32 results found for "bijective" in all classes.
यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (9) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (9) elements, how many elements will (B) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (9)
B (8)
C (10)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में (9) अवयव हैं, अतः (B) में भी (9) होंगे। / Since (A) has (9) elements, (B) also has (9).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (B) में (8) अवयव हैं, तो (A) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (B) has (8) elements, how many elements will (A) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (8)
B (7)
C (9)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(B) में (8) अवयव हैं, अतः (A) में भी (8) होंगे। / Since (B) has (8) elements, (A) also has (8).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (5) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (5) elements, how many elements will (B) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (5)
B (4)
C (6)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
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Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का मिलान ठीक एक-एक तरीके से होता है। / In a bijective function, elements are matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में (5) अवयव हैं, अतः (B) में भी (5) होंगे। / Since (A) has (5) elements, (B) also has (5).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है, तो प्रतिलोम फलन के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is bijective, which statement about the inverse function is correct?
#bijective function
#inverse function
#domain codomain
A \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है / \(f^{-1}:B\to A\) is defined
B \(f^{-1}:A\to B\) ही होता है / \(f^{-1}:A\to B\) only
C प्रतिलोम कभी नहीं बनता / The inverse never exists
D प्रतिलोम केवल स्थिर फलन होता है / The inverse is only a constant function
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Correct Answer
A. \(f^{-1}:B\to A\) परिभाषित होता है / \(f^{-1}:B\to A\) is defined
Step 1
Concept
उभयैक फलन एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर छवि की ठीक एक पूर्वछवि मिलती है। / Therefore every image has exactly one preimage.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण प्रतिलोम फलन (B) से (A) में परिभाषित होता है। / Hence the inverse function is defined from (B) to (A).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक फलन है, तो \(f^{-1}\) किससे किसमें फलन होगा?
If \(f:A\to B\) is a bijective function, then \(f^{-1}\) is a function from which set to which set?
#bijective function
#inverse function
#domain codomain
#functions
A (B) से (A) में / From (B) to (A)
B (A) से (B) में / From (A) to (B)
C (A) से (A) में / From (A) to (A)
D (B) से (B) में / From (B) to (B)
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Correct Answer
A. (B) से (A) में / From (B) to (A)
Step 1
Concept
उभयैक फलन का प्रतिलोम अच्छी तरह परिभाषित होता है। / A bijective function has a well-defined inverse.
Step 2
Why this answer is correct
यदि मूल फलन (A) से (B) में जाता है, तो प्रतिलोम दिशा बदल देता है। / If the original function maps from (A) to (B), the inverse reverses the direction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\) (B) से (A) में फलन होगा। / Therefore \(f^{-1}\) maps from (B) to (A).
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है, तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is bijective, which statement is correct about (f)?
#bijective function
#one one
#onto
#inverse
A यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल स्थिर है / It is only constant
C यह केवल बहु-एकी है / It is only many-one
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
उभयैक फलन का अर्थ दो गुणों का साथ होना है। / A bijective function means two properties hold together.
Step 2
Why this answer is correct
वह एक-एकी भी होता है और आच्छादक भी। / It is both one-one and onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलन का प्रतिलोम सामान्यतः अच्छी तरह परिभाषित होता है। / Such a function generally has a well-defined inverse.
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यदि \(f:A\to B\) द्वैकीय है तो \(f^{-1}\circ f\) किसके बराबर होगा?
If \(f:A\to B\) is bijective, what is \(f^{-1}\circ f\) equal to?
#functions
#inverse
#identity
#composition
A \(I_A\)
B \(I_B\)
C (f)
D \(f^{-1}\)
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Correct Answer
A. \(I_A\)
Step 1
Concept
पहले (f) किसी (A) के तत्व को (B) में भेजता है। / First, (f) sends an element of (A) to (B).
Step 2
Why this answer is correct
फिर \(f^{-1}\) उसे वापस उसी मूल तत्व पर ले आता है। / Then \(f^{-1}\) brings it back to the original element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(f^{-1}\circ f\) प्रांत (A) पर सर्वसमिका फलन है। / Therefore \(f^{-1}\circ f\) is the identity function on (A).
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यदि (|A|=4) हो तो (A) से (A) में द्वैकीय फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=4), how many bijective functions are there from (A) to (A)?
#functions
#counting
#bijection
#permutation
A (16)
B (24)
C (64)
D (256)
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Step 1
Concept
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैकीय फलन क्रमचयों के बराबर होते हैं। / For finite sets of equal size, bijective functions correspond to permutations.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (4!=24) होगी। / The number is (4!=24).
Step 3
Exam Tip
द्वैकीय फलन में हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होता है। / A bijection uses every image exactly once.
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यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक कितने द्वैक फलन संभव हैं?
If (A) has (3) elements and (B) has (3) elements, how many bijective functions are possible from (A) to (B)?
