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पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=43\) रखने पर \(\frac{43\times44}{2}=43\times22=946\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(903\) जैसे मान \(42\) तक के योग से जुड़े हो सकते हैं, पर प्रश्न में 43 तक का योग पूछा गया है। परीक्षा टिप: गुणा करने से पहले सम संख्या \(44\) को 2 से भाग देने पर गणना जल्दी होती है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=43\), we get \(\frac{43\times44}{2}=43\times22=946\). Hence, option B is correct. A value such as \(903\) may be associated with the sum up to \(42\), but the question asks for the sum up to \(43\). Exam tip: Divide the even factor \(44\) by 2 before multiplying to calculate faster.
\(\frac{45\cdot46}{2}=1035\), इसलिए (n=45)। ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को सूत्र में रखकर जांचें। / \(\frac{45\cdot46}{2}=1035\), so (n=45). In such questions, check the options in the formula.
31 से 40 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। यह एक समानांतर श्रेणी है, इसलिए योग \\(\frac{10}{2}(31+40)=5\times71=355\\) होगा। 345 प्राप्त करना गलत है, क्योंकि उसमें पदों की संख्या या अंतिम पद का सही ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी भी क्रमागत संख्याओं के योग में पदों की संख्या गिनते समय दोनों सीमाओं को शामिल करें। / There are 10 numbers from 31 to 40, inclusive. They form an arithmetic progression, so the sum is \\(\frac{10}{2}(31+40)=5\times71=355\\). Getting 345 indicates an error in counting the terms or using the last term. Exam tip: When finding the sum over an inclusive range, count both endpoints.
पहली 55 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\) और पहली 45 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) है। अतः अंतर
\(1540-1035=505\) होगा। 500 एक निकट मान है, लेकिन सही गणना में 46 से 55 तक की सभी संख्याओं का योग 505 आता है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में दोनों योगों का सूत्र लगाने के बजाय 46 से 55 तक की संख्याएँ सीधे जोड़ना भी उपयोगी है। / The sum of the first 55 natural numbers is
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\), and the sum of the first 45 natural numbers is
\(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, the difference is
\(1540-1035=505\). Although 500 is close, the exact sum of the numbers from 46 to 55 is 505. Exam tip: For such differences, you can directly add the remaining terms from 46 to 55 instead of finding both full sums.
\(1225=S_{49}\), इसलिए \(S_{51}=\frac{51\cdot52}{2}=1326\)। पहले (n) पहचानें फिर नया योग निकालें। / \(1225=S_{49}\), so \(S_{51}=\frac{51\cdot52}{2}=1326\). First identify (n) and then find the new sum.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=1+2+\cdots+n\) तथा \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) होता है। अतः \(S_n-S_{n-1}=n\)। दिया है कि यह अंतर 42 है, इसलिए \(n=42\)। 41 या 43 लेने पर अंतर क्रमशः 41 या 43 होता, 42 नहीं। परीक्षा टिप: क्रमिक आंशिक योगों का अंतर हमेशा नया जोड़ा गया पद होता है। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=1+2+\cdots+n\) and \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). Therefore, \(S_n-S_{n-1}=n\). Since the given difference is 42, \(n=42\). If n were 41 or 43, the difference would be 41 or 43, not 42. Exam tip: the difference between consecutive partial sums is always the newly added term.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अतः आवश्यक अंतर \(1830-210=1620\) है। यह वास्तव में 21 से 60 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर शेष पदों की सीमा अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, the required difference is \(1830-210=1620\). It is also the sum of the natural numbers from 21 to 60. Exam tip: when subtracting two partial sums, check the range of terms left over.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=666\) से \(n=36\) मिलता है, क्योंकि \(S_{36}=666\)। अतः \(S_{n+1}=S_{37}=666+37=703\)। 693 तब होता यदि अगला पद 27 जोड़ा जाता, जबकि यहाँ अगला प्राकृतिक पद 37 है। परीक्षा टिप: \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\) संबंध का सीधे उपयोग करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=666\), we get \(n=36\), since \(S_{36}=666\). Therefore, \(S_{n+1}=S_{37}=666+37=703\). The value 693 would result from adding 27, but the next natural number here is 37. Exam tip: use \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\) directly.
