For any real (x), \(x^2\ge0\). So \(x^2+9=0\) is not satisfied by any real number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. कोई वास्तविक मूल नहीं है / It has no real roots. For any real (x), \(x^2\ge0\). So \(x^2+9=0\) is not satisfied by any real number.
Step 3
Exam Tip
किसी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge0\) होता है। इसलिए \(x^2+9=0\) वास्तविक संख्या से संतुष्ट नहीं होता।
From \(5x^2=0\) we get \(x^2=0\) so the root (0) occurs twice. For a zero root also check the factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0) दोहराया हुआ मूल है / (0) is a repeated root. From \(5x^2=0\) we get \(x^2=0\) so the root (0) occurs twice. For a zero root also check the factor.
Step 3
Exam Tip
\(5x^2=0\) से \(x^2=0\) मिलता है इसलिए मूल (0) दो बार आता है। शून्य मूल में भी गुणनखंड देखें।
\(x^2\) is never negative so \(x^2+1=0\) is not satisfied by any real number. Sign checking helps solve such questions quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. कोई वास्तविक मूल नहीं है / It has no real roots. \(x^2\) is never negative so \(x^2+1=0\) is not satisfied by any real number. Sign checking helps solve such questions quickly.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) कभी ऋणात्मक नहीं होता इसलिए \(x^2+1=0\) वास्तविक संख्या से संतुष्ट नहीं होता। संकेत से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
A. (2) (p(x)=0) का मूल है/(2) is a root of (p(x)=0)
Step 1
Concept
(p(2)=0) means the equation is satisfied when (x=2). Substitution is the key method in such questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2) (p(x)=0) का मूल है / (2) is a root of (p(x)=0). (p(2)=0) means the equation is satisfied when (x=2). Substitution is the key method in such questions.
Step 3
Exam Tip
(p(2)=0) का अर्थ है कि (x=2) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। ऐसे प्रश्न में प्रतिस्थापन मुख्य तरीका है।
A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो/The value that satisfies the equation
Step 1
Concept
A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह मान जिससे समीकरण सत्य हो / The value that satisfies the equation. A root is a value that makes the equation equal to (0). In exams first substitute the value and check.
Step 3
Exam Tip
मूल वह मान है जिसे रखने पर समीकरण का मान (0) हो जाता है। परीक्षा में पहले मान रखकर जांचें।
The product of a non-zero rational number and an irrational number remains irrational. In exams the condition \(a\ne0\) is very important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. हमेशा अपरिमेय / Always irrational. The product of a non-zero rational number and an irrational number remains irrational. In exams the condition \(a\ne0\) is very important.
Step 3
Exam Tip
अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या का गुणन अपरिमेय रहता है। परीक्षा में \(a\ne0\) शर्त बहुत महत्वपूर्ण है।
A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\)/Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शून्यक \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) / Zeroes \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\). With rational coefficients, irrational parts occur in conjugate pairs. Only \(6+\sqrt{5}\) and \(6-\sqrt{5}\) have both rational sum and rational product.
Step 3
Exam Tip
परिमेय गुणांकों में अपरिमेय भाग संयुग्मी जोड़े में आता है। केवल \(6+\sqrt{5}\) और \(6-\sqrt{5}\) का योग और गुणनफल दोनों परिमेय हैं।
A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो/\(b^2-4c\) is positive and not a perfect square
Step 1
Concept
For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(b^2-4c\) धनात्मक अपूर्ण वर्ग हो / \(b^2-4c\) is positive and not a perfect square. For real zeroes, the discriminant must be positive, and for irrational zeroes it must not be a perfect square. This is the key check for quadratics with rational coefficients.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यकों के लिए विविक्तकर धनात्मक चाहिए और अपरिमेय शून्यकों के लिए वह पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में यही मुख्य जाँच है।
In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-4x+1\). In \(x^2-4x+1\), the sum is (4) and (D=16-4=12), so the zeroes are irrational. A rational sum does not mean rational zeroes.
