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A. हाँ, क्योंकि हर तत्व अपने आप से जुड़ा है/Yes, because every element is related to itself
Step 1
Concept
In transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here only self-pairs are present, so the condition is never violated.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that the identity relation is transitive. चरण 1: संक्रमणीयता में देखें कि यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) हों तो \((a,c)\in R\) होना चाहिए। चरण 2: यहां केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) जैसे अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। चरण 3: परीक्षा में पहचान संबंध हमेशा संक्रमणीय होता है।
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is already in the relation, so the key transitivity condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
In such questions, match the middle element carefully. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) के कारण ((1,3)) होना जरूरी है। चरण 2: ((1,3)) संबंध में पहले से मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता की मुख्य शर्त पूरी है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बीच वाले तत्व को ध्यान से मिलाइए।
From ((1,2)) and ((2,3)), the pair ((1,3)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
The relation does not contain ((1,3)), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
For transitivity, check the first and third elements, not the reverse pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़कर ((1,3)) की जरूरत बनती है। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूट गई। चरण 3: संक्रमणीयता में उल्टे युग्म नहीं, बल्कि पहले और तीसरे तत्व का युग्म देखें।
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
Transitivity checks a chain of two related pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If one pair takes (a) to (b) and another takes (b) to (c), then (a) must relate to (c).
Step 3
Exam Tip
Keep this separate from symmetry and reflexivity. चरण 1: संक्रमणीयता में दो युग्मों की कड़ी देखी जाती है। चरण 2: यदि पहला युग्म (a) से (b) और दूसरा (b) से (c) ले जाता है, तो (a) से (c) भी होना चाहिए। चरण 3: सममित और स्वतुल्य की शर्तों से इसे अलग याद रखें।
A. हाँ, क्योंकि कोई विरोधी स्थिति नहीं बनती/Yes, because no violating case occurs
Step 1
Concept
Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
In an empty relation, no such pair chain exists, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is commonly considered transitive in exams. चरण 1: संक्रमणीयता तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। चरण 2: खाली संबंध में ऐसे कोई दो युग्म हैं ही नहीं, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। चरण 3: खाली संबंध को संक्रमणीय मानना एक सामान्य परीक्षा तथ्य है।
A universal relation contains every possible ordered pair from (A).
Step 2
Why this answer is correct
So whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also present.
Step 3
Exam Tip
Remember that a universal relation is transitive. चरण 1: सर्वत्र संबंध में (A) के हर संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) मिलने पर ((a,c)) भी जरूर मिलेगा। चरण 3: सर्वत्र संबंध को संक्रमणीय मानना तेज हल के लिए उपयोगी है।
In ((2,4)) and ((4,6)), the middle element (4) matches.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the pair from the first element (2) to the last element (6), namely ((2,6)), is required.
Step 3
Exam Tip
Remove the middle element and form the ordered pair of the outer elements. चरण 1: ((2,4)) और ((4,6)) में बीच का तत्व (4) समान है। चरण 2: इसलिए पहले तत्व (2) और अंतिम तत्व (6) का युग्म ((2,6)) चाहिए। चरण 3: बीच वाला तत्व हटाकर बाहरी तत्वों का क्रमित युग्म बनाइए।
From ((1,2)) and ((2,2)), ((1,2)) is required and it is present; self-pairs do not break the condition.
Step 3
Exam Tip
Check each possible chain carefully. चरण 1: उपलब्ध युग्मों की कड़ी देखें। चरण 2: ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है; अपने-आप वाले युग्म भी शर्त नहीं तोड़ते। चरण 3: हर संभावित कड़ी को शांत मन से जांचें।
From ((1,2)) and ((2,1)), the pair ((1,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,1)) and ((1,2)), the pair ((2,2)) is required.
Step 3
Exam Tip
When reverse pairs appear together, check the self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) की जरूरत बनती है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) की जरूरत बनती है। चरण 3: उल्टे युग्म साथ हों तो अपने-आप वाले युग्मों की जांच जरूर करें।
For transitivity, ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The first option contains all three required pairs.
Step 3
Exam Tip
Before choosing, identify the required pair in each option. चरण 1: संक्रमणीयता में ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में यह तीनों युग्म मौजूद हैं। चरण 3: विकल्पों में जल्दी निर्णय लेने से पहले जरूरी युग्म खोजें।
From ((3,3)) and ((3,4)), ((3,4)) is also required and present.