41 से 50 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। इनका योग = पदों की संख्या × (प्रथम पद + अंतिम पद)/2 = \(10 \times (41+50)/2 = 455\)। इसलिए सही उत्तर 455 है। 445 प्राप्त करना औसत या पदों की संख्या की गलत गणना से हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी क्रमागत श्रेणी में पदों की संख्या \(=\) अंतिम पद − प्रथम पद + 1 होती है। / There are 10 numbers from 41 to 50. Their sum = number of terms × (first term + last term)/2 = \(10 \times (41+50)/2 = 455\). Therefore, 455 is correct. A value such as 445 can result from incorrectly finding the average or the number of terms. Exam tip: for consecutive numbers, number of terms = last term − first term + 1.
\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\) तथा \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है। \(n-1\) पिछले योग का अंतिम पद है। परीक्षा में लगातार दो योगों का अंतर नया जोड़ा गया पद होता है। / \(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\), whereas \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtraction, only \(n\) remains. \(n-1\) is the last term of the previous sum. Exam tip: the difference of consecutive sums gives the newly added term.
26 से 35 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। अतः समान्तर श्रेणी के योग का सूत्र लगाने पर,
a = 26, d = 1, n = 10
aयोग = \\(\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) = \\(\frac{10}{2}[2(26)+9]\) = \\(5(61) = 305\)। इसलिए सही उत्तर 305 है। 295 प्राप्त करने में पदों की संख्या या अंतिम पद लेने में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: लगातार संख्याओं का योग निकालते समय पहले पदों की संख्या अवश्य गिनें। / There are 10 numbers from 26 to 35. Using the sum formula for an arithmetic progression,
a = 26, d = 1, n = 10
\\(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) = \\(\frac{10}{2}[2(26)+9]\) = \\(5(61) = 305\). Therefore, 305 is the correct answer. A result such as 295 may arise from counting the terms incorrectly or using the wrong last term. Exam tip: For sums of consecutive integers, first determine the number of terms carefully.
पहली 70 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 61 से 70 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः अंतर \(=61+62+\cdots+70\)। यह 10 पदों की समांतर श्रेणी है, इसलिए योग \(=\frac{10}{2}(61+70)=5\times131=655\)। इसलिए सही उत्तर 655 है। 645 सही नहीं है, क्योंकि 61 से 70 तक के 10 पदों का औसत \(65.5\) है, अतः योग \(10\times65.5=655\) होगा। परीक्षा टिप: दो क्रमिक ‘पहले n’ योगों का अंतर बीच में बचने वाले पदों का योग होता है। / Subtracting the sum of the first 60 natural numbers from the sum of the first 70 leaves only the numbers from 61 to 70. Thus, the difference is \(61+62+\cdots+70\). This is an arithmetic progression with 10 terms, so its sum is \(\frac{10}{2}(61+70)=5\times131=655\). Therefore, 655 is correct. 645 is incorrect because the average of the 10 numbers from 61 to 70 is \(65.5\), giving a total of \(10\times65.5=655\). Exam tip: The difference between two “first n” sums equals the sum of the terms left in between.
\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\) और \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर केवल \(n\) बचता है। \(2n-1\) क्रमागत योगों का अंतर नहीं, विषम संख्याओं से जुड़ा पद है। परीक्षा में समान आरंभिक पदों को काटें। / \(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\), while \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtraction, the common terms cancel and only \(n\) remains. \(2n-1\) is associated with odd-number patterns. Exam tip: write consecutive sums before subtracting.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं। इसलिए \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\)। अब \(2n-1=79\) से \(2n=80\), अतः \(n=40\)। विकल्प 39 लेने पर मान \(2(39)-1=77\) होगा, जो 79 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में कटने वाले योग के बाद बचे पदों को सीधे लिखें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain. Hence, \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\). Now \(2n-1=79\) gives \(2n=80\), so \(n=40\). If \(n=39\), the value would be \(2(39)-1=77\), not 79. Exam tip: In differences of partial sums, write the terms that remain after cancellation.