#functions
#bijection
#counting
#permutation
A (3)
B (6)
C (9)
D (27)
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Step 1
Concept
समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन एक प्रकार का क्रमविन्यास होता है। / For finite sets with equal size, a bijection is like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(3) अवयवों को (3) अलग प्रतिबिंब देने के (3!) तरीके हैं। / There are (3!) ways to assign (3) distinct images.
Step 3
Exam Tip
(3!=6), इसलिए कुल द्वैक फलन (6) होंगे। / Since (3!=6), there are (6) bijective functions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) द्वैक है, तो (a) के लिए आवश्यक शर्त क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b) is bijective, what is the necessary condition on (a)?
#functions
#linear
#bijection
#parameter
A (a=0)
B \(a\ne 0\)
C (a=b)
D (b=0)
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Correct Answer
B. \(a\ne 0\)
Step 1
Concept
यदि (a=0), तो फलन (f(x)=b) स्थिर हो जाएगा। / If (a=0), then (f(x)=b) becomes constant.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन न एकैकी होगा और न \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होगा। / A constant function is neither one-one nor onto on \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए रैखिक फलन को द्वैक होने के लिए \(a\ne 0\) चाहिए। / Therefore a linear function is bijective only when \(a\ne 0\).
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यदि \(f:A\to B\) द्वैक है और (|A|=7), तो (|B|) का मान क्या होगा?
If \(f:A\to B\) is bijective and (|A|=7), what is the value of (|B|)?
#functions
#bijection
#finite sets
#cardinality
A (5)
B (6)
C (7)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
द्वैक फलन एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में द्वैक फलन तभी संभव है जब दोनों समुच्चयों में बराबर अवयव हों। / For finite sets, a bijection is possible only when both sets have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (|B|=|A|=7) होगा। / Therefore (|B|=|A|=7).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) से (A) में द्विआधारी फलनों की संख्या कितनी होती है?
If (A) has (n) elements, how many bijective functions are there from (A) to (A)?
#bijection
#counting
#permutation
A (n!)
B \(n^2\)
C \(2^n\)
D \(n^n\)
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Step 1
Concept
(A) से (A) में द्विआधारी फलन अवयवों का क्रमचय होता है। / A bijection from (A) to (A) is a permutation of the elements.
Step 2
Why this answer is correct
(n) अवयवों के क्रमचय (n!) होते हैं। / The number of permutations of (n) elements is (n!).
Step 3
Exam Tip
स्वसमुच्चय पर द्विआधारी फलनों की गिनती में सीधे (n!) याद रखें। / For bijections on the same finite set, use (n!).
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यदि \(f:A\to B\) द्विआधारी है और (A) में (6) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (6) elements, how many elements does (B) have?
#bijection
#finite sets
#cardinality
A (6)
B (5)
C (7)
D जानकारी पर्याप्त नहीं / Information is insufficient
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Step 1
Concept
द्विआधारी फलन एकैकी और आच्छादी दोनों होता है। / A bijective function is both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
सीमित समुच्चयों में ऐसे फलन के लिए प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव होते हैं। / For finite sets, a bijection exists only when domain and codomain have equal sizes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (B) में भी (6) अवयव होंगे। / Hence (B) also has (6) elements.
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों उभयैक हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both bijective, what can be said about \(g\circ f\)?
#composition
#bijection
#one one
#onto
A उभयैक / Bijective
B केवल स्थिर / Only constant
C फलन नहीं / Not a function
D केवल बहु-एकी / Only many-one
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Correct Answer
A. उभयैक / Bijective
Step 1
Concept
उभयैक का अर्थ एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। / Bijective means both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
दो एक-एकी फलनों का संयुक्त फलन एक-एकी होता है और दो आच्छादक फलनों का संयुक्त फलन आच्छादक होता है। / The composite of two one-one functions is one-one, and the composite of two onto functions is onto.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) उभयैक होगा। / Therefore \(g\circ f\) is bijective.
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फलन \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) जहाँ (f(x)=\sqrt{x}), किस प्रकार का है?
The function \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)), where (f(x)=\sqrt{x}), is of which type?
#bijective function
#square root
#onto proof
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) \([0,\infty\)) पर बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on \([0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge0\), choose \(x=y^2\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम जैसी सोच से आच्छादिता जल्दी सिद्ध होती है। / Thinking through the inverse helps prove onto quickly.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) जहाँ (f(x)=\tan^{-1}x), तो सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), where (f(x)=\tan^{-1}x), what is the correct conclusion?