Step 3
Exam Tip
Include cases involving self-pairs while checking. चरण 1: ((3,4)) और ((4,4)) से ((3,4)) चाहिए। चरण 2: ((3,3)) और ((3,4)) से भी ((3,4)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: अपने-आप वाले युग्मों के साथ बने मामलों को भी गिनिए।
The second element of the first pair and the first element of the second pair are both (7).
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, ((5,9)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the order in an ordered pair. चरण 1: पहले युग्म का दूसरा तत्व और दूसरे युग्म का पहला तत्व (7) है। चरण 2: संक्रमणीयता के कारण ((5,9)) होना चाहिए। चरण 3: क्रमित युग्म में क्रम बदलना गलती हो सकती है।
The main condition of transitivity requires \((a,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
The question states that \((a,c)\notin R\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to show non-transitivity. चरण 1: संक्रमणीयता की मुख्य शर्त \((a,c)\in R\) है। चरण 2: प्रश्न में साफ दिया है कि ((a,c)) संबंध में नहीं है, इसलिए शर्त पूरी नहीं हुई। चरण 3: एक ही विरोधी उदाहरण काफी होता है।
The main chain is ((1,2)) and ((2,3)), which requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present, and ((3,3)) creates no missing required pair.
Step 3
Exam Tip
An extra self-pair does not make a relation non-transitive. चरण 1: मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है और ((3,3)) के साथ कोई नई कमी नहीं बनती। चरण 3: अतिरिक्त अपने-आप वाला युग्म संबंध को असंक्रमणीय नहीं बनाता।
In an identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Any chain formed in it keeps the needed self-pair inside the relation.
Step 3
Exam Tip
Remember the identity relation as a standard example of a transitive relation. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से जुड़ा होता है। चरण 2: ऐसे संबंध में ((a,b)) और ((b,c)) की कड़ी बनने पर (a=b=c) जैसा मामला बनता है, इसलिए शर्त पूरी रहती है। चरण 3: पहचान संबंध को संक्रमणीय के मानक उदाहरण की तरह याद रखें।
((1,3)) is present, and the requirements involving ((2,2)) are also satisfied.
Step 3
Exam Tip
Checking each possible chain is the safest method. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) मौजूद है; ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी मौजूद युग्मों से पूरी हैं। चरण 3: हर युग्म को दूसरे युग्म से जोड़कर जांचना सुरक्षित तरीका है।
In ((1,3)) and ((3,2)), the middle element is (3).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,2)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
As soon as a chain appears, write the required outer pair. चरण 1: ((1,3)) और ((3,2)) में बीच का तत्व (3) है। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए ((1,2)) चाहिए, लेकिन वह संबंध में नहीं है। चरण 3: कड़ी बनते ही जरूरी बाहरी युग्म लिख लें।
A. ऐसे युग्म ढूंढना जिनमें पहले का दूसरा तत्व और दूसरे का पहला तत्व समान हो/Finding pairs where the second element of the first pair equals the first element of the second pair
Step 1
Concept
Transitivity is based on a chain of two pairs.
Step 2
Why this answer is correct
A chain is formed when the second element of one pair equals the first element of another pair.
Step 3
Exam Tip
Identifying the correct chain matters more than counting pairs. चरण 1: संक्रमणीयता दो युग्मों की कड़ी पर आधारित है। चरण 2: कड़ी तभी बनती है जब एक युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म का पहला तत्व हो। चरण 3: संख्या नहीं, सही कड़ी पहचानना जरूरी है।
A single pair ((2,5)) does not form a pair chain of the required type.
Step 3
Exam Tip
If no violating chain exists, the relation can be considered transitive. चरण 1: संक्रमणीयता के लिए दो युग्मों की कड़ी चाहिए। चरण 2: केवल ((2,5)) से ((a,b)) और ((b,c)) जैसा जोड़ा नहीं बनता। चरण 3: जब कोई विरोधी कड़ी न बने, संबंध संक्रमणीय माना जा सकता है।
From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required; both are present.
