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पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) में \(a=x\) और \(b=7\) रखने पर \((x+7)^2=x^2+2\times x\times7+7^2=x^2+14x+49\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(2ab\) के बजाय \(7x\) लिया गया है। परीक्षा टिप: वर्ग वाले द्विपद के विस्तार में मध्य पद का चिह्न और गुणांक \(2ab\) अवश्य जाँचें। / Using the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), put \(a=x\) and \(b=7\). Then \((x+7)^2=x^2+2\times x\times7+7^2=x^2+14x+49\). Hence, option A is correct. In option B, the middle term is written as \(7x\) instead of \(2ab=14x\). Exam tip: while expanding a squared binomial, always check the sign and coefficient of the \(2ab\) term.
\(x^2+14x+49\) में अंतिम पद \(49=7^2\) है और मध्य पद \(14x=2\cdot x\cdot7\) है। इसलिए यह \((x+7)^2\) है। परीक्षा में मध्य पद को \(2ab\) से अवश्य मिलाएँ। / In \(x^2+14x+49\), the last term is \(49=7^2\) and the middle term is \(14x=2\cdot x\cdot7\). Hence it is \((x+7)^2\). In exams, always check whether the middle term equals \(2ab\).
\((a+b)^2\) का विस्तार करने पर \(a^2+2ab+b^2\) मिलता है, इसलिए A सही है। \((a-b)^2\) में मध्य पद \(-2ab\) होता है। परीक्षा में मध्य पद का चिह्न अवश्य जाँचें। / Expanding \((a+b)^2\) gives \(a^2+2ab+b^2\), so A is correct. In \((a-b)^2\), the middle term is \(-2ab\). Exam tip: always check the sign of the middle term.
यह \( (u+v)(u-v)=u^2-v^2 \) का रूप है। \(u=3a\) और \(v=4b\) रखने पर \(9a^2-16b^2\) मिलता है। / This is the form \( (u+v)(u-v)=u^2-v^2 \). With \(u=3a\) and \(v=4b\), it gives \(9a^2-16b^2\).
अंतर के वर्ग में पहला और अंतिम पद क्रमशः दोनों पदों के वर्ग होते हैं तथा बीच का पद \(-2ab\) होता है। इसलिए सही सर्वसमिका \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) है। परीक्षा में मध्य पद का ऋण चिह्न अवश्य जाँचें। / For the square of a difference, the first and last terms are the squares of the two terms, and the middle term is \(-2ab\). Hence option A is correct. Option B has \(+2ab\), so it is for a sum. Exam tip: check the sign of the middle term first.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का प्रयोग करें। यहाँ \(x^2+12x+36=x^2+2\cdot x\cdot6+6^2\), इसलिए यह \((x+6)^2\) है। \((x-6)^2=x^2-12x+36\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य पद के चिह्न से तय करें कि द्विपद में \(+\) होगा या \(-\)। / Use the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Here, \(x^2+12x+36=x^2+2\cdot x\cdot6+6^2\), so it equals \((x+6)^2\). Note that \((x-6)^2=x^2-12x+36\), so it is not correct. Exam tip: use the sign of the middle term to decide whether the binomial has \(+\) or \(-\).
यह व्यंजक \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) की पहचान पर आधारित है। यहाँ \(a=p\) और \(b=9\) रखने पर \((p+9)(p-9)=p^2-9^2=p^2-81\) मिलता है। \(p^2+81\) वर्गों का योग है, जो इस गुणनफल से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: समान पदों के साथ विपरीत चिह्न वाले द्विपद दिखें तो वर्गों के अंतर की पहचान लगाएँ। / This expression uses the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Taking \(a=p\) and \(b=9\), we get \((p+9)(p-9)=p^2-9^2=p^2-81\). \(p^2+81\) is a sum of squares, so it does not result from this product. Exam tip: when two binomials have the same terms with opposite signs, use the difference-of-squares identity.
