Level 60 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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What is the sum of the first (48) natural numbers?
A. (1176)
\(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\) है। सम संख्या को पहले (2) से भाग देने पर गणना आसान होती है। / \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\). Divide the even number by (2) first to make calculation easier.
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If the sum of the first (n) natural numbers is (406), what is the value of (n)?
C. (28)
\(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) इसलिए (n=28) है। विकल्पों को सूत्र में रखकर जल्दी जांच सकते हैं। / \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\), so (n=28). You can quickly check by substituting the options in the formula.
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What is the sum of natural numbers from (21) to (35)?
D. (420)
योग \(S_{35}-S_{20}=630-210=420\) होगा। जब क्रम (1) से शुरू न हो तो दो योगों का अंतर लें। / The sum is \(S_{35}-S_{20}=630-210=420\). When the sequence does not start from (1), take the difference of two sums.
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C. 300
प्रतिदिन हल किए गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, ..., 24 है। अतः यह प्रथम 24 प्राकृतिक संख्याओं का योग है: \(S=\frac{24\times25}{2}=300\)। इसलिए सही उत्तर 300 है। 288 या 324 जैसे विकल्प योग के सूत्र में गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The numbers of questions solved each day are 1, 2, 3, ..., 24. Therefore, the required total is the sum of the first 24 natural numbers: \(S=\frac{24\times25}{2}=300\). Hence, 300 is correct. Values such as 288 or 324 can result from an incorrect calculation of the sum formula. Exam tip: the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
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What is the value of \(S_{18}+S_{12}\), where \(S_n\) is the sum of the first (n) natural numbers?
A. 249
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{18}=\frac{18\times19}{2}=171\) और \(S_{12}=\frac{12\times13}{2}=78\)। इसलिए \(S_{18}+S_{12}=171+78=249\)। विकल्प 239 सही नहीं है, क्योंकि यह दोनों सही योगों का योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर प्रत्येक योग अलग-अलग निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{18}=\frac{18\times19}{2}=171\) and \(S_{12}=\frac{12\times13}{2}=78\). Therefore, \(S_{18}+S_{12}=171+78=249\). Option 239 is incorrect because it is not the sum of these two correct values. Exam tip: In such questions, first use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) to find each required sum separately.
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C. 270
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए \(S_{25}-S_{10}=325-55=270\)। यह 11 से 25 तक की प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर भी है। 260 प्राप्त करना सामान्यतः किसी एक योग की गणना में त्रुटि होने के कारण होता है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर बीच की संख्याओं का योग सीधे मिल जाता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, \(S_{25}-S_{10}=325-55=270\). This is also the sum of the natural numbers from 11 to 25. Getting 260 usually results from an error while calculating one of the two sums. Exam tip: the difference of two consecutive-range sums directly gives the sum of the terms between them.
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If \(1+2+3+\cdots+n=595\), what is (n)?
C. (34)
\(S_{34}=\frac{34\times35}{2}=595\) इसलिए (n=34) है। दिए गए योग को पास के त्रिभुज संख्याओं से मिलाएं। / \(S_{34}=\frac{34\times35}{2}=595\), so (n=34). Match the given sum with nearby triangular numbers.
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Find the value of \(S_{30}-S_{18}\).
B. (294)
\(S_{30}=465\) और \(S_{18}=171\) इसलिए अंतर (294) है। अंतर निकालते समय दोनों योग सही लिखें। / \(S_{30}=465\) and \(S_{18}=171\), so the difference is (294). Write both sums correctly before subtracting.
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C. (528)
कुल कुर्सियाँ \(S_{32}=\frac{32\times33}{2}=528\) हैं। पंक्ति संख्या के अनुसार बढ़ता पैटर्न \(S_n\) बनाता है। / Total chairs are \(S_{32}=\frac{32\times33}{2}=528\). A pattern increasing by row number forms \(S_n\).
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What is half of the sum of the first (40) natural numbers?
B. 410
पहली 40 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(S=\frac{40\times41}{2}=820\\) होता है। इसका आधा \\(\frac{820}{2}=410\\) है, इसलिए विकल्प B सही है। 420 प्राप्त करने के लिए योग या आधा निकालते समय गणना में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) याद रखें। / The sum of the first 40 natural numbers is \\(S=\frac{40\times41}{2}=820\\). Half of this sum is \\(\frac{820}{2}=410\\), so option B is correct. Getting 420 would result from an error while finding the sum or taking half of it. Exam tip: remember that the sum of the first n natural numbers is \\(\frac{n(n+1)}{2}\\).