#inverse tangent
#bijective function
#onto function
A (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
B (f) आच्छादी नहीं है / (f) is not onto
C (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
D (f) का परिसर \([0,\infty\)) है / The range of (f) is \([0,\infty\))
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Correct Answer
A. (f) एकैकी और आच्छादी है / (f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) सख्ती से बढ़ता है इसलिए एकैकी है। / \(\tan^{-1}x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर कई फलन आच्छादी बन जाते हैं। / Choosing the exact range as codomain often makes a function onto.
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फलन \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) जहाँ (f(x)=\sin x), किस प्रकार का है?
The function \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\), where (f(x)=\sin x), is of which type?
#bijective function
#onto function
#sine restricted domain
A एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
B आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
C एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी दोनों / Both one-one and onto
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On the given domain, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परिसर ([-1,1]) है जो सहप्रांत के बराबर है। / Its range is ([-1,1]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
सीमित अंतराल पर त्रिकोणमितीय फलन की एकरसता और परिसर दोनों जाँचें। / On restricted trigonometric intervals, check both monotonicity and range.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 ) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 ), what is the correct conclusion?
#functions
#power-function
#range
#not-bijective
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=1) और (f(-1)=1) इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^4\geq0\) इसलिए ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। / Since \(x^4\geq0\), negative real numbers are not in the range.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में चिन्ह और परास दोनों जाँचें। / For even powers, check both sign symmetry and range.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{1}\to\mathbb{R}-{2}\) तथा (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) हो तो सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}-{1}\to\mathbb{R}-{2}\) and (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), which statement is correct?
#functions
#rational-function
#bijective
#range
A फलन एकैकी और आच्छादी है / The function is one-one and onto
B फलन केवल एकैकी है / The function is only one-one
C फलन केवल आच्छादी है / The function is only onto
D फलन न एकैकी न आच्छादी है / The function is neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. फलन एकैकी और आच्छादी है / The function is one-one and onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) से \(x=\frac{y+3}{y-2}\) मिलता है। / From \(y=\frac{2x+3}{x-1}\), we get \(x=\frac{y+3}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y=2) को छोड़कर हर (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है। / For every \(y\neq2\), exactly one (x) is obtained.
Step 3
Exam Tip
इसलिए दिए गए सहप्रांत \(\mathbb{R}-{2}\) में फलन द्वैकीय है। / Therefore with codomain \(\mathbb{R}-{2}\), the function is bijective.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो फलन कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-2 ), what type of function is it?
#functions
#square-function
#bijective
#inverse
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / On \(x\geq0\), \(x^2\) is increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का हर \(y\geq0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\geq0\) is obtained by \(x=\sqrt{y}\).
Step 3
Exam Tip
प्रांत को \([0,\infty\)) करने से वर्ग फलन व्युत्क्रमणीय बन जाता है। / Restricting the domain to \([0,\infty\)) makes the square function invertible.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the correct conclusion?
#functions
#range
#reciprocal
#not-bijective
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
D. न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f\left\(\frac{1}{1}\right\)=2) से अलग उदाहरण नहीं मिलता लेकिन (f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}) से एकैकीपन टूटता है। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x+\frac{1}{x}\geq2\) इसलिए ऋणात्मक मान नहीं मिलते। / Since \(x+\frac{1}{x}\geq2\) for (x>0), negative values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में (x) और \(\frac{1}{x}\) की जोड़ी पर ध्यान दें। / For such functions, compare (x) and \(\frac{1}{x}\).
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=e^x) हो तो फलन कैसा है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), what type of function is it?
#functions
#exponential
#bijective
#range
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(e^x\) सदा बढ़ने वाला फलन है इसलिए अलग (x) पर अलग मान मिलते हैं। / \(e^x\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता और हर धनात्मक मान मिल सकता है। / It is never (0) or negative, and every positive value can occur.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत (\(0,\infty\)) होने से यह आच्छादी बन जाता है। / Because the codomain is (\(0,\infty\)), the function is onto.
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यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) तथा (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) हो तो फलन के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)) and (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the correct conclusion about the function?
#functions
#modulus
#bijective
#range
A यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
B यह केवल एकैकी है / It is only one-one
C यह केवल आच्छादी है / It is only onto
D यह न एकैकी है न आच्छादी / It is neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. यह एकैकी और आच्छादी है / It is one-one and onto
Step 1
Concept
ऋणात्मक भाग और धनात्मक भाग दोनों में फलन बढ़ता है और (0) पर भी क्रम बना रहता है। / On both negative and positive sides, the function increases and the order remains consistent at (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान सदैव (-1) और (1) के बीच रहता है और बीच का हर मान मिल जाता है। / Its values always lie between (-1) and (1), and every value in that interval is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सहप्रांत अगर परास के बराबर दिया हो तो आच्छादी होने की संभावना जाँचें। / When the codomain is exactly the natural range, check for onto carefully.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x) हो तो फलन का सबसे सही प्रकार क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x), what is the most accurate type of the function?
