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पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=47\) रखने पर \(\frac{47\times48}{2}=47\times24=1128\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(1104\) जैसे विकल्प गलत गुणा या गलत पदों की संख्या लेने से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n\) और \(n+1\) दोनों अवश्य लिखें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=47\), we get \(\frac{47\times48}{2}=47\times24=1128\). Therefore, option B is correct. A value such as \(1104\) can result from using an incorrect number of terms or multiplication. Exam tip: always write both \(n\) and \(n+1\) in the formula.
\(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) इसलिए (n=33) है। विकल्पों को सूत्र में रखकर जांचना तेज होता है। / \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\), so (n=33). Checking options in the formula is fast.
योग \(S_{29}-S_{11}=435-66=369\) होगा। जब क्रम (1) से शुरू न हो तो पहले वाले पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{29}-S_{11}=435-66=369\). When the sequence does not start from (1), subtract the previous terms' sum.
कुल प्रश्न \(S_{38}=\frac{38\times39}{2}=741\) होंगे। रोज (1) की वृद्धि प्राकृतिक संख्याओं का योग बनाती है। / Total questions are \(S_{38}=\frac{38\times39}{2}=741\). A daily increase of (1) forms the sum of natural numbers.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\) और \(S_{17}=\frac{17\times18}{2}=153\)। इसलिए \(S_{22}+S_{17}=253+153=406\)। 396 एक निकट का विकल्प है, पर यह दोनों सही योगों को जोड़ने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: \(S_n\) दिखे तो तुरंत \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\) and \(S_{17}=\frac{17\times18}{2}=153\). Therefore, \(S_{22}+S_{17}=253+153=406\). Although 396 is close, it is not obtained by adding the two correct sums. Exam tip: whenever \(S_n\) appears, use \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) और \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\)। इसलिए \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\)। यह वास्तव में 24 से 41 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। 575 केवल निकट का मान है, सही अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों योग निकालने के बजाय 24 से 41 तक के पदों का योग भी सीधे लिया जा सकता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) and \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\). Therefore, \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\). This is also the sum of the natural numbers from 24 to 41. Option 575 is only a nearby value, not the correct difference. Exam tip: You may also directly find the sum from 24 to 41 in such questions.
\(S_{43}=\frac{43\times44}{2}=946\) इसलिए (n=43) है। \(2S_n\) को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{43}=\frac{43\times44}{2}=946\), so (n=43). Match \(2S_n\) with the product of two consecutive numbers.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\) तथा \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\)। इसलिए \(S_{35}-S_{19}=630-190=440\)। यह 20 से 35 तक की प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर भी है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) का अर्थ \(a+1\) से \(b\) तक का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\) and \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\). Therefore, \(S_{35}-S_{19}=630-190=440\). It is also the sum of the natural numbers from 20 to 35. Exam tip: \(S_b-S_a\) represents the sum from \(a+1\) to \(b\).
कुल सीटें \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\) हैं। पंक्ति संख्या के बराबर सीटें हों तो \(S_n\) लगाएं। / Total seats are \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). If seats equal the row number, use \(S_n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=1485\)। इसका दोगुना \(2\times1485=2970\) होगा। \(2916\), \(54^2\) है, इसलिए यह योग का दोगुना नहीं है। परीक्षा टिप: “दोगुना” होने पर \(\frac{n(n+1)}{2}\) में 2 कट जाता है, इसलिए उत्तर \(n(n+1)\) भी निकाल सकते हैं। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=1485\). Twice this sum is \(2\times1485=2970\). \(2916\) is \(54^2\), so it is not twice the required sum. Exam tip: when the question asks for twice the sum, the 2 cancels in \(\frac{n(n+1)}{2}\), giving \(n(n+1)\).
अंतिम (6) पदों का योग (35+36+37+38+39+40=225) है। अंतिम पदों के लिए पूरा \(S_{40}\) निकालना जरूरी नहीं है। / The sum of the last (6) terms is (35+36+37+38+39+40=225). For last terms, finding full \(S_{40}\) is not necessary.
