Level 63 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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If ( (x+y)2=81 ) and (xy=14), what is the value of \(x^2+y^2\)?
A. (53)
(x-2+y-2=(x+y)2-2xy=81-28=53) है। परीक्षा में वर्ग योग से (2xy) घटाएँ। / (x-2+y-2=(x+y)2-2xy=81-28=53). Exam tip: subtract (2xy) from the square of the sum.
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If (a-b=7) and (ab=18), what is \(a^2+b^2\)?
B. (85)
(a-2+b-2=(a-b)2+2ab=49+36=85) होता है। परीक्षा में अंतर के वर्ग में (2ab) जोड़ें। / (a-2+b-2=(a-b)2+2ab=49+36=85). Exam tip: add (2ab) to the square of the difference.
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Which of the following expressions can be classified as a difference of two squares?
A. \(a^2-25b^2\)
\(a^2-25b^2=a^2-(5b)^2\) दो वर्गों का अंतर है, इसलिए \((a-5b)(a+5b)\) होगा। विकल्प C पूर्ण वर्ग त्रिपद है। परीक्षा में दोनों पदों के वर्ग और बीच का ऋण चिह्न जाँचें। / \(a^2-25b^2=a^2-(5b)^2\), so it is a difference of squares and factors as \((a-5b)(a+5b)\). Option C is a perfect-square trinomial. In exams, check for two squares separated by a minus sign.
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Simplify ( (5a-2b)2-\(25a^2+4b^2\) ).
B. (-20ab)
विस्तार \(25a^2-20ab+4b^2\) है इसलिए समान पद घटकर (-20ab) बचता है। परीक्षा में ऋणात्मक मध्य पद पर ध्यान दें। / The expansion is \(25a^2-20ab+4b^2\), so like terms cancel and (-20ab) remains. Exam tip: watch the negative middle term.
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If ( (x+k)2=x-2+24x+144 ), what is the value of (k)?
C. (12)
\(144=12^2\) और (2k=24) इसलिए (k=12) है। परीक्षा में अंतिम पद और मध्य पद दोनों से जाँच करें। / \(144=12^2\) and (2k=24), so (k=12). Exam tip: verify using both the last term and the middle term.
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If ( (x-k)2=x-2-30x+225 ), what is (k)?
A. (15)
\(225=15^2\) और (-2kx=-30x) से (k=15) मिलता है। परीक्षा में ((x-k)2) का मध्य पद (-2kx) होता है। / \(225=15^2\) and (-2kx=-30x) gives (k=15). Exam tip: the middle term of ((x-k)2) is (-2kx).
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What is the value of ( (3x+4)(3x-4)-\(9x^2-20\) )?
A. (4)
पहला गुणनफल \(9x^2-16\) है और फिर \(9x^2-20\) घटता है। परीक्षा में पूरे कोष्ठक पर ऋण लगाएँ। / The first product is \(9x^2-16\), then \(9x^2-20\) is subtracted. Exam tip: apply the minus sign to the whole bracket.
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Which term containing (yz) appears in ( (x+2y+3z)2 )?
B. (12yz)
\(2\times2y\times3z=12yz\) होता है। परीक्षा में तीन पदों के वर्ग में हर जोड़े का दुगुना गुणन लें। / \(2\times2y\times3z=12yz\). Exam tip: in the square of three terms, take twice the product of every pair.
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Which of the following trinomials is a perfect square of a binomial?
A. \(9p^2-24pq+16q^2\)
\(9p^2=(3p)^2\) और \(16q^2=(4q)^2\) हैं। मध्य पद \(-2\times3p\times4q=-24pq\) है, इसलिए A, \((3p-4q)^2\) है। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(\pm2ab\) से मिलाएँ। / Here, \(9p^2=(3p)^2\) and \(16q^2=(4q)^2\). The middle term is \(-2\times3p\times4q=-24pq\), so A equals \((3p-4q)^2\). Exam tip: check whether the middle term is \(\pm2ab\).
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If ( (x+y)2-(x-y)2=72 ), what is the value of (xy)?
B. (18)
पहचान से अंतर (4xy) होता है इसलिए (4xy=72)। परीक्षा में पहले पहचान लगाकर समीकरण छोटा करें। / By identity, the difference is (4xy), so (4xy=72). Exam tip: use the identity first to shorten the equation.