यहाँ \(96=100-4\) और \(104=100+4\) हैं। अतः \((100-4)(100+4)=100^2-4^2=10000-16=9984\)। विकल्प \(10016\) में \(4^2\) को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है। परीक्षा में ऐसे गुणनफल में दोनों संख्याओं का मध्य मान पहचानकर \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करें। / Here, \(96=100-4\) and \(104=100+4\). Therefore, \((100-4)(100+4)=100^2-4^2=10000-16=9984\). The option \(10016\) results from adding \(4^2\) instead of subtracting it. Exam tip: when two numbers are equally spaced around a middle number, use \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
(98=100-2) इसलिए ( (100-2)2 ) से गणना आसान होती है। परीक्षा में निकट पूर्ण संख्या चुनें। / Since (98=100-2), ( (100-2)2 ) makes calculation easy. Exam tip: choose a nearby round number.
\((x+3)(x+8)=x^2+8x+3x+24=x^2+11x+24\)। अतः \(x\) का गुणांक 11 है। 24 स्थिर पद है, जबकि 5 केवल स्थिर पदों का अंतर है। परीक्षा टिप: \((x+a)(x+b)\) में \(x\) का गुणांक \(a+b\) होता है। / \((x+3)(x+8)=x^2+8x+3x+24=x^2+11x+24\). Therefore, the coefficient of \(x\) is 11. Here, 24 is the constant term, while 5 is only the difference between the constants. Exam tip: in \((x+a)(x+b)\), the coefficient of \(x\) is \(a+b\).
वितरण गुण का प्रयोग करें: \(m(m+2)-6(m+2)=m^2+2m-6m-12=m^2-4m-12\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(2m-6m\) का चिह्न गलत लेकर \(+4m\) किया गया है। परीक्षा टिप: द्विपदों का गुणन करते समय चारों गुणनफल लिखकर समान पदों को अंत में मिलाएँ। / Using the distributive property, \(m(m+2)-6(m+2)=m^2+2m-6m-12=m^2-4m-12\). Hence, option A is correct. In option B, the like terms \(2m-6m\) have been combined with the wrong sign to get \(+4m\). Exam tip: while multiplying two binomials, write all four products first and then combine like terms.
\((a-b)^2=(a-b)(a-b)\) में मध्य पद \(-ab-ab=-2ab\) होता है, इसलिए सही विस्तार \(a^2-2ab+b^2\) है। विकल्प B, \((a+b)^2\) का विस्तार है। परीक्षा टिप: वर्ग वाले पद में अंतिम पद हमेशा \(b^2\) धनात्मक रहता है। / In \((a-b)^2=(a-b)(a-b)\), the middle terms give \(-ab-ab=-2ab\), so the expansion is \(a^2-2ab+b^2\). Option B is the expansion of \((a+b)^2\). Exam tip: the last squared term, \(b^2\), remains positive.
\(100=10^2\) और \(-20y=-2\cdot y\cdot10\) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद से घटाव वाला वर्ग पहचानें। / \(100=10^2\) and \(-20y=-2\cdot y\cdot10\). Exam tip: identify the minus square from the negative middle term.
9p-2-4q-2 = (3p)2-(2q)2 है, इसलिए यह दो पूर्ण वर्गों का अंतर है। विकल्प C पूर्ण वर्ग त्रिपद है। परीक्षा में दोनों पदों के वर्ग होने और बीच में ऋण चिह्न जाँचें। / 9p-2-4q-2 = (3p)2-(2q)2, so it is a difference of two perfect squares. Option C is a perfect-square trinomial. In exams, check for square terms separated by a minus sign.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) तथा \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)। दोनों को जोड़ने पर \(+2ab\) और \(-2ab\) कट जाते हैं, इसलिए परिणाम \(2a^2+2b^2\) मिलता है। \(4ab\) केवल मध्य पदों पर ध्यान देने से होने वाली गलती है। परीक्षा टिप: वर्ग वाले व्यंजकों में पहले पहचान लिखकर समान पदों को सावधानी से जोड़ें। / \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) and \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). On adding them, \(+2ab\) and \(-2ab\) cancel, giving \(2a^2+2b^2\). \(4ab\) results from incorrectly focusing only on the middle terms. Exam tip: expand each square and combine like terms carefully.
\(8x=2\cdot x\cdot4\) से आता है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में जोड़ी गुणन पहचानें। / \(8x=2\cdot x\cdot4\). Exam tip: identify pair products in the square of three terms.