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What is the sum of the last (5) terms in \(1+2+3+\cdots+45\)?
A. (215)
अंतिम (5) पद (41+42+43+44+45=215) हैं। अंतिम पद पूछे जाएं तो पूरा योग निकालना जरूरी नहीं होता। / The last (5) terms are (41+42+43+44+45=215). If last terms are asked, finding the total sum is not necessary.
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B. 231
पहली 21 प्राकृतिक संख्याओं का योग पाने के लिए पहली 20 संख्याओं के योग में अगली संख्या 21 जोड़ते हैं: \(S_{21}=S_{20}+21=210+21=231\)। इसलिए सही उत्तर 231 है। 230 तब मिलता यदि केवल 20 जोड़ा जाता, जबकि अगला प्राकृतिक पद 21 है। परीक्षा टिप: क्रमागत योग में नया योग पाने के लिए पिछले योग में अगला पद जोड़ें। / To obtain the sum of the first 21 natural numbers, add the next number, 21, to the sum of the first 20 numbers: \(S_{21}=S_{20}+21=210+21=231\). Hence, 231 is correct. The value 230 would result from adding 20, but the next natural number is 21. Exam tip: For consecutive sums, add the next term to the previous sum.
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C. 201
पहली 36 प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_{36}=\frac{36\times37}{2}=666\) और पहली 30 प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) है। अतः अंतर \,\(666-465=201\) होगा। यह सीधे 31 से 36 तक की संख्याओं के योग के बराबर भी है। 191 केवल 31 से 35 तक के योग के निकट हो सकता है, लेकिन उसमें 36 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक प्रारम्भिक योगों का अंतर बीच में बची संख्याओं का योग होता है। / The sum of the first 36 natural numbers is \,\(S_{36}=\frac{36\times37}{2}=666\), and the sum of the first 30 natural numbers is \,\(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, the difference is \,\(666-465=201\). It is also the sum of the numbers from 31 to 36. Option 191 would be close to a sum ending at 35, but it does not include 36. Exam tip: The difference of two initial sums equals the sum of the terms left between them.
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For which (n) will \(S_n=780\)?
B. (39)
\(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\) इसलिए (n=39) है। ऐसे प्रश्नों में (n(n+1)) को \(2S_n\) से मिलाएं। / \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\), so (n=39). In such questions, match (n(n+1)) with \(2S_n\).
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A figure has (27) rows of dots, and the (k)th row has (k) dots. How many dots are there in total?
A. (378)
कुल बिंदु \(S_{27}=\frac{27\times28}{2}=378\) होंगे। (k)वीं पंक्ति में (k) बिंदु होना प्राकृतिक संख्याओं का योग दिखाता है। / Total dots are \(S_{27}=\frac{27\times28}{2}=378\). Having (k) dots in the (k)th row shows the sum of natural numbers.
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What is the value of \(S_{16}+16\)?
C. 152
पहले 16 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{16}=\frac{16\times17}{2}=136\) होता है। अतः \(S_{16}+16=136+16=152\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 136 केवल \(S_{16}\) का मान है; उसमें 16 जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में दिए गए \(n\) को पहले सही पहचानें, फिर अतिरिक्त पद अलग से जोड़ें। / The sum of the first 16 natural numbers is \(S_{16}=\frac{16\times17}{2}=136\). Therefore, \(S_{16}+16=136+16=152\), so option C is correct. The value 136 is only \(S_{16}\); it does not include the additional 16. Exam tip: first use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) correctly, then add any extra term separately.
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What remains after subtracting (1000) from the sum of the first (50) natural numbers?
D. 275
पहली 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S=\frac{50\times51}{2}=1275\) होता है। अतः 1000 घटाने पर \(1275-1000=275\) बचेगा। इसलिए विकल्प D सही है। 255 तब मिलता यदि योग या घटाव में गणना की त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र प्रयोग करें। / The sum of the first 50 natural numbers is \(S=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, after subtracting 1000, we get \(1275-1000=275\). Hence, option D is correct. A value such as 255 results from an error in finding the sum or carrying out the subtraction. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers.
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If \(S_m=210\) and \(S_n=325\), what is the value of (n-m)?