पहली 24 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\) होता है। इसका आधा \(300\div2=150\) है, इसलिए सही उत्तर 150 है। 140 या 160 जैसे विकल्प सही योग को आधा करने पर नहीं मिलते। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) से योग निकालें, फिर प्रश्न के अनुसार उसका आधा लें। / The sum of the first 24 natural numbers is \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\). Half of this sum is \(300\div2=150\), so 150 is correct. Values such as 140 or 160 do not result from halving the correct total. Exam tip: first use \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the sum, then take the required fraction of it.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(1+2+\cdots+64=\frac{64\times65}{2}=32\times65=2080\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A, \(1\) से \(63\) तक के योग \(\frac{63\times64}{2}=2016\) के बराबर है, इसलिए इसमें 64 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(n\) और \(n+1\) में से पहले सम संख्या को 2 से काटकर गणना तेज करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(1+2+\cdots+64=\frac{64\times65}{2}=32\times65=2080\). Hence, option C is correct. Option A equals \(\frac{63\times64}{2}=2016\), the sum up to 63, so it omits 64. Exam tip: cancel the factor 2 with the even number first to calculate quickly.
\(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\) तथा \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। दोनों का अंतर लेने पर केवल \(n\) बचता है। \(n-1\) पिछला पद है, अंतर नहीं। परीक्षा में क्रमिक योगों का अंतर लेकर जाँच करें। / \(S_n=1+2+\cdots+(n-1)+n\), while \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtracting, all common terms cancel and only \(n\) remains. \(n-1\) is the previous term, not the difference. Exam tip: compare consecutive sums.
(51) से (60) तक कुल 10 क्रमागत संख्याएँ हैं। इनका औसत \(\frac{51+60}{2}=55.5\) है, इसलिए योग \(10\times55.5=555\) होगा। विकल्प 545 सही नहीं है, क्योंकि वह इन 10 संख्याओं के सही औसत से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में क्रमागत संख्याओं का योग निकालने के लिए \(\text{पदों की संख्या}\times\text{पहला और अंतिम पद का औसत}\) विधि अपनाएँ। / There are 10 consecutive numbers from 51 to 60. Their average is \(\frac{51+60}{2}=55.5\), so the sum is \(10\times55.5=555\). Option 545 is incorrect because it does not result from the correct average of these 10 numbers. Exam tip: for consecutive terms, use \(\text{number of terms}\times\text{average of first and last terms}\).
पहली 80 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 75 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 76 से 80 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः अंतर \(76+77+78+79+80=390\) है। इसलिए सही विकल्प A है। 395 निकट का विकल्प है, पर वह इन पाँच संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; केवल शेष पदों का योग करें। / When the sum of the first 75 natural numbers is subtracted from the sum of the first 80 natural numbers, only the terms from 76 to 80 remain. Thus, the difference is \(76+77+78+79+80=390\). Therefore, option A is correct. Although 395 is close, it is not the sum of these five numbers. Exam tip: In differences of partial sums, cancel the common initial terms and add only the remaining terms.
\(300=S_{24}\), इसलिए \(S_{27}=\frac{27\cdot28}{2}=378\)। पहले (n) पहचानें फिर (3) आगे बढ़ें। / \(300=S_{24}\), so \(S_{27}=\frac{27\cdot28}{2}=378\). Identify (n) first and then move (3) ahead.
