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On the diagonal, (a+b=2a), which is divisible by (6) only when (a) is divisible by (3). In (A), only (3) and (6) work.
Step 3
Exam Tip
(8) diagonal pairs are needed and (2) are present, so (6) must be added. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर ((a,a)) होना चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर (a+b=2a) होगा, जो (6) से तभी विभाज्य है जब (a) (3) से विभाज्य हो। (A) में (3,6) ही ऐसे हैं। चरण 3: कुल (8) विकर्ण युग्म चाहिए, (2) पहले से हैं, इसलिए (6) जोड़ने होंगे।
For divisibility by (10), \(2a^2\) must include a factor (5), so (a) must be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
In the given set, only (a=5) works, so there is one diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) बनेगा। चरण 2: (10) से विभाज्यता के लिए \(2a^2\) में (5) का गुणक होना जरूरी है, इसलिए (a) (5) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 3: दिए गए समुच्चय में केवल (a=5) काम करता है, अतः एक विकर्ण युग्म है।
On the diagonal, put (b=a), giving \(a^2\equiv a \pmod{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), so \(a\equiv 0\) or \(a\equiv 1 \pmod{5}\).
Step 3
Exam Tip
In the set, (0,1,5) work, so there are (3) diagonal pairs. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2\equiv a \pmod{5}\) मिलेगा। चरण 2: इससे (a(a-1)\(\equiv 0 \pmod{5}\)), इसलिए \(a\equiv 0\) या \(a\equiv 1 \pmod{5}\)। चरण 3: दिए गए समुच्चय में (0,1,5) काम करते हैं, इसलिए (3) विकर्ण युग्म हैं।
On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv 3a \pmod{4}\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), so (a) must be even. In (A), (2,4,6) work.
Step 3
Exam Tip
Since (7) diagonal pairs are needed and (3) are present, (4) must be added. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv 3a \pmod{4}\) मिलता है। चरण 2: इससे \(2a\equiv 0 \pmod{4}\), यानी (a) सम होना चाहिए। (A) में (2,4,6) काम करते हैं। चरण 3: कुल (7) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (4) जोड़ने होंगे।
A. क्योंकि \(a^3-a\) हमेशा सम है/Because \(a^3-a\) is always even
Step 1
Concept
On the diagonal, put (b=a), giving \(a^3-a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a-3-a=a(a-1)(a+1)), a product of three consecutive integers, so it is even.
Step 3
Exam Tip
Factoring the diagonal expression is a useful exam method. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^3-a\) मिलता है। चरण 2: (a-3-a=a(a-1)(a+1)) है, जिसमें लगातार तीन संख्याओं का गुणन है, इसलिए यह सम होगा। चरण 3: विकर्ण पर अभिव्यक्ति को गुणनखंडों में बदलना उपयोगी तरीका है।
(a=0) and (a=2) work, so there are (2) diagonal pairs. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a^2+a=3a\) मिलेगा। चरण 2: इसे \(a^2-2a=0\), यानी (a(a-2)=0) लिखते हैं। चरण 3: (a=0) और (a=2) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं।
A reflexive relation on this set needs (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=2).
Step 3
Exam Tip
Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए (5) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: शर्त में केवल (a=0) और (a=2) पर विकर्ण युग्म मिलते हैं। चरण 3: इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
This is even exactly when (a) is even. In (A), (2,4,6) are even.
Step 3
Exam Tip
Therefore (3) diagonal pairs belong to the relation. चरण 1: विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। चरण 2: (\gcd(a,a)) सम तभी है जब (a) सम हो। (A) में (2,4,6) सम हैं। चरण 3: इसलिए (3) विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
((2,2),(4,4),(6,6)) are already present because their greatest common divisor is even.
Step 3
Exam Tip
((1,1),(3,3),(5,5)) must be added, so the answer is (3). चरण 1: कुल (6) विकर्ण युग्म आवश्यक हैं। चरण 2: ((2,2),(4,4),(6,6)) पहले से हैं, क्योंकि उनका महत्तम समापवर्तक सम है। चरण 3: ((1,1),(3,3),(5,5)) जोड़ने होंगे, इसलिए उत्तर (3) है।
Every element of the given set is less than or equal to (8).
