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B. जिसे \\(\frac{p}{q}\\) के रूप में नहीं लिखा जा सके, जहाँ \\(p,q\\) पूर्णांक हों और \\(q\neq0\\)/Cannot be written as \\(\frac{p}{q}\\), where \\(p,q\\) are integers and \\(q\neq0\\)
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे दो पूर्णांकों \\(p\\) और \\(q\\), जहाँ \\(q\neq0\\), के अनुपात \\(\frac{p}{q}\\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है। विकल्प A परिमेय संख्या की परिभाषा है; पूर्णांक और समाप्त दशमलव वाली संख्याएँ भी परिमेय होती हैं। परीक्षा टिप: असांत लेकिन अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / An irrational number cannot be expressed as \\(\frac{p}{q}\\), where \\(p\\) and \\(q\\) are integers and \\(q\neq0\\). Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Option A defines a rational number; integers and terminating decimals are also rational. Exam tip: identify an irrational number by a decimal that neither terminates nor repeats.
C. असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार/Non-terminating non-recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता और उसमें अंकों का कोई निश्चित आवर्ती क्रम नहीं बनता। आवर्ती असांत दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा टिप: “असांत + अनावर्ती” देखकर अपरिमेय पहचानें। / An irrational number has a decimal expansion that never ends and never repeats in a fixed pattern. A non-terminating recurring decimal is rational. Exam tip: remember “non-terminating and non-recurring” for irrational numbers.
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। इसलिए “सदैव” वाला कथन गलत है। परीक्षा में ऐसे कथन को जाँचने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence, the word “always” makes Riya’s statement false. Exam tip: a single counterexample is enough to disprove an “always” statement.
(7) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / (7) is not a perfect square so \(\sqrt{7}\) is irrational. In exams first identify perfect squares.
\(\pi\) अपरिमेय है और (22/7) केवल उसका मानक निकट मान है। बराबरी और निकट मान में फर्क रखें। / \(\pi\) is irrational and (22/7) is only a common approximation. Keep equality and approximation different.
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए इसका दशमलव असांत और अनावर्ती है। यही अपरिमेय की मुख्य पहचान है। / \(\sqrt{3}\) is irrational so its decimal is non-terminating and non-repeating. This is the main test for irrational numbers.
\(0.333\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है। आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / \(0.333\ldots\) is repeating so it is rational. A repeating decimal can be converted into a fraction.
\(5+\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि परिमेय में अपरिमेय जोड़ने से अपरिमेय मिलता है। ऐसे सवाल में अपरिमेय भाग देखें। / \(5+\sqrt{2}\) is irrational because adding a rational and an irrational gives an irrational. In such questions watch the irrational part.
\(3\sqrt{5}\) अपरिमेय है क्योंकि शून्येतर परिमेय से गुणा करने पर अपरिमेय ही रहता है। गुणक (0) न हो यह ध्यान रखें। / \(3\sqrt{5}\) is irrational because multiplying by a non-zero rational keeps it irrational. Remember the multiplier must not be (0).
\(\sqrt{7}\) और \(-\sqrt{7}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। इसलिए कथन गलत है। परीक्षा में ‘हमेशा’ वाले कथन को एक प्रतिउदाहरण से जाँचें। / Both \(\sqrt{7}\) and \(-\sqrt{7}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence the statement is false. Exam tip: one counterexample is enough to disprove an “always” statement.
(10) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की सूची याद रखना उपयोगी है। / (10) is not a perfect square so \(\sqrt{10}\) is irrational. Remembering perfect squares is useful.
\(49\) एक पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{49}=7\), जो एक परिमेय पूर्णांक है। इसके विपरीत \(6\), \(15\) और \(30\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए उनके वर्गमूल अपरिमेय हैं। परीक्षा में याद रखें: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होता है। / \(49\) is a perfect square, and \(\sqrt{49}=7\), which is a rational integer. In contrast, 6, 15, and 30 are not perfect squares, so their square roots are irrational. Exam tip: the square root of a perfect square is rational.
\(\sqrt{2}\) का मान (1) और (2) के बीच होता है और यह अपरिमेय है। अंतराल में वर्गों से अनुमान लगाएं। / \(\sqrt{2}\) lies between (1) and (2) and is irrational. Estimate using nearby squares.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। केवल दोहराव दिखने से पहले पूरा पैटर्न समझें। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. Understand the pattern before calling it repeating.
