Option B, \(x>7\), wrongly excludes \(x=7\), which must be included in the negation. Exam tip: interpret ‘not less than’ as ‘at least’.
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If \(a\le b\) and \(b<c\), which of the following conclusions is always correct?
A. \(a<c\)
असमानताओं के संक्रमण गुण के अनुसार, \(a\le b\) और \(b<c\) से \(a<c\) प्राप्त होता है। यदि \(a=b\) भी हो, तब भी \(a=b<c\), इसलिए \(a<c\) निश्चित है। विकल्प B में समानता आवश्यक नहीं है, जबकि C और D दिए गए संबंध के विपरीत हैं। परीक्षा-युक्ति: मिश्रित असमानताओं की श्रृंखला में यदि कम-से-कम एक तुलना सख्त हो, तो बाहरी पदों के बीच निष्कर्ष भी सख्त होता है। / By the transitive property of inequalities, \(a\le b\) and \(b<c\) imply \(a<c\). Even when \(a=b\), we have \(a=b<c\), so the final inequality remains strict. Equality in option B is not necessary, while options C and D contradict the given chain. Exam tip: in a chain of mixed inequalities, one strict comparison is enough to make the comparison between the outer terms strict.
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If (x>3), which statement about (2x-5) is necessarily correct?
A. (2x-5>1)
(x>3) को (2) से गुणा कर (2x>6) और (5) घटाकर (2x-5>1) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying (x>3) by (2) gives (2x>6), and subtracting (5) gives (2x-5>1). Positive multiplication does not reverse the sign.
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A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या हैboth assertion and reason are true, and the reason explains it
दोनों पक्षों में (c) जोड़ने से (a<b) की दिशा वही रहती है। कारण सीधे अभिकथन को सिद्ध करता है। / Adding (c) to both sides keeps the direction of (a<b) unchanged. The reason directly explains the assertion.
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If (x>1), which relation between (x) and \(\frac{1}{x}\) is correct?
A. \(x>\frac{1}{x}\)
(x>1) होने पर \(\frac{1}{x}<1\) और इसलिए \(x>\frac{1}{x}\) है। व्युत्क्रम तुलना में धनात्मकता जरूरी है। / When (x>1), \(\frac{1}{x}<1\), so \(x>\frac{1}{x}\). Positivity is important in reciprocal comparisons.
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What is the correct conclusion for the statement \(x^2+1>0\)?
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य हैtrue for all \(x\in\mathbb{R}\)
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। वर्ग और स्थिरांक से न्यूनतम मान पहचानें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1>0\). Identify the minimum value using the square and constant term.
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The statement \(x^2\ge x\) is not true for all \(x\in\mathbb{R}\). Which value is a counterexample?
A. \(x=\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{1}{2}\) पर \(x^2=\frac{1}{4}\), जो \(\frac{1}{2}\) से छोटा है। सार्वत्रिक कथन को गलत करने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / At \(x=\frac{1}{2}\), \(x^2=\frac{1}{4}\), which is less than \(\frac{1}{2}\). One counterexample is enough to disprove a universal statement.
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If \(-3\le x<4\), what is the correct bound for (2-3x)?
A. \(-10<2-3x\le 11\)
\(-3\le x<4\) को (-3) से गुणा करने पर \(-12<-3x\le 9\), फिर (2) जोड़ने पर \(-10<2-3x\le 11\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा क्रम उलटता है। / Multiplying \(-3\le x<4\) by (-3) gives \(-12<-3x\le 9\), then adding (2) gives \(-10<2-3x\le 11\). Negative multiplication reverses the order.
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Which statement is not always true?
B. यदि (a<b), तो (-a<-b)If (a<b), then (-a<-b)
(a<b) को (-1) से गुणा करने पर (-a>-b) होता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिन्ह उलटना चाहिए। / Multiplying (a<b) by (-1) gives (-a>-b). The sign must reverse when multiplying by a negative number.
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If (a<b) and (k>0), what is the correct relation between (ka) and (kb)?
A. (ka<kb)
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। पहले गुणक का चिन्ह देखें, फिर निष्कर्ष लिखें। / Multiplying by a positive number does not change inequality direction. Check the sign of the multiplier before writing the conclusion.
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If \(x\le y\) and (y<z), which conclusion is correct?
A. (x<z)
\(x\le y\) और (y<z) से (x<z) मिलता है क्योंकि अंत में एक कठोर असमानता है। मिश्रित क्रम में कठोर चिन्ह परिणाम को कठोर बना सकता है। / From \(x\le y\) and (y<z), we get (x<z) because one link is strict. In a mixed chain, a strict sign can make the result strict.
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Which statement is the negation of \(x<-2\)?
B. \(x\ge -2\)
\(x<-2\) का निषेध उन सभी मानों को शामिल करता है जो \(-2\) से कम नहीं हैं; इसलिए यह \(x\ge -2\) होगा। कठोर असमानता \(<\) का निषेध करते समय बराबरी का मामला भी जुड़ जाता है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें \(-2\) से कम या बराबर मान लिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x<a\) का निषेध हमेशा \(x\ge a\) और \(x>a\) का निषेध \(x\le a\) होता है। / The negation of \(x<-2\) includes every value that is not less than \(-2\), so it is \(x\ge -2\). Equality must be included when negating a strict inequality. Option C is incorrect because it includes values less than or equal to \(-2\), rather than the values outside \(x<-2\). Exam tip: the negation of \(x<a\) is \(x\ge a\), while the negation of \(x>a\) is \(x\le a\).
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Which statement is the negation of \(x\ge 5\)?