Step 3
Exam Tip
Hence all (6) diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होता है। चरण 2: दिए गए समुच्चय के सभी तत्व (8) से कम या बराबर हैं। चरण 3: इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
Since (6) diagonal pairs are needed and (3) are present, (3) must be added. चरण 1: विकर्ण पर (\operatorname{lcm}(a,a)=a) होगा। चरण 2: (a<5) होने पर (a=2,3,4) ही काम करते हैं। चरण 3: कुल (6) विकर्ण युग्म चाहिए, (3) पहले से हैं, इसलिए (3) जोड़ने होंगे।
A. क्योंकि \(a\mid a^2\) हर (a) पर सत्य है/Because \(a\mid a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
The condition becomes \(a\mid a^2\), which is true for every positive integer (a).
Step 3
Exam Tip
In divisibility relations, checking the square of the same number is a quick method. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। चरण 2: तब शर्त \(a\mid a^2\) बनेगी, जो हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए सत्य है। चरण 3: विभाज्यता में स्वयं के वर्ग को देखना तेज तरीका है।
On the diagonal, the condition becomes \(a+1\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a+1) is positive and greater than (a), it cannot divide (a).
Step 3
Exam Tip
No diagonal pair is present, so the count is (0). चरण 1: विकर्ण पर शर्त \(a+1\mid a\) बनेगी। चरण 2: (a+1) संख्या (a) से बड़ी है और धनात्मक है, इसलिए वह (a) को विभाजित नहीं कर सकती। चरण 3: कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए संख्या (0) है।
A. हर (a) पर \(a+1\mid a+1\)/For every (a), \(a+1\mid a+1\)
Step 1
Concept
Put (b=a) on the diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Then \(a+1\mid a+1\), and any non-zero number divides itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore every ((a,a)) belongs to the relation. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखें। चरण 2: तब \(a+1\mid a+1\) मिलता है, और कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है।
\(2a^2\leq9\) gives \(a^2\leq4.5\), so (a=-2,-1,0,1,2) work.
Step 3
Exam Tip
((-3,-3)) and ((3,3)) are missing, so (2) pairs must be added. चरण 1: विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। चरण 2: \(2a^2\leq9\) से \(a^2\leq4.5\), इसलिए (a=-2,-1,0,1,2) काम करते हैं। चरण 3: ((-3,-3)) और ((3,3)) गायब हैं, इसलिए (2) जोड़ने होंगे।
The condition is \(a^2\geq2a\), i.e. (a(a-2)\geq0).
Step 3
Exam Tip
In the set, (a=-2,-1,0,2) work, so there are (4) diagonal pairs. चरण 1: विकर्ण पर \(ab=a^2\) और (a+b=2a) होगा। चरण 2: शर्त \(a^2\geq2a\), यानी (a(a-2)\geq0) है। चरण 3: दिए गए समुच्चय में (a=-2,-1,0,2) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं।
The diagonal condition (a(a-2)\geq0) is true for (-2,-1,0,2) and false for (1).
Step 3
Exam Tip
Only ((1,1)) must be added. चरण 1: कुल (5) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण शर्त (a(a-2)\geq0) है, जो (-2,-1,0,2) पर सत्य और (1) पर असत्य है। चरण 3: केवल ((1,1)) जोड़ना होगा।
Every diagonal pair satisfies the condition, so the relation is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (a-b=0) होता है। चरण 2: इसलिए ((a-b)2=0), और (0<1) सत्य है। चरण 3: हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है, अतः संबंध प्रतिवर्ती है।
No diagonal pair is present, so all four diagonal pairs must be added. चरण 1: विकर्ण पर (a-b=0) है। चरण 2: तब ((a-b)2=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। चरण 3: कोई विकर्ण युग्म मौजूद नहीं है, इसलिए चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
The condition becomes \(0\leq a-1\), which is true for every \(a\geq1\) in (A).