यहाँ 12 का समूह लगातार दोहराया जा रहा है, इसलिए 0.121212... एक आवर्ती दशमलव है। प्रत्येक आवर्ती दशमलव को
\(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है; वास्तव में \(0.121212... = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\)। इसलिए यह परिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होते हैं। परीक्षा टिप: समाप्त होने वाले या आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / The block 12 repeats continuously, so 0.121212... is a recurring decimal. Every recurring decimal can be written in the form \(\frac{p}{q}\); in fact, \(0.121212... = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\). Therefore, it is a rational number. Irrational numbers have non-terminating, non-recurring decimal expansions. Exam tip: terminating or recurring decimals are always rational.
\(\sqrt{13}\) अपरिमेय है इसलिए उसका ऋणात्मक भी अपरिमेय है। चिन्ह बदलने से प्रकार नहीं बदलता। / \(\sqrt{13}\) is irrational so its negative is also irrational. Changing the sign does not change the type.
\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) अनंत लेकिन आवर्ती दशमलव है, इसलिए यह परिमेय है और रीमा का कथन गलत सिद्ध करता है। \(\sqrt{2}\) अनावर्ती दशमलव है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) is an infinite repeating decimal, so it is rational and disproves Reema’s claim. In contrast, \(\sqrt{2}\) is non-terminating and non-repeating. Exam tip: repeating decimals are rational.
दोनों पद एक-दूसरे के विपरीत हैं इसलिए योग (0) है। दो अपरिमेयों का योग परिमेय भी हो सकता है। / The two terms are opposites so the sum is (0). The sum of two irrationals can also be rational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=2\), और 2 एक पूर्णांक होने के साथ-साथ परिमेय संख्या भी है। इसलिए सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता; इस उदाहरण में वह परिमेय है। परीक्षा-युक्ति: \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) का उपयोग करें, जब \(a\) धनात्मक हो। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2=2\), and 2 is an integer as well as a rational number. Therefore, option B is correct. Remember that the product of two irrational numbers is not always irrational; in this example, it is rational. Exam tip: use \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) when \(a\) is positive.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) होता है और \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) and \(\sqrt{6}\) is irrational. In multiplication multiply the numbers inside roots.
परिमेय (2) में अपरिमेय \(\sqrt{5}\) जोड़ने से अपरिमेय संख्या मिलती है। अपरिमेय भाग को अलग पहचानें। / Adding irrational \(\sqrt{5}\) to rational (2) gives an irrational number. Identify the irrational part separately.
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है इसलिए \(9-\sqrt{7}\) भी अपरिमेय है। परिमेय घटाने या जोड़ने से अपरिमेयता बनी रहती है। / \(\sqrt{7}\) is irrational so \(9-\sqrt{7}\) is also irrational. Adding or subtracting a rational keeps irrationality.
\(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\) है इसलिए यह परिमेय है। भिन्न में अंश और हर दोनों का वर्गमूल लें। / \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\) so it is rational. Take square roots of numerator and denominator.
\(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\) है जो अपरिमेय है। यदि अंश पूर्ण वर्ग न हो तो ध्यान रखें। / \(\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\) which is irrational. Be careful when the numerator is not a perfect square.
\(5\) एक पूर्णांक है, इसलिए इसे \(\frac{5}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है और यह परिमेय संख्या है। दूसरी ओर, 11, 17 और 19 पूर्ण वर्ग नहीं हैं, इसलिए \(\sqrt{11}\), \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{19}\) अपरिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। / 5 is an integer, so it can be written as \(\frac{5}{1}\) and is therefore rational. In contrast, 11, 17, and 19 are not perfect squares, so \(\sqrt{11}\), \(\sqrt{17}\), and \(\sqrt{19}\) are irrational. Exam tip: The square root of a non-negative integer is rational only when the integer is a perfect square.