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If ( (m+n)2+(m-n)2=100 ), what is \(m^2+n^2\)?
C. (50)
योग (2m-2+2n-2=2\(m^2+n^2\)) होता है। परीक्षा में दोनों वर्गों का योग आधा करें। / The sum is (2m-2+2n-2=2\(m^2+n^2\)). Exam tip: take half of the sum of the two squares.
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What is the value of \( 1005^2-995^2 \) using an identity?
B. (20000)
(a-2-b-2=(a+b)(a-b)=2000\times10=20000) है। परीक्षा में बड़ी संख्याओं में अंतर वर्ग उपयोगी है। / (a-2-b-2=(a+b)(a-b)=2000\times10=20000). Exam tip: difference of squares is useful for large numbers.
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What do we get for \( 123\times117 \) using an identity?
A. 14391
यहाँ \(123=120+3\) और \(117=120-3\) हैं। अतः पहचान \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) लगाने पर \((120+3)(120-3)=120^2-3^2=14400-9=14391\) मिलता है। \(14400\) केवल \(120^2\) है; उसमें \(3^2\) घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: जब दो संख्याएँ किसी एक संख्या से समान दूरी पर हों, तो अंतर के वर्ग वाली पहचान लगाएँ। / Here, \(123=120+3\) and \(117=120-3\). Using \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), we get \((120+3)(120-3)=120^2-3^2=14400-9=14391\). \(14400\) is only \(120^2\); subtracting \(3^2\) is essential. Exam tip: when two numbers are equally spaced from a common number, use the difference-of-squares identity.
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What is the value of \( 998^2 \) using ( (1000-2)2 )?
A. (996004)
( (1000-2)2=1000000-4000+4=996004 ) है। परीक्षा में घटने वाले मध्य पद को सही रखें। / ( (1000-2)2=1000000-4000+4=996004 ). Exam tip: keep the subtracted middle term correct.
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C. \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\)
दो वर्गों के अंतर की पहचान \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\) होती है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D में गुणनफल का चिन्ह गलत है; विस्तार करने पर मध्य पद कटते हैं और \(-q^2\) मिलता है। परीक्षा टिप: ‘वर्गों का अंतर’ दिखे तो योग और अंतर वाले गुणनखंड पहचानें। / The difference-of-squares identity is \(p^2-q^2=(p+q)(p-q)\), so option C is correct. In option D, the sign is wrong: expanding gives cancellation of middle terms and leaves \(-q^2\). Exam tip: when you see a difference of squares, look for factors formed by the sum and difference.
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What is the value of ( (x+3)(x+8)-(x+4)(x+7) )?
B. (-2)
पहला \(x^2+11x+24\) और दूसरा \(x^2+11x+28\) है। परीक्षा में समान पद घटाकर केवल स्थिर अंतर देखें। / The first is \(x^2+11x+24\) and the second is \(x^2+11x+28\). Exam tip: cancel like terms and check the constant difference.
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What is the coefficient of (x) in ( (2x+5)(2x-3) )?
A. (4)
मध्य पद (-6x+10x=4x) है इसलिए गुणांक (4) है। परीक्षा में दोनों मध्य गुणनों को जोड़ें। / The middle terms are (-6x+10x=4x), so the coefficient is (4). Exam tip: add both middle products.
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What is the constant term in ( (3x-2)(3x+6) )?
B. (-12)
स्थिर पद ((-2)\times6=-12) है। परीक्षा में स्थिर पद के लिए केवल स्थिर संख्याएँ गुणा करें। / The constant term is ((-2)\times6=-12). Exam tip: multiply only the constants for the constant term.
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What is the coefficient of \(x^2\) in ( (x-1)(x-2)(x-3) )?
B. (-6)
तीनों स्थिर पदों का योग (1+2+3=6) है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। परीक्षा में क्रमिक गुणन से भी यही मिलेगा। / The sum of constants is (1+2+3=6) and the sign is negative. Exam tip: stepwise multiplication also gives the same result.
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What is the simplified form of ( (a+b)3-(a-b)3 )?
A. (2b\(3a^2+b^2\))
विस्तार करने पर (6a-2b+2b-3=2b\(3a^2+b^2\)) मिलता है। परीक्षा में घन विस्तार में चिन्ह सावधानी से रखें। / On expansion, (6a-2b+2b-3=2b\(3a^2+b^2\)). Exam tip: handle signs carefully in cube expansions.