Step 3
Exam Tip
Hence all (5) diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर (|a-a|=0) होता है। चरण 2: शर्त \(0\leq a-1\) बनेगी, जो (A) के हर \(a\geq1\) के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए सभी (5) विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
The condition is \(0\leq a-1\), which fails for (a=0) and holds for (a=1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
Only ((0,0)) must be added. चरण 1: विकर्ण पर (|a-a|=0) होगा। चरण 2: शर्त \(0\leq a-1\) है, जो (a=0) पर असत्य और (a=1,2,3,4) पर सत्य है। चरण 3: केवल ((0,0)) जोड़ना होगा।
In an or condition, the first part already includes every ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
So the second part does not need separate checking for reflexivity. चरण 1: विकर्ण पर (a=b) हमेशा सत्य होता है। चरण 2: या वाली शर्त में पहला भाग ही हर ((a,a)) को शामिल कर देता है। चरण 3: इसलिए दूसरे भाग को अलग से जांचने की आवश्यकता नहीं है।
The condition requires \(a\neq b\), so no diagonal pair can be present.
Step 3
Exam Tip
Since all diagonal pairs are absent, the relation is not reflexive. चरण 1: विकर्ण युग्मों में (a=b) होता है। चरण 2: दी गई शर्त में \(a\neq b\) चाहिए, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म संबंध में नहीं होगा। चरण 3: सभी विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति से संबंध प्रतिवर्ती नहीं है।
The relation contains only diagonal pairs for even elements.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2),(4,4),(6,6)) are present, but ((1,1),(3,3),(5,5)) are missing.
Step 3
Exam Tip
Therefore (3) diagonal pairs must be added. चरण 1: संबंध में केवल सम तत्वों के विकर्ण युग्म हैं। चरण 2: (A) में ((2,2),(4,4),(6,6)) मौजूद होंगे, पर ((1,1),(3,3),(5,5)) नहीं। चरण 3: इसलिए (3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
A reflexive relation needs all four diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Among the removed pairs, ((1,1)) and ((4,4)) are diagonal, while ((2,3)) is not.
Step 3
Exam Tip
Therefore only two diagonal pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए चारों विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: हटाए गए युग्मों में ((1,1)) और ((4,4)) विकर्ण हैं, पर ((2,3)) विकर्ण नहीं है। चरण 3: इसलिए केवल दो विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\). चरण 1: पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है।
The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\). चरण 1: (6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। चरण 2: (6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे।
A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.
Step 3
Exam Tip
The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। चरण 3: बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है।
On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.
Step 3
Exam Tip
The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\). चरण 1: चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। चरण 3: बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है।
Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.
Step 3
Exam Tip
The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations. चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। चरण 3: दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे।
On a five-element set, the number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 2
Why this answer is correct
This includes the identity relation and the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Removing both gives \(2^{20}-2\). चरण 1: पांच तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। चरण 2: इनमें पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों शामिल हैं। चरण 3: दोनों को हटाने पर \(2^{20}-2\) संबंध बचते हैं।
To have (11) total pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number of ways is \(\binom{12}{7}\). चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (11) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: (12) अविकर्ण युग्मों में से (7) चुनने के तरीके \(\binom{12}{7}\) हैं।
On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
The relation has (18) total pairs.
Step 3
Exam Tip
The additional non-diagonal pairs are (18-5=13). चरण 1: पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (18) युग्म दिए हैं। चरण 3: अविकर्ण या अतिरिक्त युग्म (18-5=13) होंगे।
The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\). चरण 1: (A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। चरण 2: (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। चरण 3: \(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है।
Therefore every ((X,X)) belongs to the relation, so (R) is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cap X=X\) मिलेगा, जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए सभी ((X,X)) संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है।
Hence every diagonal pair satisfies the condition. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (Y=X) रखें। चरण 2: तब \(X\cup X=X\) और यही (Y) है। चरण 3: इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है।
यदि \(S=\{1,2,3\}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। \(A\) पर संबंध
\[
R=\{(X,Y):X,Y\in A \text{ तथा } X\cup Y=S\}
\]
परिभाषित है। \(R\) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
(\mathcal{P}(S)) has (8) elements, so (8) diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
One diagonal pair is already present, so (7) must be added. चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में (8) तत्व हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (7) जोड़ने होंगे।
The condition \(X\setminus X=X\) holds only when \(X=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Hence only (\(\varnothing,\varnothing\)) is a diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर \(X\setminus X=\varnothing\) होता है। चरण 2: शर्त \(X\setminus X=X\) तभी सत्य होगी जब \(X=\varnothing\)। चरण 3: इसलिए केवल (\(\varnothing,\varnothing\)) विकर्ण युग्म है।
The empty set is a subset of every set, so \(\varnothing\subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
Therefore all diagonal pairs are in the relation. चरण 1: विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। चरण 2: रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(\varnothing\subseteq X\) सत्य है। चरण 3: अतः सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
In the or condition, the second part includes every ((X,X)), so the relation is reflexive. चरण 1: विकर्ण पर \(X\subset X\) असत्य है। चरण 2: लेकिन \(X\cap X=X\) सत्य है। चरण 3: या वाली शर्त में दूसरा भाग सत्य होने से हर ((X,X)) संबंध में आता है।
The number (1) has no prime factor, so ((1,1)) will not belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
Missing even one diagonal pair makes a relation non-reflexive. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। चरण 2: (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा। चरण 3: एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता।
Each such element has at least one prime factor, which it shares with itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore all (6) diagonal pairs are in the relation. चरण 1: (A) का हर तत्व (1) से बड़ा है। चरण 2: हर ऐसे तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है, जिसे वह स्वयं के साथ साझा करता है। चरण 3: इसलिए सभी (6) विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
A. क्योंकि \(\frac{a}{a}=1=2^0\)/Because \(\frac{a}{a}=1=2^0\)
Step 1
Concept
On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
Then \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), which is an integral power of (2).