C. 5
प्रथम k प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_k=\frac{k(k+1)}{2}\) होता है। \(\frac{m(m+1)}{2}=210\) से \(m=20\) और \(\frac{n(n+1)}{2}=325\) से \(n=25\) प्राप्त होता है। अतः \(n-m=25-20=5\)। विकल्प 4 तब मिलता यदि सूचकांकों का अंतर गलत निकाला जाता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में योग के मान को निकटतम त्रिकोणीय संख्या से मिलाकर सूचकांक जल्दी पहचानें। / The sum of the first k natural numbers is \(S_k=\frac{k(k+1)}{2}\). From \(\frac{m(m+1)}{2}=210\), we get \(m=20\); and from \(\frac{n(n+1)}{2}=325\), we get \(n=25\). Therefore, \(n-m=25-20=5\). Option 4 would result from incorrectly finding the difference between the indices. Exam tip: match a given sum with nearby triangular numbers to identify the index quickly.
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What is the sum of \(11+12+13+\cdots+30\)?
D. (410)
योग \(S_{30}-S_{10}=465-55=410\) है। (11) से शुरू होने पर पहले (10) पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{30}-S_{10}=465-55=410\). When it starts from (11), subtract the sum of the first (10) terms.
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The sum of the first (44) natural numbers is equal to which value?
A. 990
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=44\) रखने पर \(\frac{44\times45}{2}=22\times45=990\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 990 है। 968 जैसा विकल्प \(44\times44/2\) जैसी गलत गणना से आ सकता है, क्योंकि सूत्र में \(n+1\) अवश्य होता है। परीक्षा टिप: सम प्राकृतिक संख्या होने पर पहले उसे 2 से भाग देकर गणना जल्दी करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=44\), we get \(\frac{44\times45}{2}=22\times45=990\). Therefore, 990 is correct. A value such as 968 may result from incorrectly using \(44\times44/2\); the formula must include \(n+1\). Exam tip: When \(n\) is even, divide it by 2 first for quicker calculation.
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A. \(S_{n+1}-S_n=n+1\)
\(S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1)\) होता है, जबकि \(S_n=1+2+\cdots+n\) है। इसलिए अंतर \(n+1\) होगा। विकल्प B में नया जोड़ा गया पद गलत रूप से \(n\) लिया गया है। परीक्षा में अगले योग में जुड़ने वाला पद पहचानें। / \(S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1)\), whereas \(S_n=1+2+\cdots+n\). Thus, the extra term is \(n+1\). Option B incorrectly uses \(n\) as the added term. Exam tip: identify the newly included term in successive sums.
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B. 1770
पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 60 भी शामिल है। अतः पहली 59 संख्याओं का योग प्राप्त करने के लिए 60 घटाएँ: \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\)। इसलिए सही उत्तर 1770 है। 1780 प्राप्त करने के लिए 50 घटाना पड़ता, जो यहाँ अंतिम पद नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के योग में एक पद कम करने पर वही अंतिम पद घटता है। / The sum of the first 60 natural numbers includes the last number, 60. Therefore, subtract 60 to get the sum of the first 59 numbers: \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\). Hence, 1770 is correct. Getting 1780 would mean subtracting 50, which is not the last term here. Exam tip: when reducing a consecutive natural-number sum by one term, subtract the omitted last term.
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What will be the value of \(S_{14}+S_{15}\)?
C. (225)
\(S_{14}=105\) और \(S_{15}=120\) इसलिए योग (225) है। समान दिखने वाले दो योगों को अलग-अलग निकालें। / \(S_{14}=105\) and \(S_{15}=120\), so the sum is (225). Find the two similar-looking sums separately.
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If \(1+2+3+\cdots+n=903\), choose the value of (n).
C. (42)
\(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\) इसलिए (n=42)। \(2S_n\) करके दो क्रमागत संख्याओं का गुणनफल देखें। / \(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\), so (n=42). Use \(2S_n\) to see the product of two consecutive numbers.
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C. 120
पहले 15 चरणों के अंक 1 से 15 तक हैं, इसलिए उनका योग \(\frac{15\times16}{2}=120\) होगा। अगले 10 चरणों में शून्य अंक मिलने से कुल योग में कोई परिवर्तन नहीं होता। 130 तब होता, जब दिए गए अंकों का योग 120 से 10 अधिक होता, पर यहाँ 10 अतिरिक्त अंक नहीं, बल्कि शून्य अंक हैं। परीक्षा टिप: 1 से n तक के प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The marks in the first 15 steps are 1 through 15, so their sum is \(\frac{15\times16}{2}=120\). The next 10 steps contribute zero marks, so they do not change the total. Option 130 would require 10 additional marks, but these steps add zero, not 10. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of natural numbers from 1 to n.
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What is the sum of the first (52) natural numbers?