पहली 34 प्राकृतिक संख्याओं के योग में, पहली 31 संख्याओं के योग के बाद वाली संख्याएँ 32, 33 और 34 जोड़नी होंगी। अतः \(S_{34}=496+32+33+34=595\)। इसलिए सही उत्तर 595 है। केवल 34 जोड़ना गलत होगा, क्योंकि 32 और 33 भी नए पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n+k}\) तक जाने पर बीच के सभी पद जोड़ें। / To obtain the sum of the first 34 natural numbers, add the numbers after 31, namely 32, 33, and 34, to the given sum. Thus, \(S_{34}=496+32+33+34=595\). Therefore, 595 is correct. Adding only 34 would be incorrect because 32 and 33 are also new terms. Exam tip: When moving from \(S_n\) to \(S_{n+k}\), add every intervening term.
पहली 58 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 55 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 56, 57 और 58 बचते हैं। अतः अंतर = 56 + 57 + 58 = 171। 174 विकल्प में 3 की अधिक गणना हो जाती है। परीक्षा टिप:
\(S_n-S_m\) निकालते समय \(m+1\) से \(n\) तक के पदों का योग लें। / When the sum of the first 55 natural numbers is subtracted from the sum of the first 58 natural numbers, only 56, 57, and 58 remain. Thus, the difference is 56 + 57 + 58 = 171. Option 174 is 3 too large. Exam tip: to find \(S_n-S_m\), add the terms from \(m+1\) to \(n\).
\(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=1081\) इसलिए (n=46) है। बड़े योग में विकल्पों से जांच करना उपयोगी है। / \(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=1081\), so (n=46). Checking with options is useful for larger sums.
कुल बिंदु \(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\) हैं। (r)वीं पंक्ति में (r) बिंदु होना प्राकृतिक संख्याओं का योग है। / Total dots are \(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\). Having (r) dots in the (r)th row is the sum of natural numbers.
पहले 28 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) होता है। अतः \(S_{28}+28=406+28=434\)। विकल्प 435, \(S_{29}\) का मान है, क्योंकि उसमें 406 में 29 जोड़ा जाता है, 28 नहीं। परीक्षा टिप: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाकर दिए गए पद को अलग से जोड़ें। / The sum of the first 28 natural numbers is \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\). Therefore, \(S_{28}+28=406+28=434\). Option 435 is \(S_{29}\), because 29—not 28—is added to 406. Exam tip: Use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), then add the separately given number carefully.
पहली 65 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(\frac{65\times66}{2}=2145\) होता है। अतः आवश्यक मान
\(2145-1500=645\) है, इसलिए विकल्प D सही है। 640 जैसे निकट विकल्प गलत हैं क्योंकि योग निकालने के बाद घटाव में कोई अतिरिक्त पूर्णांकन नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र प्रयोग करें। / The sum of the first 65 natural numbers is \(\frac{65\times66}{2}=2145\). Therefore, the required value is \(2145-1500=645\), so option D is correct. A nearby value such as 640 is incorrect because no extra rounding is done after finding the sum and subtracting. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{p(p+1)}{2}=378\) से \(p=27\) और \(\frac{q(q+1)}{2}=528\) से \(q=32\) मिलता है। अतः \(q-p=32-27=5\)। 4 निकट का विकल्प लग सकता है, लेकिन 378 और 528 के संगत सूचकांक क्रमशः 27 तथा 32 हैं। परीक्षा टिप: योग को पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) के रूप में लिखकर लगातार दो संख्याएँ पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{p(p+1)}{2}=378\), we get \(p=27\), and from \(\frac{q(q+1)}{2}=528\), we get \(q=32\). Therefore, \(q-p=32-27=5\). Option 4 may seem close, but the corresponding indices for 378 and 528 are 27 and 32 respectively. Exam tip: write the sum as \(\frac{n(n+1)}{2}\) and identify the consecutive factors.