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What is ( (a+b)3+(a-b)3 ) equal to?
A. (2a\(a^2+3b^2\))
जोड़ने पर (b) की विषम शक्ति वाले पद कटते हैं और \(2a^3+6ab^2\) बचता है। परीक्षा में सममिति का लाभ लें। / On adding, terms with odd powers of (b) cancel and \(2a^3+6ab^2\) remains. Exam tip: use symmetry.
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What is the factor form of \( x^3+27 \)?
A. ( (x+3)\(x^2-3x+9\) )
यह (a-3+b-3=(a+b)\(a^2-ab+b^2\)) का रूप है। परीक्षा में \(27=3^3\) पहचानें। / This is the form (a-3+b-3=(a+b)\(a^2-ab+b^2\)). Exam tip: identify \(27=3^3\).
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Which is the factor form of \( 8x^3-125 \)?
A. ( (2x-5)\(4x^2+10x+25\) )
(8x-3=(2x)3) और \(125=5^3\) है। परीक्षा में \(a^3-b^3\) का सूत्र सही लगाएँ। / (8x-3=(2x)3) and \(125=5^3\). Exam tip: apply the \(a^3-b^3\) formula correctly.
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If (a+b+c=0), what is \(a^3+b^3+c^3\) equal to?
C. (3abc)
पहचान के अनुसार (a-3+b-3+c-3-3abc=(a+b+c)\(\cdots\)) है। परीक्षा में (a+b+c=0) होने पर \(a^3+b^3+c^3=3abc\) याद रखें। / By identity, (a-3+b-3+c-3-3abc=(a+b+c)\(\cdots\)). Exam tip: if (a+b+c=0), remember \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
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If (x+y+z=0), what is the value of \( x^3+y^3+z^3-3xyz \)?
D. (0)
पहचान में यह पद (x+y+z) से गुणा होता है इसलिए मान (0) होगा। परीक्षा में शर्त को पहले जाँचें। / In the identity, this expression is multiplied by (x+y+z), so the value is (0). Exam tip: check the condition first.
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If (x+y+z=6) and (xy+yz+zx=11), what is \(x^2+y^2+z^2\)?
A. (14)
(x-2+y-2+z-2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=36-22=14)। परीक्षा में तीन पदों की पहचान उपयोग करें। / (x-2+y-2+z-2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=36-22=14). Exam tip: use the three-term identity.
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What remains when \(x^2+y^2+z^2\) is removed from ( (x+y+z)2 )?
B. (2xy+2yz+2zx)
तीन पदों के वर्ग में अतिरिक्त मिश्र पद (2xy+2yz+2zx) होते हैं। परीक्षा में सभी तीन मिश्र पद लिखें। / The extra mixed terms in the square of three terms are (2xy+2yz+2zx). Exam tip: write all three mixed terms.
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What is the simplified form of ( (2x+3)2-(2x+3)(2x-3) )?
A. (12x+18)
((2x+3)) सामान्य लेकर ((2x+3)[(2x+3)-(2x-3)]) मिलता है। परीक्षा में common factor लेने से काम आसान होता है। / ((2x+3)) is common, giving ((2x+3)[(2x+3)-(2x-3)]). Exam tip: taking common factors makes work easier.
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What will be the term containing \(x^2\) in ( (x+4)3-(x-4)3 )?
B. \(24x^2\)
अंतर में \(6x^2\cdot4=24x^2\) मिलता है। परीक्षा में घन अंतर में \(x^2\) वाला पद जल्दी पहचानें। / The difference gives \(6x^2\cdot4=24x^2\). Exam tip: identify the \(x^2\) term quickly in cube differences.
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What is the simplified form of ( (x+2)3+(x-2)3 )?
A. \(2x^3+24x\)
योग में स्थिर घन कटते हैं और \(2x^3+6x\cdot4=2x^3+24x\) बचता है। परीक्षा में सममित घन विस्तार समझें। / In the sum, constant cube terms cancel and \(2x^3+6x\cdot4=2x^3+24x\) remains. Exam tip: understand symmetric cube expansion.
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What is the simplified form of ( (a+b)2-\(a^2-b^2\) )?