B. 1378
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=26\times53=1378\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A, \(51\) तक के योग \(\frac{51\times52}{2}=1326\) के बराबर है, इसलिए यह निकट लेकिन गलत है। परीक्षा टिप: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के योग में हमेशा \(n(n+1)/2\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=26\times53=1378\). Hence, option B is correct. Option A is a close distractor because it equals the sum up to \(51\): \(\frac{51\times52}{2}=1326\). Exam tip: for the sum of consecutive natural numbers from 1 to \(n\), use \(n(n+1)/2\).
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What is the value of \(S_{33}-S_{22}\)?
B. 308
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) और \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\)। इसलिए \(S_{33}-S_{22}=561-253=308\)। यह \(23\) से \(33\) तक की संख्याओं का योग भी है; \(298\) जैसे विकल्प में पदों की संख्या या योग की गणना गलत हो सकती है। परीक्षा टिप: \(S_m-S_n\) को \((n+1)\) से \(m\) तक का योग समझें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) and \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\). Therefore, \(S_{33}-S_{22}=561-253=308\). It is also the sum of the integers from \(23\) to \(33\); an option such as \(298\) can result from an incorrect term count or sum. Exam tip: interpret \(S_m-S_n\) as the sum from \((n+1)\) to \(m\).
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If the sum of the first (n) natural numbers is (1035), what is (n)?
C. (45)
\(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) इसलिए \(n=45\)। बड़े योग में विकल्प जांचना समय बचाता है। / \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\), so \(n=45\). Checking options saves time in larger sums.
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Which sum is formed when (20) is added to \(1+2+3+\cdots+19\)?
C. \(S_{20}\)
यहाँ \(S_n\) पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग को दर्शाता है। \(1+2+3+\cdots+19\) में 20 जोड़ने पर योग \(1+2+3+\cdots+19+20\) बनता है, अर्थात \(S_{20}\)। \(S_{19}\) केवल 19 तक का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अंतिम जोड़ी गई संख्या देखकर योग का सूचकांक निर्धारित करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Adding 20 to \(1+2+3+\cdots+19\) gives \(1+2+3+\cdots+19+20\), which is \(S_{20}\). \(S_{19}\) includes terms only up to 19, so it is not correct. Exam tip: use the last included natural number to identify the subscript of the sum.
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B. (496)
कुल बचत \(S_{31}=\frac{31\times32}{2}=496\) रुपये है। दैनिक वृद्धि (1) हो तो प्राकृतिक संख्याओं का योग बनता है। / Total saving is \(S_{31}=\frac{31\times32}{2}=496\) rupees. A daily increase of (1) forms the sum of natural numbers.
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What is three times the sum of the first (18) natural numbers?
C. 513
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{18}=\frac{18\times19}{2}=171\)। इसका तीन गुना \(3\times171=513\) है, इसलिए सही विकल्प 513 है। 503 योग को सही सूत्र से न निकालने पर मिलने वाला निकट का गलत मान है। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) से योग निकालें, फिर प्रश्न में दिया गया गुणन करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{18}=\frac{18\times19}{2}=171\). Three times this sum is \(3\times171=513\), so 513 is correct. A nearby value such as 503 results from not applying the sum formula correctly. Exam tip: first find the sum using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then apply the required multiplication.
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What is the difference between the sum of the first (26) natural numbers and (26)?
B. 325
पहली 26 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\) होता है। अतः 26 घटाने पर \(351-26=325\) प्राप्त होता है। यह वास्तव में पहली 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग भी है। 315, 25 प्राकृतिक संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) याद रखें। / The sum of the first 26 natural numbers is \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). Therefore, subtracting 26 gives \(351-26=325\). This is also the sum of the first 25 natural numbers. For example, 315 is not the correct sum of the first 25 natural numbers. Exam tip: remember that the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
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What is the sum of \(16+17+18+\cdots+25\)?
B. 205
यह 16 से 25 तक के 10 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग है। प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{16+25}{2}=20.5\) है, इसलिए योग \(10\times20.5=205\) होगा। विकल्प 195 तब मिल सकता है जब पदों की संख्या या औसत गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: क्रमागत पदों के योग में पहले पदों की संख्या \((25-16+1)\) अवश्य गिनें। / These are 10 consecutive natural numbers from 16 to 25. Their average is \(\frac{16+25}{2}=20.5\), so the sum is \(10\times20.5=205\). A value such as 195 can result from counting the number of terms or the average incorrectly. Exam tip: for consecutive terms, first count them using \((25-16+1)\).
