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Subjects
Class 9 Mathematics Sequences and Progressions Sum of first n natural numbers Medium Level 61

प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग \(S_n\) के विषम होने की शर्त कौन-सी है?

Under which condition is the sum \(S_n\) of the first \(n\) natural numbers odd?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. \(n\equiv 1\) या \(2 \pmod{4}\)

Explanation

Simple Explanation

\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n\) और \(n+1\) में एक सम होता है। \(n\) को 4 से भाग देने पर शेष 1 या 2 होने पर भाग देने के बाद दोनों गुणनखंड विषम रहते हैं, इसलिए योग विषम होता है। केवल \(n\) का सम या विषम होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: शेषफल 0, 1, 2, 3 जाँचें। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), one of \(n\) and \(n+1\) is even. After division by 2, the product is odd only when \(n\) leaves remainder 1 or 2 on division by 4. Thus, merely calling \(n\) odd or even is insufficient. Exam tip: test residues 0, 1, 2 and 3 modulo 4.

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प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग \(S_n\) के विषम होने की शर्त कौन-सी है? / Under which condition is the sum \(S_n\) of the first \(n\) natural numbers odd?

Correct Answer: B. \(n\equiv 1\) या \(2 \pmod{4}\). Explanation: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n\) और \(n+1\) में एक सम होता है। \(n\) को 4 से भाग देने पर शेष 1 या 2 होने पर भाग देने के बाद दोनों गुणनखंड विषम रहते हैं, इसलिए योग विषम होता है। केवल \(n\) का सम या विषम होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: शेषफल 0, 1, 2, 3 जाँचें। / Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), one of \(n\) and \(n+1\) is even. After division by 2, the product is odd only when \(n\) leaves remainder 1 or 2 on division by 4. Thus, merely calling \(n\) odd or even is insufficient. Exam tip: test residues 0, 1, 2 and 3 modulo 4.