A. \(2ab+2b^2\)
\(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2=2ab+2b^2\)। परीक्षा में ऋण चिन्ह को पूरे दूसरे पद पर लगाएँ। / \(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2=2ab+2b^2\). Exam tip: apply the minus sign to the whole second expression.
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What is ( (a-b)2-\(a^2+b^2\) ) equal to?
B. (-2ab)
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) है इसलिए घटाने पर (-2ab) बचता है। परीक्षा में नकारात्मक मध्य पद याद रखें। / ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), so subtracting leaves (-2ab). Exam tip: remember the negative middle term.
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Which of the following expressions is always non-negative for all real values of \(x\) and \(y\)?
B. \(x^2+2xy+y^2\)
\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\) एक पूर्ण वर्ग है। किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह सदैव अऋणात्मक है। परीक्षा में द्विपद के वर्ग की पहचान देखें। / \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\), a perfect square. The square of every real number is never negative, so this expression is always non-negative. Exam tip: recognise the middle term \(2xy\).
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If \(t-\frac{1}{t}=6\), what is \(t^2+\frac{1}{t^2}\)?
C. (38)
वर्ग करने पर \(t^2-2+\frac{1}{t^2}=36\) इसलिए मान (38) है। परीक्षा में अंतर के वर्ग में (-2) आता है। / On squaring, \(t^2-2+\frac{1}{t^2}=36\), so the value is (38). Exam tip: the square of a difference gives (-2).
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What is the value of ( \(x+\frac{1}{x}\)2-\(x-\frac{1}{x}\)2 )?
B. (4)
यह (4AB) है जहाँ (A=x) और \(B=\frac{1}{x}\), इसलिए मान (4) है। परीक्षा में reciprocal terms का गुणन (1) होता है। / This is (4AB) where (A=x) and \(B=\frac{1}{x}\), so the value is (4). Exam tip: reciprocal terms multiply to (1).
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What is the simplified form of ( (x-2)(x+2)\(x^2+4\) )?
C. \(x^4-16\)
पहले ( (x-2)(x+2)=x-2-4 ) और फिर (\(x^2-4\)\(x^2+4\)=x-4-16)। परीक्षा में दो बार अंतर वर्ग लगाएँ। / First ( (x-2)(x+2)=x-2-4 ), then (\(x^2-4\)\(x^2+4\)=x-4-16). Exam tip: apply difference of squares twice.
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What is the correct first factorization step for \( 16x^4-81y^4 \)?
A. ( \(4x^2-9y^2\)\(4x^2+9y^2\) )
(16x-4=\(4x^2\)2) और (81y-4=\(9y^2\)2) है। परीक्षा में पहले बड़े वर्ग पहचानें। / (16x-4=\(4x^2\)2) and (81y-4=\(9y^2\)2). Exam tip: identify larger squares first.
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What is the simplified form of ( \(x^2+3\)2-\(x^2-3\)2 )?
C. \(12x^2\)
यह (4AB) है जहाँ \(A=x^2\) और (B=3)। परीक्षा में \(x^2\) को एक पूरा पद मानें। / This is (4AB) where \(A=x^2\) and (B=3). Exam tip: treat \(x^2\) as one whole term.
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If \(x^2+y^2=50\) and (xy=7), what is ( (x+y)2 )?
B. (64)
( (x+y)2=x-2+y-2+2xy=50+14=64)। परीक्षा में (2xy) जोड़ना याद रखें। / ( (x+y)2=x-2+y-2+2xy=50+14=64). Exam tip: remember to add (2xy).
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If \(u^2+v^2=29\) and (uv=10), what is the value of ( (u-v)2 )?
A. (9)
( (u-v)2=u-2+v-2-2uv=29-20=9)। परीक्षा में अंतर के वर्ग में (2uv) घटता है। / ( (u-v)2=u-2+v-2-2uv=29-20=9). Exam tip: subtract (2uv) in the square of difference.
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Which of the following polynomials is a perfect-square trinomial?
A. \(9x^2-12xy+4y^2\)
\(9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2\)। यहाँ मध्य पद \(-2(3x)(2y)=-12xy\) है। विकल्प B में अंतिम पद \(4y^2\) नहीं है। परीक्षा में पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / \(9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2\). Its middle term is \(-2(3x)(2y)=-12xy\). In option B, the last term is not \(4y^2\). Exam tip: check the middle term using twice the product of the square roots.