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For which (n) will \(S_n-S_{n-1}=37\)?
C. 37
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=1+2+\cdots+n\) होता है, जबकि \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) होता है। अतः \(S_n-S_{n-1}=n\)। दिया है कि यह अंतर 37 है, इसलिए \(n=37\)। 36 या 38 लेने पर अंतर क्रमशः 36 या 38 होगा। परीक्षा टिप: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर हमेशा जोड़ा गया नया पद होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=1+2+\cdots+n\), whereas \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). Therefore, \(S_n-S_{n-1}=n\). Since the given difference is 37, \(n=37\). For n = 36 or 38, the difference would be 36 or 38 respectively. Exam tip: the difference between two consecutive partial sums is the newly added term.
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Find the sum of the first (55) natural numbers.
A. 1540
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=55\times28=1540\)। इसलिए सही विकल्प 1540 है। \(1485\), \(1\) से \(54\) तक का योग है, क्योंकि \(\frac{54\times55}{2}=1485\)। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(n\) और \(n+1\) में से सम संख्या को पहले 2 से भाग दें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=55\times28=1540\). Hence, 1540 is the correct option. The value \(1485\) is the sum up to 54, since \(\frac{54\times55}{2}=1485\). Exam tip: divide the even factor by 2 first to calculate quickly.
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If \(S_{23}=276\), what will be the value of \(S_{25}\)?
B. \(325\)
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{25}=S_{23}+24+25=276+49=325\)। अतः सही विकल्प \(325\) है। \(300\) प्राप्त करने के लिए केवल एक नया पद जोड़ना जैसी गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n+k}\) तक जाने पर बीच के सभी नए पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Therefore, \(S_{25}=S_{23}+24+25=276+49=325\). Hence, the correct option is \(325\). A value such as \(300\) can result from the mistake of adding only one new term. Exam tip: When moving from \(S_n\) to \(S_{n+k}\), add every intervening new term.
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What is obtained by adding (30) and (31) to the sum of the first (29) natural numbers?
C. \(S_{31}\)
यदि \(S_n\), पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो \(S_{29}\) में अगली दो संख्याएँ \(30\) और \(31\) जोड़ने पर \(S_{29}+30+31=S_{31}\) प्राप्त होता है। \(S_{30}\) केवल \(30\) तक का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: आंशिक योग में क्रमागत अगली संख्याएँ जोड़ने पर सूचकांक उतना ही बढ़ता है। / If \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, then adding the next two numbers to \(S_{29}\) gives \(S_{29}+30+31=S_{31}\). \(S_{30}\) includes only up to 30, so it is not correct. Exam tip: when consecutive next terms are added to a partial sum, increase the subscript accordingly.
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What is the ratio of \(S_{20}\) to \(S_{10}\)?
B. \(42:11\)
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए \(S_{20}:S_{10}=210:55=42:11\)। \(21:5\) तब मिलता है जब \(S_{10}\) को गलत तरीके से 50 माना जाए। परीक्षा टिप: अनुपात को अंतिम चरण में दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Hence, \(S_{20}:S_{10}=210:55=42:11\). The ratio \(21:5\) would result from incorrectly taking \(S_{10}\) as 50. Exam tip: simplify a ratio at the end by dividing both terms by their greatest common factor.
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C. (190)
कुल मोती \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\) हैं। त्रिभुजाकार पंक्तियां अक्सर प्राकृतिक संख्याओं का योग देती हैं। / Total beads are \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\). Triangular rows often give the sum of natural numbers.
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What is the value of \(S_{41}-S_{40}\)?
C. (41)
दो लगातार योगों का अंतर नया पद होता है इसलिए \(S_{41}-S_{40}=41\)। पूरा योग निकाले बिना भी उत्तर मिल सकता है। / The difference of two consecutive sums is the new term, so \(S_{41}-S_{40}=41\). You can answer without finding the full sums.
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If the sum of the first (r) natural numbers is (153), what is the value of (r+2)?
C. 19
पहली r प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{r(r+1)}{2}\\) होता है। अतः \\(\frac{r(r+1)}{2}=153\\), इसलिए \\(r(r+1)=306=17\times18\\) और \\(r=17\\)। इसलिए \\(r+2=17+2=19\\)। विकल्प 18 केवल \\(r+1\\) का मान है, \\(r+2\\) का नहीं। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) सूत्र लगाकर n ज्ञात करें। / The sum of the first r natural numbers is \\(\frac{r(r+1)}{2}\\). Thus, \\(\frac{r(r+1)}{2}=153\\), so \\(r(r+1)=306=17\times18\\) and \\(r=17\\). Therefore, \\(r+2=17+2=19\\). Option 18 is only the value of \\(r+1\\), not \\(r+2\\). Exam tip: when a sum is given, first use \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) to find n.