Step 3
Exam Tip
\(x^2-4x+1\) में योग (4) है और (D=16-4=12) से शून्यक अपरिमेय हैं। परिमेय योग का अर्थ परिमेय शून्यक होना नहीं है।
B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो/When (25-4c) is positive but not a perfect square
Step 1
Concept
For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जब (25-4c) धनात्मक हो पर पूर्ण वर्ग न हो / When (25-4c) is positive but not a perfect square. For real distinct zeroes, (D>0) is required. For irrational zeroes, (D) must not be a perfect square.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक भिन्न शून्यकों के लिए (D>0) चाहिए। अपरिमेय शून्यकों के लिए (D) पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए।
A non terminating repeating decimal is rational. Do not call it irrational only because it is infinite.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय संख्या / Rational number. A non terminating repeating decimal is rational. Do not call it irrational only because it is infinite.
Step 3
Exam Tip
अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। केवल अनंत देखकर उसे अपरिमेय न मानें।
A terminating decimal can be converted into \(\frac{p}{q}\) form. Hence it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह परिमेय संख्या है / It is a rational number. A terminating decimal can be converted into \(\frac{p}{q}\) form. Hence it is rational.
Step 3
Exam Tip
सांत दशमलव को \(\frac{p}{q}\) रूप में बदला जा सकता है। इसलिए वह परिमेय होता है।
A non terminating and non repeating decimal identifies an irrational number. Check carefully if no repeating block appears.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. A non terminating and non repeating decimal identifies an irrational number. Check carefully if no repeating block appears.
Step 3
Exam Tip
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या की पहचान है। आवर्ती भाग न दिखे तो सावधानी से जाँचें।
The decimal expansion of a rational number is terminating or repeating. This identification is very important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय संख्या / Rational number. The decimal expansion of a rational number is terminating or repeating. This identification is very important.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। यह पहचान बहुत महत्वपूर्ण है।
The decimal expansion of rational numbers is terminating or repeating. This identification is very useful in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय संख्या / Rational number. The decimal expansion of rational numbers is terminating or repeating. This identification is very useful in exams.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार सांत या आवर्ती होता है। यह पहचान परीक्षा में बहुत काम आती है।
All real numbers can be represented on the number line. This includes both rational and irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर वास्तविक संख्या / Every real number. All real numbers can be represented on the number line. This includes both rational and irrational numbers.
Step 3
Exam Tip
संख्या रेखा पर सभी वास्तविक संख्याएँ दर्शाई जा सकती हैं। इसमें परिमेय और अपरिमेय दोनों आते हैं।
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Step 1
Concept
The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनंत और अनावर्ती / Non terminating and non repeating. The decimal of an irrational number neither ends nor repeats. This is the easiest identification.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय संख्या का दशमलव न खत्म होता है और न दोहराता है। यही सबसे आसान पहचान है।
In both crossing and touching, (p(x)=0). Tip: crossing is not necessary for a zero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं / Both are real zeroes. In both crossing and touching, (p(x)=0). Tip: crossing is not necessary for a zero.
Step 3
Exam Tip
कटान और स्पर्श दोनों स्थितियों में (p(x)=0) होता है। टिप: शून्यक के लिए पार करना जरूरी नहीं है।
B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करे/One that touches the (x)-axis at only one point
Step 1
Concept
One touching point gives one real zero. Tip: zeroes depend on meeting the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करे / One that touches the (x)-axis at only one point. One touching point gives one real zero. Tip: zeroes depend on meeting the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
एक ही स्पर्श बिंदु एक वास्तविक शून्यक देता है। टिप: शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर निर्भर है।
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Step 1
Concept
A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. न तो काटेगा न छुएगा / It will neither cut nor touch it. A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा।
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या/Number of real zeroes
Step 1
Concept
The number of distinct points where the graph meets the (x)-axis gives the number of real zeroes. This is the main graphical rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक शून्यकों की संख्या / Number of real zeroes. The number of distinct points where the graph meets the (x)-axis gives the number of real zeroes. This is the main graphical rule.
Step 3
Exam Tip
ग्राफ जितनी बार अलग-अलग (x)-अक्ष से मिलता है, उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। यह ग्राफीय अर्थ का मुख्य नियम है।