18 से 36 तक कुल पदों की संख्या \(36-18+1=19\) है। अतः समान्तर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{19}{2}(18+36)=19\times27=513\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। 523 लेने पर पदों की सही संख्या या औसत का गलत उपयोग हो जाता है। परीक्षा टिप: क्रमागत पूर्णांकों में दोनों सिरों को गिनने के लिए हमेशा \(+1\) लगाएँ। / There are \(36-18+1=19\) terms from 18 to 36. Using the sum of an arithmetic progression, \(S=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{19}{2}(18+36)=19\times27=513\). Hence, option A is correct. A value such as 523 results from using an incorrect number of terms or average. Exam tip: Always add \(+1\) when counting terms from one endpoint to another, inclusive.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{57}=\frac{57\times58}{2}=57\times29=1653\)। इसलिए सही विकल्प 1653 है। 1623 जैसे विकल्प प्रायः गुणा या आधा करने में गलती से प्राप्त होते हैं। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n+1\) लेना न भूलें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{57}=\frac{57\times58}{2}=57\times29=1653\). Hence, 1653 is correct. A value such as 1623 can result from an error while multiplying or halving. Exam tip: remember to use \(n+1\) in the formula.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=666\) से \(n=36\) मिलता है। अतः \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\)। 740 केवल एक कम है और उसमें दोनों अगली प्राकृतिक संख्याओं का सही योग नहीं जुड़ता। परीक्षा टिप: \(S_{n+2}\) निकालते समय \(S_n\) में \(n+1\) और \(n+2\) जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=666\), we get \(n=36\). Therefore, \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\). Option 740 is one less and does not include the correct sum of the next two natural numbers. Exam tip: to find \(S_{n+2}\), add \(n+1\) and \(n+2\) to \(S_n\).
पहली 72 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 72 भी शामिल है। इसलिए पहली 71 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए 2628 में से 72 घटाएँ: \(2628-72=2556\)। विकल्प B में 71 घटाना एक सामान्य गलती है, जबकि हटाई जाने वाली संख्या 72 है। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n-1}\) पाने के लिए हमेशा \(n\) घटाते हैं। / The sum of the first 72 natural numbers includes the last number, 72. Therefore, subtract 72 from 2628 to get the sum of the first 71 natural numbers: \(2628-72=2556\). Option B results from the common mistake of subtracting 71; the number removed is 72. Exam tip: to obtain \(S_{n-1}\) from \(S_n\), subtract \(n\).
\(S_{24}=300\) और \(S_{26}=351\) इसलिए योग (651) है। समान दिखने वाले सूचकांकों को ध्यान से पढ़ें। / \(S_{24}=300\) and \(S_{26}=351\), so the sum is (651). Read similar-looking indices carefully.
\(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\) इसलिए (n=48) है। उत्तर को सूत्र में वापस रखकर सत्यापित करें। / \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\), so (n=48). Verify the answer by substituting it back in the formula.
पहले 20 चरणों के अंक 1 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग हैं: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अगले 5 चरणों में 0 अंक हैं, इसलिए वे कुल योग में कोई वृद्धि नहीं करते। अतः कुल अंक 210 हैं। 200 एक सामान्य गलती हो सकती है, यदि योग के सूत्र में \(n+1\) के स्थान पर 20 ले लिया जाए। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक का योग हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) से निकालें। / The marks in the first 20 stages are the sum of natural numbers from 1 to 20: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). The next 5 stages contribute 0 marks, so they do not change the total. Therefore, the total score is 210. A common error is getting 200 by forgetting the \(n+1\) factor in the sum formula. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum from 1 to \(n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=63\) रखने पर \(\frac{63\times64}{2}=63\times32=2016\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(1996\) जैसा उत्तर प्रायः गुणा या भाग में गलती से आता है। परीक्षा टिप: \(1+2+\cdots+n\) दिखे तो सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=63\), we get \(\frac{63\times64}{2}=63\times32=2016\). Hence, option B is correct. An answer such as \(1996\) usually results from an error in multiplication or division. Exam tip: for \(1+2+\cdots+n\), directly use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=990\) और \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\)। इसलिए \(S_{44}-S_{30}=990-465=525\)। यह वास्तव में 31 से 44 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। 535 जैसी निकटतम विकल्प-त्रुटि सामान्यतः जोड़ या घटाव में गलती से आती है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(S_{44}-S_{30}\) के रूप में सीधे 31 से 44 तक का योग भी समझ सकते हैं। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=990\) and \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, \(S_{44}-S_{30}=990-465=525\). This difference is the sum of the natural numbers from 31 to 44. A nearby option such as 535 can result from an arithmetic error in addition or subtraction. Exam tip: interpret \(S_{44}-S_{30}\) directly as the sum from 31 to 44.