(S_n-S_{n-3}=(n-2)+(n-1)+n=3n-3) है। (3n-3=114) से (n=39) नहीं बल्कि विकल्पों में सही मान नहीं है। / (S_n-S_{n-3}=(n-2)+(n-1)+n=3n-3). From (3n-3=114), (n=39), so no listed option is correct.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। युग्म बनाने पर 1+n, 2+(n-1) आदि प्रत्येक का योग \(n+1\) मिलता है। \(\frac{n(n-1)}{2}\) केवल 1 से \(n-1\) तक का योग है। परीक्षा में अंतिम पद n अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Pairing terms gives 1+n, 2+(n-1), and so on, each totaling \(n+1\). \(\frac{n(n-1)}{2}\) is the sum only up to \(n-1\). Exam tip: check the last term before selecting a formula.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। औसत \(\frac{1+n}{2}\) को पदों की संख्या \(n\) से गुणा करने पर यही सूत्र मिलता है। \(n^2\) पहली \(n\) विषम संख्याओं का योग है। परीक्षा में सूत्र में 2 का भाग अवश्य जाँचें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Multiplying the average, \(\frac{1+n}{2}\), by the number of terms \(n\) gives this result. \(n^2\) is the sum of the first \(n\) odd numbers. In exams, check the division by 2 carefully.
पहली 100 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 91 से 100 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः योग = \(91+92+\cdots+100\) = \(\frac{(91+100)\times10}{2}=955\)। इसलिए सही विकल्प B है। 945 निकट का विकल्प है, पर वह 91 से 100 तक के सही औसत \(95.5\) का उपयोग नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; शेष पदों की सीमा सीधे लिखें। / Subtracting the sum of the first 90 natural numbers from the sum of the first 100 leaves only the numbers from 91 to 100. Thus, the sum is \(91+92+\cdots+100=\frac{(91+100)\times10}{2}=955\). Therefore, option B is correct. 945 is a close distractor, but it does not use the correct average, \(95.5\), of the numbers from 91 to 100. Exam tip: In such differences, cancel the common initial terms and write the remaining range directly.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(1176=\frac{48\times49}{2}\), अतः \(n=48\) है। इसलिए \(S_{n-1}=S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\)। 1176, \(S_{48}\) है, इसलिए वह पिछले पद तक का योग नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के आधे के रूप में पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(1176=\frac{48\times49}{2}\), so \(n=48\). Therefore, \(S_{n-1}=S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\). The value 1176 is \(S_{48}\), not the sum up to the previous term. Exam tip: identify the given sum as half the product of two consecutive numbers first.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए अनुपात \(120:55=24:11\) है। \(11:5\) निकट लगता है, लेकिन यह \(120:55\) का सरल रूप नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात को अंत में दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, \(120:55=24:11\). Although \(11:5\) is close, it is not the simplified form of \(120:55\). Exam tip: always divide both terms of a ratio by their greatest common factor to simplify it.
\(231=S_{21}\), इसलिए \(S_{25}=\frac{25\cdot26}{2}=325\)। दिए गए (n) को पहचानकर (4) आगे बढ़ें। / \(231=S_{21}\), so \(S_{25}=\frac{25\cdot26}{2}=325\). Identify the given (n) and move (4) ahead.
योग \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\) है। लगातार (10) पदों का औसत \(\frac{46+55}{2}\) भी ले सकते हैं। / The sum is \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\). You can also use the average of (10) consecutive terms.