यह दशमलव असांत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। दोहराने वाला निश्चित ब्लॉक नहीं है। / This decimal is non-terminating and non-repeating so it is irrational. It has no fixed repeating block.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, … बढ़ती है, इसलिए कोई खंड नहीं दोहरता। केवल अनंत दशमलव होना पर्याप्त नहीं; अनंत-अनावर्ती दशमलव अपरिमेय है। परीक्षा टिप: आवृत्ति जाँचें। / Zeros between successive 1s increase as 1, 2, 3, …, so no block repeats. Non-termination alone is insufficient; a non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for repetition.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
इस दशमलव में 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता। अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा में अनंत आवर्ती दशमलव को परिमेय मानें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Hence the decimal is irrational. Exam tip: only terminating or repeating decimals represent rational numbers.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार कभी समाप्त नहीं होता। विद्यार्थी की त्रुटि के बारे में सही कथन कौन-सा है?
A. यह संख्या अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/This number is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
दशमलव में 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल अनंत नहीं, आवर्ती या अनावर्ती होने की जाँच करें। / The number of zeros between successive 1s increases as 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed block repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check whether an infinite decimal repeats; infinity alone does not decide the type.
(3.14) सांत दशमलव है इसलिए परिमेय है। सांत दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। / (3.14) is a terminating decimal so it is rational. A terminating decimal can be converted into a fraction.
\(0.333\ldots\) अनंत दशमलव है, पर यह आवर्ती है और \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\) होता है। इसलिए यह परिमेय संख्या है। \(0.1010010001\ldots\) अनावर्ती है। परीक्षा टिप: केवल अनंत नहीं, अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots\) is non-terminating but repeating, and \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\). Hence, it is rational. In contrast, \(0.1010010001\ldots\) is non-repeating. Exam tip: a decimal is irrational only when it is non-terminating and non-repeating.
\(0.\overline{3}=0.333\ldots=\frac{1}{3}\) है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत होने पर भी यह परिमेय संख्या है। \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) अपरिमेय हैं। परीक्षा में याद रखें: अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / \(0.\overline{3}=0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is rational even though its decimal expansion never ends. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational. Exam tip: a non-terminating recurring decimal is always rational.
A. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनवसान और अनावर्ती है/It is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर A है। 1 के बीच शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, … बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। अनवसान, अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: केवल 0 और 1 होना संख्या को परिमेय नहीं बनाता। / Option A is correct. The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block of digits repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: using only 0 and 1 does not make a number rational.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
हर 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, ... बढ़ती जाती है, इसलिए कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव ही परिमेय होता है। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, ..., so no fixed repeating block occurs. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: only recurring decimals are rational.
\(12=4\times3\) होने पर \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। इसलिए \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\), क्योंकि \(\sqrt{3}\neq0\)। अतः सही उत्तर A है और यह एक परिमेय संख्या है। परीक्षा-सुझाव: समान वर्गमूल वाले अंश और हर में हों, तो उन्हें सरल करके काटें। / Since \(12=4\times3\), \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\), because \(\sqrt{3}\neq0\). Hence, option A is correct, and the result is a rational number. Exam tip: When the numerator and denominator contain the same non-zero square-root factor, simplify and cancel that factor.
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि शून्यों के समूहों की लंबाई बढ़ती है और कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं है।/It is irrational because the lengths of the zero blocks increase and no fixed repeating block exists.
Explanation
Simple Explanation
1 के बाद शून्यों के समूहों की लंबाई 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड जाँचें। / The zero blocks after 1 have lengths 1, 2, 3, 4, …, so no fixed block repeats. Thus it is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Exam tip: check for a repeating block.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है इसलिए \(1+\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग खत्म नहीं होता। / \(\sqrt{2}\) is irrational so \(1+\sqrt{2}\) is also irrational. Adding a rational number does not remove the irrational part.
विकल्प C में दशमलव के बाद 1 के बीच आने वाले 0 की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए अंकों का कोई निश्चित आवर्ती क्रम नहीं बनता। यह दशमलव असांत और अनावर्ती है, अतः यह एक अपरिमेय संख्या का उदाहरण है। विकल्प A और D में क्रमशः 6 तथा 7 बार-बार दोहरते हैं, इसलिए वे आवर्ती दशमलव हैं; विकल्प B सांत दशमलव है। परीक्षा टिप: असांत दशमलव में यदि कोई निश्चित पैटर्न बार-बार न दोहराए, तो वह अनावर्ती होता है। / In option C, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so there is no fixed repeating block of digits. It is non-terminating and non-repeating, hence it represents an irrational number. Options A and D repeat 6 and 7 respectively, so they are recurring decimals, while option B is terminating. Exam tip: A non-terminating decimal with no fixed repeating pattern is non-repeating.