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\) इसलिए \(n=55\) है। बड़े योग में \(2S_n\) देखकर पहचानें। / \(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\), so \(n=55\). For a large sum, identify using \(2S_n\).
\(1+2+\cdots+37+38+39=S_{39}\) होता है। लगातार नए पद जोड़ने पर अंतिम पद नया (n) बनता है। / \(1+2+\cdots+37+38+39=S_{39}\). When consecutive new terms are added, the last term becomes the new (n).
कुल बचत \(S_{49}=\frac{49\times50}{2}=1225\) रुपये है। नियमित (1) की वृद्धि \(S_n\) देती है। / Total saving is \(S_{49}=\frac{49\times50}{2}=1225\) rupees. A regular increase of (1) gives \(S_n\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{21}=\frac{21\times22}{2}=231\)। इसलिए आवश्यक मान \(4\times231=924\) है। \(904\) जैसा विकल्प गलत गुणा या योग में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: पहले \(n(n+1)/2\) से योग निकालें, फिर दिए गए गुणक से गुणा करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{21}=\frac{21\times22}{2}=231\). Therefore, the required value is \(4\times231=924\). A choice such as \(904\) may result from an error while finding the sum or multiplying it. Exam tip: calculate \(n(n+1)/2\) first, then multiply by the given factor.
A. क्योंकि दो क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में एक संख्या अवश्य सम होती है।/Because one of any two consecutive natural numbers is always even.
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत संख्याओं में एक सम और दूसरी विषम होती है। इसलिए \(n(n+1)\) में 2 का गुणनखंड अवश्य मिलता है और उसे 2 से भाग देने पर पूर्णांक योग प्राप्त होता है। परीक्षा में क्रमागत संख्याओं की सम-विषम प्रकृति याद रखें। / Among two consecutive numbers, one is even and the other is odd. Thus \(n(n+1)\) always has a factor of 2, so division by 2 gives an integer sum. Exam tip: use the even-odd pattern for consecutive integers.
पहली 39 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\) है। अतः आवश्यक अंतर \(780-39=741\) होगा। इसलिए सही विकल्प 741 है। ध्यान दें कि 39 घटाने पर अंतिम संख्या हट जाती है, इसलिए यह वास्तव में पहली 38 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{38}\) भी है। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) से योग निकालें, फिर प्रश्नानुसार घटाएँ। / The sum of the first 39 natural numbers is \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\). Therefore, the required difference is \(780-39=741\). Hence, 741 is the correct option. Subtracting 39 removes the last term, so the result is also the sum of the first 38 natural numbers, \(S_{38}\). Exam tip: First use \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the sum, then perform the required subtraction.
23 से 34 तक कुल पदों की संख्या \(34-23+1=12\) है। यह एक समान्तर श्रेणी है, इसलिए योग \(=\frac{12}{2}(23+34)=6\times57=342\) होगा। अतः सही उत्तर 342 है। 352 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत ज्ञात करने में हुई गणना-त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: क्रमागत संख्याओं के योग में दोनों सिरों को जोड़कर पदों की संख्या के आधे से गुणा करें। / There are \(34-23+1=12\) terms from 23 to 34. This is an arithmetic progression, so its sum is \(\frac{12}{2}(23+34)=6\times57=342\). Therefore, 342 is correct. A value such as 352 can result from an error while counting the terms or finding the average. Exam tip: for consecutive numbers, add the first and last terms and multiply by half the number of terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_n-S_{n-1}=n\), क्योंकि इस अंतर में केवल नया जोड़ा गया पद n बचता है। दिया है \(S_n-S_{n-1}=62\), इसलिए \(n=62\)। विकल्प 61 लेने पर अंतर 61 होता, 62 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर हमेशा उस क्रम का अगला पद होता है। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_n-S_{n-1}=n\), since the difference leaves only the newly added term n. Given \(S_n-S_{n-1}=62\), we get \(n=62\). If n were 61, the difference would be 61, not 62. Exam tip: The difference between two consecutive partial sums is always the newly added term of the sequence.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=75\) रखने पर \(\frac{75\times 76}{2}=75\times 38=2850\) प्राप्त होता है। \(2775\) वास्तव में पहली 74 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n\) तक के योग में हमेशा \(n+1\) का प्रयोग करना न भूलें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=75\), we get \(\frac{75\times 76}{2}=75\times 38=2850\). The value \(2775\) is the sum of the first 74 natural numbers, so it is a close but incorrect option. Exam tip: In the formula, remember to use \(n+1\) along with \(n\).