A. (x<5)
\(x\ge 5\) का अर्थ (x) कम से कम (5) है; इसका निषेध (x<5) है। निषेध में बराबरी का ध्यान रखें। / The statement \(x\ge 5\) means (x) is at least (5); its negation is (x<5). Be careful with equality in negations.
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If (x>1), which statement about \(x^2\) is correct?
A. \(x^2>1\)
(x>1) होने पर (x) धनात्मक है और (1) से बड़ा है, इसलिए वर्ग भी (1) से बड़ा होगा। वर्ग करते समय चिन्ह की शर्त देखें। / When (x>1), (x) is positive and greater than (1), so its square is also greater than (1). Check the sign condition before squaring.
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Which set correctly represents \(|x|\ge 3\)?
A. (\(-\infty,-3]\cup[3,\infty\))
\(|x|\ge 3\) का अर्थ है (x), (0) से कम से कम (3) इकाई दूर है। इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) होगा। / The inequality \(|x|\ge 3\) means (x) is at least (3) units away from (0). Thus \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
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Which statement is equivalent to \(-1<x\le 6\)?
A. (x\in(-1,6])
(-1) शामिल नहीं है और (6) शामिल है। इसलिए बायां सिरा खुला और दायां सिरा बंद होगा। / The value (-1) is excluded and (6) is included. Hence the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
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If \(x\in(-4,1)\), in which interval will (-2x) lie?
A. ([-2,8))
(-2) से गुणा करने पर क्रम उलटता है: \(x\le 1\) से \(-2x\ge -2\) और \(x>-4\) से \(-2x<8\)। इसलिए अंतराल \([-2,8]\) है। / Multiplying by (-2) reverses order: \(x\le 1\) gives \(-2x\ge -2\), and (x>-4) gives (-2x<8). Thus the interval is ([-2,8)).
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If \(x\in[2,7\)), in which interval will (x-2) lie?
A. ([0,5))
पूरे अंतराल से (2) घटाने पर सिरों से भी (2) घटता है। बंद और खुले सिरों की प्रकृति वही रहती है। / Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from its endpoints. Open and closed endpoint types remain the same.
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If (a<b) and (c>d), which sum relation is necessarily correct?
D. कोई निश्चित निष्कर्ष नहींno definite conclusion
विपरीत दिशाओं की असमानताओं को सीधे जोड़कर निश्चित क्रम नहीं मिलता। जोड़ने से पहले दिशा समान होनी चाहिए। / Inequalities in opposite directions do not give a fixed order when added directly. The directions should match before adding.
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Under which condition is \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\) correct, if (a<b)?
A. (c>0)
धनात्मक (c) से भाग देने पर असमानता की दिशा वही रहती है। (c=0) से भाग करना परिभाषित नहीं है। / Dividing by positive (c) keeps the inequality direction unchanged. Division by (c=0) is undefined.
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What is the correct solution of (5-2x>-11)?
A. (x<8)
(5-2x>-11) से (-2x>-16) और ऋणात्मक (2) से भाग देने पर (x<8) मिलता है। चिन्ह उलटना न भूलें। / From (5-2x>-11), we get (-2x>-16), and dividing by negative (2) gives (x<8). Do not forget to reverse the sign.
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What is the correct solution of \(\frac{7-3x}{-2}\le 5\)?
B. \(x\ge -1\)
(-2) से गुणा करने पर \(7-3x\ge -10\), फिर \(-3x\ge -17\) और \(x\le \frac{17}{3}\) मिलता है। सही हल विकल्पों में नहीं है, इसलिए प्रश्न अमान्य है। / Multiplying by (-2) gives \(7-3x\ge -10\), then \(-3x\ge -17\), so \(x\le \frac{17}{3}\). The correct solution is not among the options, so this question is invalid.
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What is the correct solution of \(\frac{5-2x}{-3}<7\)?
B. (x> -8)
(-3) से गुणा करने पर चिन्ह उलटता है, इसलिए (5-2x>-21), फिर (-2x>-26) और (x<13) नहीं, सही रूप (2x<26) से (x<13) होगा। इस पंक्ति में सही विकल्प उपलब्ध नहीं है। / Multiplying by (-3) reverses the sign, so (5-2x>-21), then (-2x>-26), and dividing by (-2) gives (x<13). The listed choices do not match this result.
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What is the solution of \(\frac{x-3}{2}\ge 4\)?
A. \(x\ge 11\)
दोनों पक्षों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(x-3\ge 8\), अतः \(x\ge 11\) मिलता है। धनात्मक हर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by positive (2) gives \(x-3\ge 8\), so \(x\ge 11\). A positive denominator does not change the sign.
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If \(x\le -1\), which statement about (-5x+2) is correct?
B. \(-5x+2\ge 7\)
\(x\le -1\) को (-5) से गुणा करने पर \(-5x\ge 5\), फिर (2) जोड़ने पर \(-5x+2\ge 7\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है। / Multiplying \(x\le -1\) by (-5) gives \(-5x\ge 5\), then adding (2) gives \(-5x+2\ge 7\). Negative multiplication reverses the sign.
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If (x>2), which lower-bound statement for (3x+4) is correct?
A. (3x+4>10)
(x>2) को (3) से गुणा कर (3x>6) और (4) जोड़कर (3x+4>10) मिलता है। कठोर असमानता कठोर ही रहती है। / Multiplying (x>2) by (3) gives (3x>6), then adding (4) gives (3x+4>10). A strict inequality remains strict here.
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For which value can the statement (x+3<x-2) be true?
D. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहींno \(x\in\mathbb{R}\)
समान (x) हटाने पर (3<-2) मिलता है, जो असत्य है। जब चर हट जाए तो शेष सत्यता से हल तय करें। / Subtracting the same (x) gives (3<-2), which is false. When the variable cancels, decide the solution from the remaining truth value.
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