#functions
#bijective
#one-one
#onto
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3+x\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है इसलिए दो अलग (x) का मान समान नहीं हो सकता। / The expression \(x^3+x\) increases continuously as (x) increases, so two different inputs cannot give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े ऋणात्मक से बहुत बड़े धनात्मक मान तक फलन सभी वास्तविक मान ले सकता है। / Its values cover all real numbers from very negative to very positive.
Step 3
Exam Tip
जब फलन एकैकी और आच्छादी दोनों हो तो वह व्युत्क्रमणीय भी होता है। / A function that is both one-one and onto is also invertible.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से परिभाषित किया गया है, तो (f) एकैकी और आच्छादी कब होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one and onto?
#functions
#linear
#bijective
#parameter
A जब \(a\neq0\) हो / When \(a\neq0\)
B जब (a=0) हो / When (a=0)
C जब (b=0) ही हो / Only when (b=0)
D जब (a=b) हो / When (a=b)
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Correct Answer
A. जब \(a\neq0\) हो / When \(a\neq0\)
Step 1
Concept
यदि \(a\neq0\), तो (ax+b) की ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / If \(a\neq0\), the slope of (ax+b) is non-zero, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) मिल जाता है, इसलिए यह आच्छादी है। / For any (y), \(x=\frac{y-b}{a}\) exists, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में मुख्य शर्त \(a\neq0\) है, (b) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। / For a linear function, the key condition is \(a\neq0\); (b) may be any real number.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) को (f(x)=e^x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) is defined by (f(x)=e^x), which statement about (f) is correct?
#functions
#exponential
#bijective
#range
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न तो एकैकी और न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) देता है। / For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and gives \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का सहप्रांत (\(0,\infty\)) रखने पर वह द्वैकी हो जाता है। / The exponential function becomes bijective when the codomain is (\(0,\infty\)).
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यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) को (f(x)=\sin x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) is defined by (f(x)=\sin x), what type of function is (f)?
#functions
#sine
#restricted-domain
#bijective
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न तो एकैकी और न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल में \(\sin x\) के सभी मान ([-1,1]) में मिल जाते हैं। / Its values over this interval cover all of ([-1,1]).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन को उपयुक्त अंतराल पर सीमित करने से वह द्वैकी बन सकता है। / Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}), which statement about (f) is correct?
#functions
#rational-function
#bijective
#inverse
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न तो एकैकी और न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+1}{x-3}\) से (yx-3y=2x+1) मिलेगा। / From \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), we get (yx-3y=2x+1).
Step 2
Why this answer is correct
(x(y-2)=3y+1), अतः \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), जो \(y\neq2\) पर परिभाषित है। / Thus (x(y-2)=3y+1), so \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), defined for \(y\neq2\).
Step 3
Exam Tip
जब हर अनुमत (y) के लिए एक अद्वितीय (x) मिले, तो फलन एकैकी और आच्छादी होता है। / If each allowed (y) gives a unique (x), the function is bijective.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) को (f(x)=x-2 ) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के लिए सही कथन कौन सा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) is defined by (f(x)=x-2 ), which statement is correct for (f)?
#functions
#restricted-domain
#bijective
#quadratic
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B एकैकी लेकिन आच्छादी नहीं / One-one but not onto
C आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न तो एकैकी और न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है। / The nature of the square function depends strongly on its domain.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=n+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) किस प्रकार का फलन है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n+2), what type of function is (f)?
#functions
#integers
#bijective
A एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
B केवल एकैकी / Only one-one
C केवल आच्छादी / Only onto
D न तो एकैकी और न आच्छादी / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
A. एकैकी और आच्छादी / One-one and onto
Step 1
Concept
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-2 ) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-2 ) is also an integer, so every integer is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है। / On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c)\}\), what type of function is (f)?
#bijective function
#finite mapping
#one one onto
A उभयैक / Bijective
B केवल बहु-एकी / Only many-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. उभयैक / Bijective
Step 1
Concept
तीनों आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The three inputs have distinct images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(B) के सभी अवयव छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। / All elements of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है। / Since it is both one-one and onto, it is bijective.
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यदि \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b\}\), और \(f=\{(1,a),(2,b)\}\), तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2\}\), \(B=\{a,b\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b)\}\), what type of function is (f)?
#bijective function
#finite mapping
#one one
#onto
A उभयैक / Bijective
B केवल बहु-एकी / Only many-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. उभयैक / Bijective
Step 1
Concept
दोनों आगतों की छवियाँ अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। / The two inputs have different images, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(B) के दोनों अवयव (a) और (b) छवि के रूप में आए हैं, इसलिए आच्छादक है। / Both elements (a) and (b) of (B) appear as images, so it is onto.
Step 3
Exam Tip
एक-एकी और आच्छादक दोनों होने से यह उभयैक है। / Being both one-one and onto, it is bijective.
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