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{22}\) प्राप्त करने के लिए \(S_{18}\) में अगली चार संख्याएँ \(19,20,21\) और \(22\) जोड़ते हैं: \(S_{22}=171+19+20+21+22=253\)। अतः सही उत्तर 253 है। 243 केवल \(171+19+20+21+12\) जैसे गलत जोड़ से आ सकता है; 18 के बाद 19 से 22 तक सभी पद जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(S_m\) से \(S_n\) तक जाने पर \(m+1\) से \(n\) तक के पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. To obtain \(S_{22}\) from \(S_{18}\), add the next four natural numbers, \(19,20,21\), and \(22\): \(S_{22}=171+19+20+21+22=253\). Hence, the correct answer is 253. One must include every term from 19 through 22, not skip any term. Exam tip: When moving from \(S_m\) to \(S_n\), add all terms from \(m+1\) to \(n\).
यदि \(S_{45}=1+2+\cdots+45\) है, तो \(46\), \(47\) और \(48\) जोड़ने पर योग \(1+2+\cdots+45+46+47+48=S_{48}\) बनता है। \(S_{47}\) तक पहुँचने के लिए केवल 46 और 47 तक के पद जुड़ते हैं; 48 जोड़ने पर परिणाम \(S_{48}\) होगा। परीक्षा टिप: लगातार अगली प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ने पर योग का उपसूचक अंतिम जोड़ी गई संख्या के बराबर हो जाता है। / If \(S_{45}=1+2+\cdots+45\), then adding \(46\), \(47\), and \(48\) gives \(1+2+\cdots+45+46+47+48=S_{48}\). \(S_{47}\) would include terms only up to 47; adding 48 makes the result \(S_{48}\). Exam tip: when consecutive next natural numbers are added, the subscript of the sum becomes the last number added.
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) और \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\)। इसलिए \(S_{30}:S_{15}=465:120=31:8\)। \(31:9\) तब मिलता यदि हर का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: अनुपात को अंत में दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) and \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\). Therefore, \(S_{30}:S_{15}=465:120=31:8\). The ratio \(31:9\) would result from using an incorrect value for the second sum. Exam tip: simplify a ratio at the end by dividing both terms by their greatest common factor.
कुल फूल \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) हैं। त्रिभुजाकार पंक्तियां \(S_n\) का संकेत देती हैं। / Total flowers are \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\). Triangular rows indicate \(S_n\).
दो लगातार योगों का अंतर नया पद होता है इसलिए \(S_{64}-S_{63}=64\)। पूरा योग निकाले बिना उत्तर मिल सकता है। / The difference of two consecutive sums is the new term, so \(S_{64}-S_{63}=64\). You can answer without finding full sums.