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What is the term containing (xz) in ( (2x-3y+z)2 )?
B. 4xz
a+b+c के वर्ग में x और z से बनने वाला मिश्र पद 2ab के रूप में लिया जाता है। यहाँ पद 2x और z हैं, इसलिए xz वाला पद 2(2x)(z)=4xz होगा। -6xz, -3y और z के मिश्र पद से बनता है, इसलिए वह xz वाला पद नहीं है। परीक्षा टिप: तीन पदों के वर्ग में मांगे गए दो पदों को पहचानकर उनका 2 गुना गुणनफल लें। / In the square of three terms, the mixed term formed by two selected terms is twice their product. Here the relevant terms are 2x and z, so the xz term is 2(2x)(z)=4xz. The term -6yz comes from the product of -3y and z, so it is not an xz term. Exam tip: identify the required pair of terms and take twice their product.
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If ( (x+2)(x+5)=x-2+kx+10 ), what is the value of (k)?
B. (7)
(x) का गुणांक (2+5=7) है। परीक्षा में ((x+a)(x+b)) में (x) का गुणांक (a+b) होता है। / The coefficient of (x) is (2+5=7). Exam tip: in ((x+a)(x+b)), the coefficient of (x) is (a+b).
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If ( (x-4)(x+k)=x-2+3x-28 ), what is the value of (k)?
C. (7)
स्थिर पद (-4k=-28) से (k=7) मिलता है और मध्य पद भी (3x) बनता है। परीक्षा में दोनों शर्तों से जाँच करें। / The constant term (-4k=-28) gives (k=7), and the middle term also becomes (3x). Exam tip: verify using both conditions.
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What is the simplified form of ( (x+3)2-(x-1)(x+7) )?
B. (4)
पहला \(x^2+6x+9\) और दूसरा \(x^2+6x-7\) है। घटाने पर (16) नहीं बल्कि (9-(-7)=16) होगा इसलिए सही विकल्प (16) होना चाहिए। / The first is \(x^2+6x+9\) and the second is \(x^2+6x-7\). Subtracting gives (9-(-7)=16), so the correct option should be (16).
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What is the value of ( (2x+1)(2x+9)-(2x+5)2 )?
D. (-16)
पहला गुणनफल \(4x^2+20x+9\) और दूसरा \(4x^2+20x+25\) है। परीक्षा में समान पद काटकर स्थिर पदों का अंतर लें। / The first product is \(4x^2+20x+9\) and the second is \(4x^2+20x+25\). Exam tip: cancel like terms and compare constants.
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What is the simplified value of ( (x+6)2-(x+2)(x+10) )?
C. (16)
पहला विस्तार \(x^2+12x+36\) और दूसरा \(x^2+12x+20\) है। परीक्षा में समान पद काटकर स्थिर पदों का अंतर लें। / The first expansion is \(x^2+12x+36\) and the second is \(x^2+12x+20\). Exam tip: cancel like terms and compare constants.
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If \(x+\frac{1}{x}=7\), what is the value of \(x^3+\frac{1}{x^3}\)?
B. (322)
पहचान \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) लगाएँ जहाँ \(ab=1\)। परीक्षा में \(7^3-3\times7=322\) याद रखें। / Use \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) where \(ab=1\). Exam tip: remember \(7^3-3\times7=322\).
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Which is the correct factor form of \(27a^3+8b^3\)?
D. ( (3a+2b)\(9a^2-6ab+4b^2\) )
यह ((3a)3+(2b)3) है इसलिए \(a^3+b^3\) की पहचान लगेगी। परीक्षा में योग घन में बीच वाला पद ऋणात्मक होता है। / This is ((3a)3+(2b)3), so the sum of cubes identity applies. Exam tip: the middle term inside the second factor is negative.
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If (a+b+c=9) and (ab+bc+ca=20), what is \(a^2+b^2+c^2\)?
A. (41)
(a-2+b-2+c-2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=81-40=41)। परीक्षा में तीन पदों की वर्ग पहचान सीधे लगाएँ। / (a-2+b-2+c-2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=81-40=41). Exam tip: directly use the square identity of three terms.
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