\(S_{29}-S_{20}=435-210=225\) नहीं होता, इसलिए विकल्पों को दोबारा जांचना चाहिए। सही मान (30) है क्योंकि (465-210=255) भी नहीं है। / The options should be checked carefully because \(S_n-S_{20}=250\) does not match the listed values. No listed option gives exactly (250).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) और \(S_{14}=\frac{14\times15}{2}=105\)। इसलिए अंतर \(406-105=301\) है। 291 पाने की गलती प्रायः 14 तक की संख्याओं को सही ढंग से घटाने के बजाय गणना में त्रुटि करने से होती है। परीक्षा टिप: अंतर वाले प्रश्न में दोनों योगों का सूत्र लगाकर बड़े योग में से छोटा योग घटाएँ। / The sum of the first n natural numbers is
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) and \(S_{14}=\frac{14\times15}{2}=105\). Therefore, the difference is \(406-105=301\). An answer such as 291 usually results from an arithmetic error while subtracting the sum up to 14. Exam tip: for a difference of sums, calculate both sums using the formula and subtract the smaller one from the larger one.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=1540\), यानी \(n(n+1)=3080\)। क्योंकि \(55\times56=3080\), इसलिए \(n=55\) है। \(54\) लेने पर योग \(\frac{54\times55}{2}=1485\) होगा, जो 1540 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(2S\) के दो क्रमागत गुणनखंड खोजें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=1540\), so \(n(n+1)=3080\). Since \(55\times56=3080\), \(n=55\). For example, if \(n=54\), the sum is \(\frac{54\times55}{2}=1485\), not 1540. Exam tip: find two consecutive factors of \(2S\) in such questions.
71 से 80 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। समांतर श्रेणी के योग का सूत्र लगाएँ:
total =
\(\frac{10}{2}(71+80)=5\times151=755\)।
अतः सही उत्तर 755 है। 745 जैसा विकल्प सामान्यतः पदों की संख्या या औसत गिनने में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी सीमा तक के पदों की संख्या हमेशा \(\text{अंतिम पद}-\text{प्रथम पद}+1\) होती है। / There are 10 numbers from 71 to 80, inclusive. Using the sum formula for an arithmetic sequence:
\(\frac{10}{2}(71+80)=5\times151=755\).
Therefore, the correct answer is 755. A choice such as 745 may result from an error in counting the number of terms or finding the average. Exam tip: the number of terms from one endpoint to another is \(\text{last term}-\text{first term}+1\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) होता है। अतः पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{20\times21}{2}=210\\) और पहले 5 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{5\times6}{2}=15\\) है। इसलिए कुल योग \\(210+15=225\\) होगा। 220 केवल पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग नहीं है; वह गलत गणना से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों योग अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / The sum of the first n natural numbers is \\(\frac{n(n+1)}{2}\\). Thus, the sum of the first 20 natural numbers is \\(\frac{20\times21}{2}=210\\), and the sum of the first 5 natural numbers is \\(\frac{5\times6}{2}=15\\). Therefore, the required total is \\(210+15=225\\). The value 220 does not equal the sum of the first 20 natural numbers and may result from an incorrect calculation. Exam tip: calculate each sum separately before adding them.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\) से \(n=75\) मिलता है। अतः \(S_{n-5}=S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\)। विकल्प 2556, \(S_{71}\) का योग है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर बदले हुए पदांक का योग निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), we get \(n=75\). Therefore, \(S_{n-5}=S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\). The value 2556 is \(S_{71}\), so it is not correct here. Exam tip: first find \(n\) from the given sum, then calculate the sum for the required index.
\(S_n-S_{n-1}=n\), इसलिए (n=68) और \(S_{68}=\frac{68\cdot69}{2}=2346\)। अंतर से (n) पहचानें। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=68) and \(S_{68}=\frac{68\cdot69}{2}=2346\). Identify (n) from the difference.
प्रथम \(n+1\) संख्याओं के योग में, प्रथम \(n\) संख्याओं के योग के अतिरिक्त केवल नई संख्या \(n+1\) जुड़ती है। इसलिए \(S_{n+1}-S_n=n+1\)। \(n\) वृद्धि नहीं, पिछला अंतिम पद है। परीक्षा में नया जोड़ा गया पद पहचानें। / When the sum is extended to \(n+1\) terms, only the new number \(n+1\) is added to the first \(n\) terms. Hence, \(S_{n+1}-S_n=n+1\). Option B gives the previous last term, not the added term. Exam tip: identify the newly included term.