Step 3
Exam Tip
Hence every ((a,a)) belongs to the relation. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखें। चरण 2: तब \(\frac{b}{a}=\frac{a}{a}=1=2^0\), जो (2) की पूर्णांक घात है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है।
A. हर (a) स्वयं को विभाजित करता है/Every (a) divides itself
Step 1
Concept
For reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
For every (a), \(a\mid a\) is true, so the or condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
Self-divisibility directly proves reflexivity. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) लें। चरण 2: हर (a) के लिए \(a\mid a\) सत्य है, इसलिए या वाली शर्त पूरी हो जाती है। चरण 3: स्वयं से विभाजन प्रतिवर्तिता का सीधा प्रमाण देता है।
The condition becomes \(2a=a^2\), i.e. (a(a-2)=0).
Step 3
Exam Tip
In the given set, only (a=2) works, so there is one diagonal pair. चरण 1: विकर्ण पर (a+b=2a) और \(ab=a^2\) होगा। चरण 2: शर्त \(2a=a^2\), यानी (a(a-2)=0) बनती है। चरण 3: दिए गए समुच्चय में (a=2) ही काम करता है, इसलिए एक विकर्ण युग्म है।
A reflexive relation on this set needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The diagonal condition holds only for (a=2).
Step 3
Exam Tip
Therefore the remaining four diagonal pairs must be added. चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण शर्त केवल (a=2) पर पूरी होती है। चरण 3: इसलिए बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
A. क्योंकि विकर्ण पर दोनों पक्ष समान हो जाते हैं/Because both sides become equal on the diagonal
Step 1
Concept
For ((a,a)), the left side is \(a^2-a\) and the right side is also \(a^2-a\).
Step 2
Why this answer is correct
A quantity is always equal to itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore all diagonal pairs belong to the relation. चरण 1: ((a,a)) रखने पर बायां पक्ष \(a^2-a\) और दायां पक्ष भी \(a^2-a\) है। चरण 2: समान मात्रा हमेशा अपने बराबर होती है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
Therefore every ((a,a)) belongs to the relation. चरण 1: दी गई शर्त \(a^2+b^2=2ab\) को \(a^2-2ab+b^2=0\) लिखा जा सकता है। चरण 2: यह ((a-b)2=0) है, जो (a=b) पर सत्य है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है।
On the diagonal, put (a=b), giving \(a^2+a^2<2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This becomes \(2a^2<2a^2\), which is false.
Step 3
Exam Tip
No diagonal pair satisfies the condition, so the relation is not reflexive. चरण 1: विकर्ण पर (a=b) रखने से \(a^2+a^2<2a^2\) मिलेगा। चरण 2: यह \(2a^2<2a^2\) है, जो असत्य है। चरण 3: कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है।
A. हर (a) के लिए (a-a=0) और (0) (7) से विभाज्य है/For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (7)
Step 1
Concept
To test reflexivity, take ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Then (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero number.
Step 3
Exam Tip
Therefore all diagonal pairs belong to the relation. चरण 1: प्रतिवर्ती जांच के लिए ((a,a)) लें। चरण 2: तब (a-a=0) होता है, और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