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) होता है। इसमें दोहरे गुणन पद \(2ab\), \(2bc\) और \(2ca\) हैं, इसलिए उनकी कुल संख्या 3 है। \(a^2,b^2,c^2\) वर्ग पद हैं, दोहरे गुणन पद नहीं। परीक्षा टिप: तीन चरों में हर अलग जोड़ी—\(ab\), \(bc\), \(ca\)—को एक बार गिनें। / \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\). The double product terms are \(2ab\), \(2bc\), and \(2ca\), so there are 3 such terms. \(a^2,b^2,c^2\) are square terms, not double product terms. Exam tip: make each distinct pair of variables once: \(ab\), \(bc\), and \(ca\).
A. क्योंकि (q) और (r) की जोड़ी का दोहरा गुणन होता है/Because the pair (q) and (r) gives a double product
Explanation
Simple Explanation
तीन पदों के वर्ग में हर दो पदों की जोड़ी से (2) गुणा पद आता है। परीक्षा में जोड़ी आधारित सोच रखें। / In a three-term square, each pair gives a product term multiplied by (2). Exam tip: think in pairs.
h(2x+3y+z)2 में xy वाला पद 2(2x)(3y) से प्राप्त होता है। अतः 2×2x×3y = 12xy। 6xy केवल (2x)(3y) लेने पर मिलेगा, लेकिन वर्ग के विस्तार में यह गुणनफल दो बार आता है। परीक्षा टिप: तीन पदों के वर्ग में दो अलग पदों का मिश्रित पद हमेशा 2ab होता है। / In
(2x+3y+z)2, the term containing xy comes from 2(2x)(3y). Therefore, 2 × 2x × 3y = 12xy. The value 6xy results from taking only (2x)(3y), but this product occurs twice in the expansion of a square. Exam tip: in the square of a trinomial, the mixed term for two different terms is 2ab.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) में \(a=100\) और \(b=3\) रखने पर \(103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 10609 है। 10600 में \(3^2=9\) का पद छूट जाता है। परीक्षा सुझाव: वर्ग की पहचान लगाते समय मध्य पद \(2ab\) और अंतिम पद \(b^2\), दोनों अवश्य लिखें। / Using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), take \(a=100\) and \(b=3\). Then \(103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609\). Hence, 10609 is correct. The option 10600 misses the \(3^2=9\) term. Exam tip: while applying the square identity, include both the middle term \(2ab\) and the final term \(b^2\).
\(x^2-49=x^2-7^2\) दो वर्गों का अंतर है। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने पर \((x-7)(x+7)\) मिलता है। \((x-7)^2\) में मध्य पद \(-14x\) आ जाएगा। परीक्षा टिप: 49 को \(7^2\) पहचानें। / \(x^2-49=x^2-7^2\) is a difference of two squares. Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it becomes \((x-7)(x+7)\). \((x-7)^2\) would produce a middle term \(-14x\). Exam tip: recognise \(49=7^2\).
दो वर्गों का अंतर \(a^2-b^2\), \((a-b)(a+b)\) के बराबर होता है। गुणा करने पर बीच के \(ab\) पद कट जाते हैं। विकल्प B केवल \(a^2-2ab+b^2\) देता है। परीक्षा में विपरीत चिह्न वाले दो वर्ग पहचानें। / The difference of two squares, \(a^2-b^2\), factors as \((a-b)(a+b)\). On multiplying, the middle \(ab\) terms cancel. Option B gives \(a^2-2ab+b^2\), not the required expression. Exam tip: spot two squared terms joined by a minus sign.
पहचान
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) का प्रयोग करें। अतः \(54^2-46^2=(54+46)(54-46)=100\times8=800\)। इसलिए सही उत्तर 800 है। 900 प्राप्त करने के लिए संख्याओं के अंतर या गुणन में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: वर्गों के अंतर में पहले योग और अंतर निकालना गणना को बहुत आसान बनाता है। / Use the identity \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Thus, \(54^2-46^2=(54+46)(54-46)=100\times8=800\). Therefore, the correct answer is 800. A value such as 900 can result from an error in finding the difference or multiplying. Exam tip: for a difference of squares, find the sum and the difference first to simplify the calculation.