यदि \(S_n\), पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो \(S_{36}=1+2+\cdots+36\) होगा। इसमें अगले दो क्रमागत पद \(37\) और \(38\) जोड़ने पर \(1+2+\cdots+36+37+38=S_{38}\) प्राप्त होता है। \(S_{37}\) में केवल 37 तक का योग होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: आंशिक योग में अगला पद जोड़ने पर सूचकांक एक बढ़ता है। / If \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, then \(S_{36}=1+2+\cdots+36\). Adding the next two consecutive terms, 37 and 38, gives \(1+2+\cdots+36+37+38=S_{38}\). \(S_{37}\) includes terms only up to 37, so it is not correct. Exam tip: each next term added to a partial sum increases its subscript by 1.
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n\) और \(n+1\) में एक सम होता है। \(n\) को 4 से भाग देने पर शेष 1 या 2 होने पर भाग देने के बाद दोनों गुणनखंड विषम रहते हैं, इसलिए योग विषम होता है। केवल \(n\) का सम या विषम होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: शेषफल 0, 1, 2, 3 जाँचें। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), one of \(n\) and \(n+1\) is even. After division by 2, the product is odd only when \(n\) leaves remainder 1 or 2 on division by 4. Thus, merely calling \(n\) odd or even is insufficient. Exam tip: test residues 0, 1, 2 and 3 modulo 4.
पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 85 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 86 से 90 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः अंतर = 86 + 87 + 88 + 89 + 90 = 440। इसलिए विकल्प C सही है। 450 प्राप्त होता यदि 86 से 90 तक प्रत्येक संख्या को 90 मान लिया जाए, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान आरम्भिक पद कट जाते हैं; केवल बचे हुए क्रमिक पदों का योग करें। / When the sum of the first 85 natural numbers is subtracted from the sum of the first 90 natural numbers, only the numbers from 86 to 90 remain. Thus, the difference is 86 + 87 + 88 + 89 + 90 = 440. Therefore, option C is correct. The value 450 would result from incorrectly treating each of the five terms as 90. Exam tip: In differences of such sums, cancel the common initial terms and add only the remaining consecutive terms.
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=2211\), यानी \(n(n+1)=4422\)। क्योंकि \(66\times67=4422\), इसलिए \(n=66\)। \(67\) लेने पर योग \(\frac{67\times68}{2}=2278\) होगा, जो 2211 नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमागत गुणनफल पहचानने के लिए \(2\) से गुणा करके दिए गए योग को जाँचें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=2211\), so \(n(n+1)=4422\). Since \(66\times67=4422\), \(n=66\). If \(n=67\), the sum would be \(\frac{67\times68}{2}=2278\), not 2211. Exam tip: multiply the given sum by \(2\) and look for two consecutive factors.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(1+2+3+\cdots+n\) होता है, जिसका सूत्र \(\frac{n(n+1)}{2}\) है। \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) वर्गों के योग के लिए है। परीक्षा में सूत्र लिखकर n का मान बाद में रखें। / The sum \(1+2+3+\cdots+n\) is given by \(\frac{n(n+1)}{2}\). The expression \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) is for the sum of squares. Exam tip: identify the sequence before selecting a formula.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। इसलिए \(S_{30}:S_{20}=465:210=31:14\)। विकल्प 31:15 में दूसरा पद सही अनुपात के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात को हमेशा दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरलतम रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, \(S_{30}:S_{20}=465:210=31:14\). In 31:15, the second term does not match the simplified ratio. Exam tip: always divide both terms of a ratio by their greatest common factor to obtain the simplest form.