पहली \(t\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{t(t+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{t(t+1)}{2}=231\), यानी \(t(t+1)=462\)। क्योंकि \(21\times22=462\), इसलिए \(t=21\)। अतः \(t+5=21+5=26\)। विकल्प 25 तब मिलता यदि \(t\) को 20 मान लिया जाए, लेकिन 1 से 20 तक का योग 210 है। परीक्षा टिप: योग दिए होने पर पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र से \(n\) ज्ञात करें, फिर पूछा गया व्यंजक निकालें। / The sum of the first \(t\) natural numbers is \(\frac{t(t+1)}{2}\). Thus, \(\frac{t(t+1)}{2}=231\), so \(t(t+1)=462\). Since \(21\times22=462\), \(t=21\). Therefore, \(t+5=21+5=26\). Option 25 would result from taking \(t=20\), but the sum from 1 to 20 is 210. Exam tip: When a sum is given, first find \(n\) using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then evaluate the expression asked.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{68}=\frac{68\times69}{2}=34\times69=2346\)। इसलिए सही उत्तर 2346 है। 2356 जैसी संख्या तब आ सकती है जब गुणा या जोड़ में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: \(n\) सम हो तो पहले \(n\) को 2 से काटकर गणना जल्दी करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{68}=\frac{68\times69}{2}=34\times69=2346\). Hence, 2346 is correct. A value such as 2356 can result from an error in multiplication or addition. Exam tip: when \(n\) is even, divide \(n\) by 2 first to calculate quickly.
\(S_{13}=91\), \(S_{16}=136\) और \(S_{20}=210\) इसलिए कुल (437) है। तीन योगों को अलग-अलग लिखकर जोड़ें। / \(S_{13}=91\), \(S_{16}=136\), and \(S_{20}=210\), so the total is (437). Write the three sums separately and add.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=820\) से \(a=40\), क्योंकि \(\frac{40\times41}{2}=820\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=1035\) से \(b=45\), क्योंकि \(\frac{45\times46}{2}=1035\)। अतः \(b-a=45-40=5\)। 4 निकट का विकल्प लग सकता है, पर वह सूचकांकों के वास्तविक अंतर से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: दिए गए योग को \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=820\), we get \(a=40\), since \(\frac{40\times41}{2}=820\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=1035\) gives \(b=45\), since \(\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, \(b-a=45-40=5\). Option 4 may seem close, but it does not equal the actual difference between the indices. Exam tip: equate the given sum to \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the index n.
यह \(S_{55}\) बनेगा और \(S_{55}=1540\) है। लगातार अगले पद जोड़ने पर नया अंतिम पद (n) होता है। / This becomes \(S_{55}\), and \(S_{55}=1540\). Adding consecutive next terms makes the new last term (n).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। इसलिए विकल्प B सही है। अन्य विकल्पों में \(80\) और \(81\) के गुणन अथवा 2 से भाग देने में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Hence, option B is correct. The other values result from an error in multiplying 80 and 81 or dividing by 2. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of consecutive natural numbers starting from 1.
प्रथम n संख्याओं के बाद अगली प्राकृतिक संख्या \(n+1\) होती है। अतः \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\), इसलिए अंतर \(n+1\) है, \(n\) नहीं। परीक्षा में क्रमिक योगों का अंतर देखकर जोड़ा गया पद पहचानें। / After the first n numbers, the next natural number is \(n+1\). Hence \(S_{n+1}=S_n+(n+1)\), so the difference is \(n+1\), not n. Exam tip: compare consecutive sums by identifying the newly added term.
\(S_{25}=325\) और \(S_{27}=378\) इसलिए योग (703) है। पास-पास के सूचकांक देखकर गलती न करें। / \(S_{25}=325\) and \(S_{27}=378\), so the sum is (703). Do not make a mistake with nearby indices.
पहली 67 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 62 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 63 से 67 तक के पद बचते हैं। अतः आवश्यक योग \(63+64+65+66+67=325\) है। इसलिए विकल्प B सही है। 315 लेने पर पदों का योग गलत होगा। परीक्षा टिप: ऐसे दो क्रमिक योगों का अंतर, उनके बीच आने वाले पदों का योग होता है। / When the sum of the first 62 natural numbers is subtracted from the sum of the first 67 natural numbers, only the terms from 63 to 67 remain. Thus, \(63+64+65+66+67=325\). Hence, option B is correct. A value of 315 would result from an incorrect addition of these terms. Exam tip: the difference of two consecutive partial sums equals the sum of the intervening terms.