Step 3
Exam Tip
With reverse pairs, always check the self-pairs. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए; दोनों मौजूद हैं। चरण 3: उल्टे युग्मों के साथ अपने-आप वाले युग्म जांचना न भूलें।
((2,2)) is not present in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
One self-pair may not be enough when reverse pairs exist. चरण 1: ((2,1)) और ((1,2)) को जोड़ने पर ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((2,2)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है। चरण 3: केवल एक अपने-आप वाला युग्म काफी नहीं होता।
A. ((1,2)) और ((2,4)) से जरूरी ((1,4)) मौजूद है/The required ((1,4)) from ((1,2)) and ((2,4)) is present
Step 1
Concept
The key chain is from ((1,2)) to ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
This requires ((1,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
Wrong options often show reverse pairs, so be careful. चरण 1: सबसे महत्वपूर्ण कड़ी ((1,2)) से ((2,4)) तक है। चरण 2: इसके लिए ((1,4)) चाहिए, जो दिया हुआ है। चरण 3: गलत विकल्पों में अक्सर उल्टे युग्म दिखाए जाते हैं, उनसे सावधान रहें।
By transitivity, the pair from (a) to (d) must be in (R).
Step 3
Exam Tip
Apply the same rule to letters as you do to numbers. चरण 1: यहां बीच का तत्व (b) दोनों युग्मों में जुड़ रहा है। चरण 2: संक्रमणीयता के कारण पहले तत्व (a) और अंतिम तत्व (d) का युग्म होगा। चरण 3: अक्षरों में भी वही नियम लगाइए जो संख्याओं में लगाते हैं।
From ((1,1)) and ((1,2)), ((1,2)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present.
Step 3
Exam Tip
List all possible chains and check them. चरण 1: ((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: सभी बनने वाली कड़ियों की सूची बनाकर जांचें।
((1,4)) is missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
In a longer list, also check chains formed by later pairs. चरण 1: ((1,3)) और ((3,4)) को जोड़ने पर ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,4)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है। चरण 3: लंबी सूची में बाद की कड़ियों को भी जांचना जरूरी है।
To show non-transitivity, find a chain where the required pair is missing.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, ((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is not.
Step 3
Exam Tip
Recognising a counterexample gives quick marks. चरण 1: असंक्रमणीय दिखाने के लिए ऐसी कड़ी चाहिए जिसमें जरूरी युग्म न हो। चरण 2: पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, लेकिन ((1,3)) नहीं है। चरण 3: विरोधी उदाहरण को पहचानना आसान अंक दिलाता है।
A. (R) संक्रमणीय माना जा सकता है/(R) can be considered transitive
Step 1
Concept
The transitivity condition becomes relevant only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
If no such chain exists, the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
Do not quickly call a relation non-transitive when no chain exists. चरण 1: संक्रमणीयता की शर्त तभी सक्रिय होती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों हों। चरण 2: यदि ऐसी कोई कड़ी नहीं है, तो शर्त का उल्लंघन नहीं होता। चरण 3: बिना कड़ी वाले संबंधों में जल्दी से गलत निष्कर्ष न निकालें।
((2,5)) is given, and ((5,5)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
Check the main chain first, then inspect the remaining pairs. चरण 1: ((2,3)) और ((3,5)) से ((2,5)) चाहिए। चरण 2: ((2,5)) दिया हुआ है, और ((5,5)) कोई कमी नहीं बनाता। चरण 3: पहले मुख्य कड़ी जांचें, फिर बाकी युग्म देखें।
This pair is not present in the given relation, so it must be added.
Step 3
Exam Tip
Also consider chains formed by already implied paths. चरण 1: ((2,5)) और ((5,6)) से ((2,6)) चाहिए। चरण 2: यह युग्म दिए गए संबंध में नहीं है, इसलिए उसे जोड़ना होगा। चरण 3: पहले से बने नए रास्तों को भी ध्यान में रखें।
((1,2)) is present in the relation, so the condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
A self-pair can require the same pair again. चरण 1: ((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) संबंध में मौजूद है, इसलिए शर्त पूरी है। चरण 3: अपने-आप वाले युग्म के साथ वही युग्म दोबारा जरूरी हो सकता है।
((2,1)) is already present, so transitivity is not broken.
Step 3
Exam Tip
Form the chain and match the outer pair in the original list. चरण 1: ((2,1)) और ((1,1)) से ((2,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) संबंध में पहले से है, इसलिए संक्रमणीयता नहीं टूटती। चरण 3: कड़ी बनाकर बाहरी युग्म को मूल सूची में मिलाएं।
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is immediately required.
Step 2
Why this answer is correct
Other chains may also require pairs, but among the given options ((1,3)) is the correct required pair.
Step 3
Exam Tip
Derive required pairs chain by chain. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से तुरंत ((1,3)) चाहिए। चरण 2: बाकी कड़ियां भी युग्म मांग सकती हैं, पर दिए विकल्पों में ((1,3)) सही जरूरी युग्म है। चरण 3: एक-एक कड़ी से जरूरी युग्म निकालें।
Here all possible ordered pairs of \(A=\{1,2,3\}\) are present.