पहचान \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) में \(x=5a\) और \(y=2b\) रखने पर \((5a-2b)^2=(5a)^2-2(5a)(2b)+(2b)^2=25a^2-20ab+4b^2\) मिलता है। विकल्प B में मध्य पद का चिह्न धनात्मक है, जो \((x+y)^2\) के लिए होता है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद में पूरे पदों का वर्ग करें तथा मध्य पद में \(-2\) अवश्य लगाएँ। / Using \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\), take \(x=5a\) and \(y=2b\). Thus, \((5a-2b)^2=(5a)^2-2(5a)(2b)+(2b)^2=25a^2-20ab+4b^2\). Option B has a positive middle term, which belongs to \((x+y)^2\). Exam tip: square the complete first and last terms, and include \(-2\) in the middle term.
यह व्यंजक पहचान \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) के रूप में है, जहाँ \(a=7m\) और \(b=3n\) हैं। अतः \((7m+3n)(7m-3n)=(7m)^2-(3n)^2=49m^2-9n^2\)। विकल्प D, \((a-b)^2\) का विस्तार जैसा है, जबकि यहाँ दो संयुग्म द्विपदों का गुणन है। परीक्षा टिप: \((a+b)(a-b)\) में मध्य पद हमेशा कट जाता है। / The expression uses the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), with \(a=7m\) and \(b=3n\). Therefore, \((7m+3n)(7m-3n)=(7m)^2-(3n)^2=49m^2-9n^2\). Option D resembles the expansion of \((a-b)^2\), but this expression is a product of conjugate binomials. Exam tip: in \((a+b)(a-b)\), the middle terms always cancel.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \((x-4)(x+9)=x^2+9x-4x-36=x^2+5x-36\)। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A में मध्य पद के लिए \(9x\) और \(-4x\) को जोड़ने के बजाय गलत रूप से \(13x\) लिया गया है। परीक्षा टिप: गुणन के बाद समान पदों को जोड़ते समय उनके चिह्न अवश्य देखें। / Use the distributive property: \((x-4)(x+9)=x^2+9x-4x-36=x^2+5x-36\). Therefore, option B is correct. In option A, the middle terms have incorrectly been treated as \(9x+4x\) instead of \(9x-4x\). Exam tip: while combining like terms, check the signs carefully.
विपरीत चिह्नों के कारण मध्य पद कट जाता है। परीक्षा में ( (a+b)(a-b) ) में मध्य पद नहीं आता। / Due to opposite signs, the middle term cancels. Exam tip: ( (a+b)(a-b) ) has no middle term.
यह (4ab) पहचान है जहाँ दूसरा पद (2b) है, इसलिए \(4\cdot a\cdot2b=8ab\)। परीक्षा में दूसरे पद को पूरा लें। / This uses the (4ab) identity with second term (2b), so \(4\cdot a\cdot2b=8ab\). Exam tip: take the full second term.
\(x^2-49=x^2-7^2\), इसलिए यह दो वर्गों का अंतर है और \((x+7)(x-7)\) बनेगा। \(x^2+49\) वर्गों का योग है। परीक्षा में दोनों पदों के पूर्ण वर्ग होने तथा बीच में ऋण चिह्न जाँचें। / \(x^2-49=x^2-7^2\), so it is a difference of two squares and factorises as \((x+7)(x-7)\). \(x^2+49\) is a sum of squares. Exam tip: check for perfect squares with a minus sign between them.
यह वर्गों के अंतर की सर्वसमिका है: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)। यहाँ \(49=7^2\) है, इसलिए \(x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)\)। \((x-7)^2\) को फैलाने पर \(x^2-14x+49\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर \(a^2-b^2\) वाली सर्वसमिका लगाइए। / Use the identity \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Since \(49=7^2\), \(x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7)\). The close distractor \((x-7)^2\) expands to \(x^2-14x+49\), so it is not equal to the given expression. Exam tip: find the square root of the constant term before applying the difference-of-squares identity.