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। इसलिए “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में ऐसे कथन को एक प्रतिवाद से जाँचें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), a rational number. Hence, the word “always” makes the statement false. Exam tip: test such claims using one counterexample.
\(\sqrt{64}=8\) परिमेय है लेकिन (65) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{65}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{64}=8\) is rational but (65) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{65}\) is irrational.
(23) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{23}\) अपरिमेय है। भिन्न और सांत दशमलव परिमेय होते हैं। / (23) is not a perfect square so \(\sqrt{23}\) is irrational. Fractions and terminating decimals are rational.
\(\sqrt{3}\) अपरिमेय है इसलिए \(4\sqrt{3}\) अपरिमेय है। शून्येतर परिमेय गुणक प्रकार नहीं बदलता। / \(\sqrt{3}\) is irrational so \(4\sqrt{3}\) is irrational. A non-zero rational multiplier does not change the type.
\(\sqrt{81}=9\), इसलिए दी गई संख्या \(9+\sqrt{2}\) है। \(9\) परिमेय है, जबकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। किसी परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है, इसलिए सही उत्तर अपरिमेय संख्या है। यह पूर्णांक या शून्य भी नहीं हो सकती। परीक्षा-युक्ति: पहले वर्गमूल को सरल करें और याद रखें कि परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय। / Since \(\sqrt{81}=9\), the given number becomes \(9+\sqrt{2}\). Here, \(9\) is rational and \(\sqrt{2}\) is irrational. The sum of a rational number and an irrational number is always irrational, so the correct answer is irrational number. Therefore, it is neither an integer nor zero. Exam tip: simplify perfect-square roots first and remember that rational + irrational = irrational.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) इसलिए अंतर \(\sqrt{3}\) है। परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) so the difference is \(\sqrt{3}\). The result is irrational.
D. उसे (p/q) रूप में नहीं लिखा जा सकता / It cannot be written as (p / q)
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को (p/q) रूप में नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा में यही मूल परिभाषा याद रखें। / An irrational number cannot be written in the form (p/q). Remember this basic definition for exams.
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, लेकिन उनका योग \(0\) है, जो परिमेय संख्या है। इसलिए “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में ऐसे कथन के लिए प्रतिवाद खोजें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. Hence, the word “always” makes the statement false. In exams, test such claims using a counterexample.
C. असमाप्य अनावर्ती अपरिमेय संख्या/Non-terminating non-recurring irrational number
Explanation
Simple Explanation
शून्यों के अंतराल 1, 2, 3, ... बढ़ते हैं, इसलिए कोई निश्चित खंड दोहरता नहीं। अतः संख्या अपरिमेय है; आवर्ती दशमलव ही परिमेय होता है। परीक्षा में दोहराव का खंड जाँचें। / The zero gaps grow as 1, 2, 3, ..., so no fixed block repeats. Hence the number is irrational; a decimal is rational only if it terminates or repeats. Exam tip: check for a recurring block.
\(0.\overline{27}\) आवर्ती दशमलव है, इसलिए यह परिमेय है। यदि \(x=0.\overline{27}\), तो \(100x-x=27\), अतः \(x=27/99=3/11\)। परीक्षा में याद रखें: अनंत लेकिन आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \(0.\overline{27}\) is a recurring decimal, so it is rational. Let \(x=0.\overline{27}\); then \(100x-x=27\), giving \(x=27/99=3/11\). Exam tip: non-terminating recurring decimals are rational, not irrational.
\(98=49\times2\) और \(49\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B, \(2\sqrt{7}\), का वर्ग \(28\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{98}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में से सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / Since \(98=49\times2\) and \(49\) is a perfect square, \(\sqrt{98}=\sqrt{49\times2}=\sqrt{49}\times\sqrt{2}=7\sqrt{2}\). Therefore, option A is correct. Option B, \(2\sqrt{7}\), is not equivalent to \(\sqrt{98}\), since its square is \(28\). Exam tip: To simplify a square root, factor out the greatest perfect-square factor.
समान मूलों को घटाने पर \(2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\) मिलता है। \(\sqrt{6}\) अपरिमेय संख्या है। / Subtracting like radicals gives \(2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\). \(\sqrt{6}\) is an irrational number.