Step 2
Why this answer is correct
Since every pair is present, every chain has its required pair.
Step 3
Exam Tip
A full Cartesian product relation is always transitive. चरण 1: यहां \(A=\{1,2,3\}\) के सभी संभव क्रमित युग्म मौजूद हैं। चरण 2: सभी युग्म होने से किसी भी कड़ी का जरूरी युग्म जरूर मिलता है। चरण 3: पूरा कार्तीय गुणनफल हमेशा संक्रमणीय होता है।
A. ((2,1)) जैसा जरूरी युग्म अनुपस्थित है/A required pair like ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
From ((2,4)) and ((4,1)), ((2,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) is not given, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
Check all chains, not just the first visible one. चरण 1: ((2,4)) और ((4,1)) से ((2,1)) चाहिए। चरण 2: ((2,1)) नहीं दिया है, इसलिए संबंध संक्रमणीय नहीं रहेगा। चरण 3: केवल पहली दिखने वाली कड़ी नहीं, सभी कड़ियां जांचें।
In ((x,y)) and ((y,z)), the middle element is (y).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the outer pair ((x,z)) is required.
Step 3
Exam Tip
Even in letter-based questions, pay attention to the order. चरण 1: ((x,y)) और ((y,z)) में बीच का तत्व (y) है। चरण 2: इसलिए बाहरी तत्व (x) और (z) का युग्म ((x,z)) चाहिए। चरण 3: अक्षरों वाले प्रश्न में भी क्रम पर ध्यान दें।
A. ((3,1)) जरूरी नहीं है, लेकिन ((3,*)) से कोई कड़ी नहीं बनती; वास्तव में यह संक्रमणीय है/((3,1)) is not required, and no chain starts from (3); actually it is transitive
Step 1
Concept
Check the chains formed in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)); these are present.
Step 3
Exam Tip
A missing pair matters only when it is actually required. चरण 1: दिए संबंध में बनने वाली कड़ियों को देखें। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है; ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) मिलता है; शर्तें पूरी हैं। चरण 3: अनुपस्थित युग्म तभी गलती है जब वह सच में जरूरी हो।
A. हर सममित संबंध जरूर संक्रमणीय होता है/Every symmetric relation is necessarily transitive
Step 1
Concept
Symmetric means the reverse pair is present, while transitive means the chain is completed.
Step 2
Why this answer is correct
A relation may be symmetric but not transitive if required self-pairs or chain pairs are missing.
Step 3
Exam Tip
Keep the definitions of different properties separate. चरण 1: सममित का अर्थ उल्टा युग्म होना है, जबकि संक्रमणीय का अर्थ कड़ी पूरी होना है। चरण 2: कोई संबंध सममित हो सकता है, फिर भी ((a,a)) या जरूरी युग्म न होने से संक्रमणीय न हो। चरण 3: अलग-अलग गुणों की परिभाषा अलग याद रखें।
A. ((1,1)) और ((2,2)) अनुपस्थित हैं/((1,1)) and ((2,2)) are missing
Step 1
Concept
Since ((1,2)) and ((2,1)) are both present, reverse pairs exist.
Step 2
Why this answer is correct
But they require ((1,1)) and ((2,2)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not guarantee transitivity. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों होने से उल्टा युग्म मिल जाता है। चरण 2: लेकिन इन्हीं से ((1,1)) और ((2,2)) की जरूरत बनती है, जो अनुपस्थित हैं। चरण 3: सममित होने से संक्रमणीय होना जरूरी नहीं।
Requirements involving ((3,3)) are also satisfied by existing pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not ignore chains involving self-pairs. चरण 1: ((1,3)) और ((3,5)) से ((1,5)) चाहिए। चरण 2: ((3,3)) के साथ ((1,3)) और ((3,5)) जैसी जरूरतें भी पूरी हैं। चरण 3: अपने-आप वाले युग्म से बनने वाली कड़ियों को हल्के में न छोड़ें।
((1,5)) is not in the relation, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
The first job is to identify the common middle element. चरण 1: ((1,3)) और ((3,5)) को जोड़ने पर ((1,5)) चाहिए। चरण 2: ((1,5)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता नहीं है। चरण 3: बीच के समान तत्व को पहचानना सबसे पहला काम है।
A. ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मौजूद है/((a,b)) and ((b,c)) give ((a,c)), which is present
Step 1
Concept
The main chain is from (a) to (b) and from (b) to (c).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires the pair from (a) to (c), and it is present.