यह व्यंजक दो वर्गों का अंतर है: \(121=11^2\) तथा \(4y^2=(2y)^2\)। पहचान \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) लगाने पर \(121-4y^2=(11+2y)(11-2y)\) मिलता है। \((11-2y)^2\) में मध्य पद \(-44y\) भी आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के वर्गमूल पहचानकर ‘वर्गों का अंतर’ वाली पहचान लगाएँ। / The expression is a difference of two squares: \(121=11^2\) and \(4y^2=(2y)^2\). Using \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), we get \(121-4y^2=(11+2y)(11-2y)\). The option \((11-2y)^2\) would also produce a middle term \(-44y\), so it is not correct. Exam tip: identify the square roots of both terms before applying the difference-of-squares identity.
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), इसलिए यह द्विपद के वर्ग का पूर्ण वर्ग त्रिपद है। विकल्प B में मध्य पद \(2ab\) नहीं है। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), so it is a perfect-square trinomial. In option B, the middle term is not \(2ab\). Exam tip: take square roots of the first and last terms, then verify the middle term.
A. पहला \(4p^2-12p+9\) है और दूसरा ((2p+3)(2p-3)) है/First is \(4p^2-12p+9\) and second is ((2p+3)(2p-3))
Explanation
Simple Explanation
एक पूर्ण वर्ग है और दूसरा वर्गों का अंतर है। परीक्षा में कोष्ठक वर्ग और वर्गों के अंतर को अलग पहचानें। / One is a perfect square and the other is difference of squares. Exam tip: distinguish bracket square from difference of squares.
तीन पदों के वर्ग में हर जोड़ी का दोहरा गुणन जुड़ता है। परीक्षा में (2ab+2bc+2ca) याद रखें। / In the square of three terms, the double product of each pair is added. Exam tip: remember (2ab+2bc+2ca).
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) वर्गों के अंतर की सर्वसमिका है, क्योंकि गुणा करने पर \(+ab\) और \(-ab\) पद कट जाते हैं। विकल्प A योग के वर्ग की सर्वसमिका है। परीक्षा में विपरीत चिन्हों वाले द्विपदों का युग्म पहचानें। / \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) is the difference-of-squares identity because the \(+ab\) and \(-ab\) terms cancel on multiplication. Option A is the identity for the square of a sum. Exam tip: look for binomials with opposite signs.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) में \(a=x\), \(b=5\) रखने पर मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) और अंतिम पद \(25\) मिलता है। इसलिए विकल्प A पूर्ण वर्ग त्रिपद है। परीक्षा टिप: मध्य पद का गुणांक हमेशा दो गुना गुणनफल होता है। / Using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), put \(a=x\) and \(b=5\). The middle term is \(2\times x\times5=10x\), and the last term is \(25\). Hence A is a perfect-square trinomial. Exam tip: check whether the middle coefficient is twice the product of the terms.
\((a-b)^2=(a-b)(a-b)\) करने पर \(a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\) मिलता है। विकल्प B योग के वर्ग का सूत्र है। परीक्षा में बीच वाले पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Expanding \((a-b)(a-b)\) gives \(a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\). Option B is the identity for the square of a sum. Exam tip: always check the sign of the middle term.
\((x+6)(x-1)=x^2-x+6x-6=x^2+5x-6\)। इसलिए व्यंजक में बिना \(x\) वाला पद, अर्थात स्थिर पद, \(-6\) है। \(5\) मध्य पद \(5x\) का गुणांक है, स्थिर पद नहीं। परीक्षा टिप: दो द्विपदों के गुणनफल में स्थिर पद पाने के लिए उनके स्थिर पदों का गुणन करें। / \((x+6)(x-1)=x^2-x+6x-6=x^2+5x-6\). Hence, the term without \(x\), namely \(-6\), is the constant term. The number \(5\) is the coefficient of the middle term \(5x\), not the constant term. Exam tip: in a product of two binomials, multiply the constant terms to find the constant term.
स्थिर पदों का योग (6+(-1)=5) है। परीक्षा में (x) का गुणांक स्थिर पदों के योग से लें। / The sum of constants is (6+(-1)=5). Exam tip: take the coefficient of (x) from the sum of constants.
(1002=1000+2) इसलिए योग के वर्ग की पहचान उपयोगी है। परीक्षा में बड़ी संख्याओं में निकट आधार लें। / Since (1002=1000+2), the square of sum identity is useful. Exam tip: use a nearby base for large numbers.