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What will be the sum of the first (46) natural numbers?
A. 1081
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\)। इसलिए सही उत्तर 1081 है। 1071 जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=23\times47=1081\). Hence, 1081 is correct. An option such as 1071 can result from an arithmetic error in multiplication or addition. Exam tip: for the sum of consecutive natural numbers, directly use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
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What is the value of \(S_{12}+S_{13}+S_{14}\)?
B. (306)
\(S_{12}=78\), \(S_{13}=91\) और \(S_{14}=105\) इसलिए कुल (274) नहीं बल्कि (274) है। / \(S_{12}=78\), \(S_{13}=91\), and \(S_{14}=105\), so the total is (274). Add carefully to avoid option traps.
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If \(S_a=351\) and \(S_b=465\), what is (b-a)?
C. 4
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=351\) से \(a=26\), क्योंकि \(\frac{26\times27}{2}=351\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=465\) से \(b=30\), क्योंकि \(\frac{30\times31}{2}=465\)। अतः \(b-a=30-26=4\)। विकल्प 3 गलत है क्योंकि वह दोनों सूचकांकों के सही अंतर के बजाय एक कम मान देता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए योग को \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=351\), we get \(a=26\), since \(\frac{26\times27}{2}=351\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=465\) gives \(b=30\), since \(\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, \(b-a=30-26=4\). Option 3 is incorrect because it is one less than the actual difference between the two indices. Exam tip: equate each given sum to \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find its index.
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What sum is obtained by adding (29+30+31) to \(1+2+\cdots+28\)?
A. (496)
यह \(S_{31}\) बनेगा और \(S_{31}=496\) है। लगातार पद जुड़ने पर अंतिम पद नया (n) बन जाता है। / This becomes \(S_{31}\), and \(S_{31}=496\). When consecutive terms are added, the last term becomes the new (n).
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What is the sum of the first (70) natural numbers?
B. 2485
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=70\) रखने पर \(\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\)। इसलिए सही उत्तर 2485 है। 2475 जैसे विकल्प में गुणा या जोड़ की गणना में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: \(n(n+1)\) में किसी एक सम संख्या को पहले 2 से काटकर गणना करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=70\), we get \(\frac{70\times71}{2}=35\times71=2485\). Therefore, 2485 is correct. A value such as 2475 results from an arithmetic error in multiplication or addition. Exam tip: cancel 2 with an even factor in \(n(n+1)\) before multiplying.
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If \(S_n=300\), what will be the value of (n)?
B. (24)
\(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\) इसलिए (n=24)। उत्तर मिलते ही सूत्र में वापस जांच करें। / \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\), so (n=24). After finding the answer, verify it in the formula.
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Find the value of \(S_{37}+S_{38}\).
A. (1444)
\(S_{37}=703\) और \(S_{38}=741\) इसलिए योग (1444) है। पास-पास के योगों में एक पद का अंतर ध्यान रखें। / \(S_{37}=703\) and \(S_{38}=741\), so the sum is (1444). Notice the one-term difference in nearby sums.
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C. (250)
अंतर (61+62+63+64=250) है। पास के दो योगों का अंतर बीच के पदों का योग होता है। / The difference is (61+62+63+64=250). The difference of two nearby sums equals the sum of the terms in between.
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If \(S_{52}=1378\), what will be the value of \(S_{54}\)?
A. 1485
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(S_{52}\) से \(S_{54}\) तक पहुँचने के लिए अगली दो संख्याएँ 53 और 54 जोड़नी होंगी: \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1495 प्राप्त करने के लिए जोड़ा गया अंतर 117 होगा, जबकि सही अंतर \(53+54=107\) है। परीक्षा टिप: \(S_n\) के ऐसे प्रश्नों में सीधे नए पद जोड़ना अक्सर सूत्र लगाने से तेज होता है। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. To move from \(S_{52}\) to \(S_{54}\), add the next two numbers, 53 and 54: \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\). Therefore, 1485 is correct. Option 1495 would require an increase of 117, whereas the required increase is \(53+54=107\). Exam tip: In questions involving nearby values of \(S_n\), adding the new terms is often quicker than applying the full formula.
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