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the order of the outer elements, even with letters. चरण 1: यहां मुख्य कड़ी (a) से (b) और (b) से (c) है। चरण 2: संक्रमणीयता के लिए (a) से (c) का युग्म चाहिए, जो मौजूद है। चरण 3: अक्षरों के साथ भी बाहरी तत्वों का क्रम न बदलें।
In ((4,4)) and ((4,7)), the middle element is (4).
Step 2
Why this answer is correct
The required outer pair is ((4,7)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
Sometimes the required pair is the same pair already given. चरण 1: ((4,4)) और ((4,7)) में बीच का तत्व (4) बनता है। चरण 2: बाहरी तत्वों से ((4,7)) ही चाहिए, जो पहले से मौजूद है। चरण 3: कभी-कभी जरूरी युग्म वही होता है जो पहले से दिया हो।
When reverse pairs exist, check both self-pairs. चरण 1: ((7,4)) और ((4,7)) से ((7,7)) चाहिए। चरण 2: ((7,7)) संबंध में नहीं है, इसलिए शर्त पूरी नहीं होती। चरण 3: उल्टे युग्म होने पर दोनों अपने-आप वाले युग्म जांचें।
A. ((2,3)) और ((3,8)) से ((2,8)) चाहिए/From ((2,3)) and ((3,8)), ((2,8)) is required
Step 1
Concept
The common middle element in the two pairs is (3).
Step 2
Why this answer is correct
The outer elements are (2) and (8), so ((2,8)) is required.
Step 3
Exam Tip
The first and second positions in an ordered pair are very important. चरण 1: दोनों युग्मों में (3) बीच का तत्व है। चरण 2: पहला बाहरी तत्व (2) और अंतिम बाहरी तत्व (8) हैं, इसलिए ((2,8)) चाहिए। चरण 3: क्रमित युग्म में पहला और दूसरा स्थान बहुत महत्वपूर्ण है।
Requirements involving ((2,2)) and ((3,3)) are also satisfied by existing pairs.
Step 3
Exam Tip
Self-pairs can support the relation, but still check the chains. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,2)) और ((3,3)) से बनने वाली जरूरतें भी मौजूद युग्मों में पूरी हैं। चरण 3: अपने-आप वाले युग्म संबंध को मजबूत कर सकते हैं, पर जांच फिर भी करें।
An extra reverse pair can create new requirements. चरण 1: ((2,3)) और ((3,2)) से ((2,2)) चाहिए। चरण 2: ((2,2)) संबंध में नहीं है, इसलिए संक्रमणीयता टूटती है। चरण 3: अतिरिक्त उल्टा युग्म नई जरूरतें बना सकता है।
In a longer chain, start with two pairs at a time. चरण 1: पहले ((p,q)) और ((q,r)) को जोड़ें। चरण 2: इनसे ((p,r)) मिलता है। चरण 3: लंबी कड़ी में भी छोटे-छोटे दो युग्मों से शुरुआत करें।
In ((p,r)) and ((r,s)), the middle element is (r).
Step 2
Why this answer is correct
By transitivity, the outer pair ((p,s)) must be present.
Step 3
Exam Tip
In a long chain, a newly obtained pair can be used further. चरण 1: ((p,r)) और ((r,s)) में बीच का तत्व (r) है। चरण 2: संक्रमणीयता से बाहरी युग्म ((p,s)) होगा। चरण 3: लंबी कड़ी में मिले नए युग्म को आगे भी इस्तेमाल किया जा सकता है।
((1,2)) with ((2,3)) requires ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) with ((3,4)) also requires ((1,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
In step-like relations, check both short and long jumps. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। चरण 3: सीढ़ी जैसे संबंधों में सभी छोटे और लंबे कदम जांचें।
A. हर ((a,b)) और ((b,c)) की कड़ी बनाकर ((a,c)) जांचना/Make every ((a,b)) and ((b,c)) chain and check ((a,c))
Step 1
Concept
Transitivity depends on chains of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
So for every possible ((a,b)), ((b,c)), check whether ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
In exams, making a small list is the safest method. चरण 1: संक्रमणीयता युग्मों की कड़ी पर निर्भर करती है। चरण 2: इसलिए हर संभव ((a,b)), ((b,c)) से बनने वाले ((a,c)) को मूल संबंध में देखना चाहिए। चरण 3: परीक्षा में सूची बनाकर जांचना सबसे कम गलती वाला तरीका है।