सही सर्वसमिका \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) है। इसमें मध्य पद \(2ab\) दोनों पदों के गुणनफल का दोगुना होता है। विकल्प A अंतर के वर्ग के लिए है। परीक्षा में वर्ग के विस्तार में मध्य पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / The correct identity is \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Its middle term is twice the product of the two terms, \(2ab\). Option A is for the square of a difference. In exams, always check the sign of the middle term.
क्योंकि \(999=1000-1\), इसलिए \(999^2\) को \((1000-1)^2\) के रूप में लिखना सबसे सुविधाजनक है। फिर पहचान \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) लगाकर मान आसानी से निकाला जा सकता है। \((1000+1)^2\) संख्या 1001 का वर्ग दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के निकट 10, 100 या 1000 जैसे आधार को लेकर बीजगणितीय पहचान लगाएँ। / Since \(999=1000-1\), the most convenient form is \((1000-1)^2\). It can be evaluated directly using \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). The form \((1000+1)^2\) represents the square of 1001, not 999. Exam tip: use a nearby base such as 10, 100, or 1000 with an algebraic identity.
\(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), इसलिए यह पूर्ण वर्ग त्रिपद है। विकल्प D भी पूर्ण वर्ग है, पर वह \((x-5)^2\) के रूप में है; दिए गए मध्य पद का चिन्ह पहचानें। / \(x^2+10x+25=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=(x+5)^2\), so it is a perfect-square trinomial. Option D is also a square but represents \((x-5)^2\); use the sign of the middle term as an exam check.
अंतर के वर्गों की सर्वसमिका p² − q² = (p + q)(p − q) है, इसलिए विकल्प A सही है। p² + q² का ऐसा गुणनखंडन नहीं होता। परीक्षा में चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / The difference-of-squares identity is p² − q² = (p + q)(p − q), so option A is correct. p² + q² does not factorise in this form. Exam tip: check for a minus sign between two squares.
( (a+b)2-(a-b)2=4ab ) में (a=5x) और (b=4) है, इसलिए (80x) मिलता है। परीक्षा में पूरे (a) को लें। / In ( (a+b)2-(a-b)2=4ab ), (a=5x) and (b=4), so (80x) is obtained. Exam tip: take the full (a).
\(a^2-b^2\) को \((a-b)(a+b)\) लिखा जाता है, क्योंकि गुणा करने पर मध्य पद कट जाते हैं। विकल्प C में \(-2ab\) पद छूटा है। परीक्षा में अंतर के वर्गों में विपरीत चिह्न वाले द्विपद पहचानें। / A difference of squares factorises as \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\); on expansion, the middle terms cancel. Option C misses the \(-2ab\) term. Exam tip: look for two squared terms joined by a minus sign.
स्थिर पद \(1^2=1\) है। परीक्षा में स्थिर पद केवल स्थिर संख्या के वर्ग से आता है। / The constant term is \(1^2=1\). Exam tip: the constant term comes from the square of the constant number.
( (x+y)2=x-2+2xy+y-2 ), इसलिए \(x^2\) और \(y^2\) कटकर (2xy) बचता है। परीक्षा में विस्तार के बाद घटाएँ। / ( (x+y)2=x-2+2xy+y-2 ), so \(x^2\) and \(y^2\) cancel leaving (2xy). Exam tip: expand and subtract.
पहचान \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) लगाने पर व्यंजक \(x^2-2xy+y^2-x^2-y^2\) बनता है। इसमें \(x^2\) और \(y^2\) के पद कट जाते हैं, इसलिए केवल \(-2xy\) बचता है। \(2xy\) तब मिलता यदि \((x+y)^2\) होता। परीक्षा टिप: \((a-b)^2\) में मध्य पद हमेशा ऋणात्मक \(-2ab\) होता है। / Using the identity \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\), the expression becomes \(x^2-2xy+y^2-x^2-y^2\). The \(x^2\) and \(y^2\) terms cancel, leaving \(-2xy\). The result \(2xy\) would arise from \((x+y)^2\), not \((x-y)^2\). Exam tip: the middle term in \((a-b)^2\) is always negative, \(-2ab\).