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\) से \(n=80\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+1}-S_n=S_{81}-S_{80}=81\), क्योंकि अगले योग में केवल अगली प्राकृतिक संख्या जुड़ती है। \(80\) निकट का विकल्प है, पर वह \(S_{80}\) की अंतिम संख्या है; अंतर में जुड़ने वाली संख्या \(81\) है। परीक्षा टिप: क्रमिक योगों का अंतर हमेशा अगला पद होता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\), we get \(n=80\). Hence, \(S_{n+1}-S_n=S_{81}-S_{80}=81\), because the next sum includes only the next natural number. \(80\) is a close distractor, but it is the last number included in \(S_{80}\); the added number is \(81\). Exam tip: the difference of consecutive partial sums is always the next term.
81 से 90 तक कुल \(10\) संख्याएँ हैं। इनका औसत \(\frac{81+90}{2}=85.5\) है, इसलिए योग \(10\times 85.5=855\) होगा। अतः विकल्प B सही है। \(845\) जैसे विकल्प सामान्यतः पदों की संख्या या औसत की गणना में गलती से प्राप्त हो सकते हैं। परीक्षा टिप: लगातार संख्याओं के योग के लिए \(\text{पदों की संख्या}\times\text{पहला और अंतिम पद का औसत}\) विधि अपनाएँ। / There are \(10\) numbers from 81 to 90. Their average is \(\frac{81+90}{2}=85.5\), so the sum is \(10\times 85.5=855\). Hence, option B is correct. A value such as \(845\) can result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: for consecutive numbers, use \(\text{number of terms}\times\text{average of the first and last terms}\).
\(\frac{73\cdot74}{2}=2701\), इसलिए \(n=73\)। विकल्पों को सूत्र में रखकर सत्यापित करें। / \(\frac{73\cdot74}{2}=2701\), so \(n=73\). Verify the options by substituting them in the formula.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=40\) रखने पर योग \(\frac{40\times41}{2}=820\) होगा। इसका \(\frac{1}{4}\) भाग \(\frac{820}{4}=205\) है, इसलिए विकल्प B सही है। 195 तब मिल सकता है जब योग या भाग देने में गणना की त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) से कुल योग निकालें, फिर दिए गए भिन्न से गुणा या भाग करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). For \(n=40\), the sum is \(\frac{40\times41}{2}=820\). One-fourth of this is \(\frac{820}{4}=205\), so option B is correct. A value such as 195 results from an error in finding the sum or dividing it. Exam tip: first calculate the total using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then take the required fraction.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{75}=\frac{75\times76}{2}=2850\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए अंतर \(2850-1275=1575\) है। 1585 निकट मान है, पर यह सही घटाव से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(51\) से \(75\) तक की संख्याओं के योग के रूप में भी देख सकते हैं। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{75}=\frac{75\times76}{2}=2850\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, the difference is \(2850-1275=1575\). Although 1585 is close, it does not result from the correct subtraction. Exam tip: this difference can also be viewed as the sum of the numbers from \(51\) to \(75\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=4950\), यानी \(n(n+1)=9900\)। क्योंकि \(99\times100=9900\), इसलिए \(n=99\) होगा। \(n=100\) लेने पर योग \(5050\) आता है, जो 4950 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(2S_n\) निकालकर दो क्रमागत संख्याओं का गुणनफल पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n+1)}{2}=4950\), so \(n(n+1)=9900\). Since \(99\times100=9900\), \(n=99\). For \(n=100\), the sum would be \(5050\), not 4950. Exam tip: Multiply the given sum by 2 and look for two consecutive numbers whose product equals the result.
योग \(S_{100}-S_{90}=5050-4095=955\) है। अंतिम (10) संख्याओं का योग घटाव से जल्दी मिलता है। / The sum is \(S_{100}-S_{90}=5050-4095=955\). The sum of the last (10) numbers is quickly found by subtraction.
\(3160=S_{79}\), इसलिए \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\) नहीं बल्कि सही मान (385) है। विकल्पों को अंतिम गणना से जरूर मिलाएं। / \(3160=S_{79}\), so \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\), not (390). Always match options with the final calculation.
