यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-7) हो तो (f) के एकैकी होने का सही कारण क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-7), what is the correct reason that (f) is one-one?
#one-one-function
#linear-function
#proof
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? Hint Small clue
A (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / (f(a)=f(b)) gives (a=b)
B (f(a)=f(b)) से (a=-b) मिलता है / (f(a)=f(b)) gives (a=-b)
C फलन हर जगह समान मान देता है / The function gives the same value everywhere
D फलन का प्रांत खाली है / The domain of the function is empty
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Correct Answer
A. (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है / (f(a)=f(b)) gives (a=b)
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर (3a-7=3b-7) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (3a-7=3b-7).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (3a=3b) इसलिए (a=b) है। / Simplifying gives (3a=3b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function with a non-zero coefficient of (x) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 -4x+6) हो तो कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -4x+6), which statement is correct?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
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? Hint Small clue
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+6=(x-2)2 +2) है। / (x-2 -4x+6=(x-2)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) और (f(3)=3) जबकि \(1\neq3\)। / (f(1)=3) and (f(3)=3), while \(1\neq3\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक प्रांत पर द्विघात फलन सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function on the whole real domain is generally not one-one.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=x-2 -4x+5) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[2,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=x-2 -4x+5), what type of function is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic-function
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 -4x+5=(x-2)2 +1) है। / (x-2 -4x+5=(x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत में \(x-2\geq0\) है इसलिए ((x-2)2 ) बढ़ता है। / In the given domain, \(x-2\geq0\), so ((x-2)2 ) increases.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-5|) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-5|), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#modulus-function
#counterexample
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? Hint Small clue
A (4) और (6) / (4) and (6)
B (5) और (6) / (5) and (6)
C (6) और (7) / (6) and (7)
D (3) और (5) / (3) and (5)
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Correct Answer
A. (4) और (6) / (4) and (6)
Step 1
Concept
(f(4)=|4-5|=1) है। / (f(4)=|4-5|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(6)=|6-5|=1) है जबकि \(4\neq6\)। / (f(6)=|6-5|=1), while \(4\neq6\).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में केंद्र से समान दूरी वाले दो आगत समान मान दे सकते हैं। / In a modulus function, inputs at equal distance from the center may give the same output.
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यदि \(f:[5,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-5|) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[5,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-5|), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#modulus-function
#restricted-domain
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq5\) होने पर \(x-5\geq0\) है। / For \(x\geq5\), we have \(x-5\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|x-5|=x-5), जो बढ़ता हुआ रैखिक फलन है। / Hence (|x-5|=x-5), which is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन उचित प्रांत पर एकैकी बन सकता है। / A modulus function can become one-one on a suitable domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x+1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-function
#domain
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणा करने पर ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)) और सरल करने पर (a=b) मिलता है। / Cross-multiplication gives ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)), and simplification gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को हटाकर एकैकीपन जाँचें। / For rational functions, remove denominator-zero values before testing one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) हो तो (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?
#one-one-function
#rational-function
#proof
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A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=3)
D (ab=1)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2b-1}{b+3}\) मिलेगा। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2b-1}{b+3}\).
Step 2
Why this answer is correct
क्रॉस गुणा करने पर (2ab+6a-b-3=2ab+6b-a-3), इसलिए (7a=7b)। / Cross-multiplication gives (2ab+6a-b-3=2ab+6b-a-3), so (7a=7b).
Step 3
Exam Tip
अतः (a=b) और फलन एकैकी है। / Hence (a=b), so the function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cubic-function
#increasing-function
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A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक प्रांत पर परिभाषित है / It is defined only on positive domain
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3+2x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3+2x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो (a-3 -b-3 +2(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a-3 -b-3 +2(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 -3x) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -3x), which pair breaks one-one property?
#one-one-function
#cubic-expression
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0) और \(\sqrt{3}\) / (0) and \(\sqrt{3}\)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और \(\sqrt{3}\) / (0) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
घन रूप दिखने मात्र से फलन एकैकी मान लेना ठीक नहीं है। / Do not assume every cubic-looking expression is one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), is (f) one-one?
#one-one-function
#reciprocal-expression
#not-one-one
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A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (x=1) पर / Only at (x=1)
D फलन परिभाषित नहीं है / The function is not defined
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) है। / (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}).
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}) है जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
(x) और \(\frac{1}{x}\) वाले फलनों में ऐसे युग्म ध्यान से देखें। / In functions involving (x) and \(\frac{1}{x}\), check reciprocal pairs carefully.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#restricted-domain
#reciprocal-expression
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq1\) पर (x) बढ़ने से \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq1\), \(x+\frac{1}{x}\) increases as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत में \(\frac{1}{x}\) घटता है लेकिन कुल मान क्रम से बढ़ता रहता है। / Although \(\frac{1}{x}\) decreases, the total value increases on this domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित करने से पहले वाला गैर एकैकी फलन एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can turn a non-one-one function into a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-2 +3) हो तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-2 +3), which statement is correct for (f)?
#one-one-function
#square-function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / It is not one-one because (f(1)=f(-1))
B यह एकैकी है क्योंकि (2) धनात्मक है / It is one-one because (2) is positive
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (x=0) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1)) / It is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
(f(1)=2+3=5) है। / (f(1)=2+3=5).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=2+3=5) है जबकि \(1\neq-1\)। / (f(-1)=2+3=5), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग के साथ धनात्मक गुणांक होने पर भी पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकीपन नहीं आता। / A positive coefficient with a square does not make it one-one on all real numbers.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[3,\infty)) तथा (f(x)=2x-2 +3) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[3,\infty)) and (f(x)=2x-2 +3), what type of function is (f)?
#one-one-function
#square-function
#restricted-domain
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \(x\geq0\), \(x^2\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(2x^2+3\) भी उसी प्रांत पर बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देंगे। / \(2x^2+3\) also increases on that domain, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को धनात्मक आधे प्रांत पर रखने से एकैकीपन मिलता है। / A square function becomes one-one when restricted to the non-negative half-domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?
#one-one-function
#trigonometric-function
#not-one-one
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? Hint Small clue
A क्योंकि \(\sin 0=\sin \pi\) / Because \(\sin 0=\sin \pi\)
B क्योंकि \(\sin 0=1\) / Because \(\sin 0=1\)
C क्योंकि \(\sin x\) हमेशा बढ़ता है / Because \(\sin x\) is always increasing
D क्योंकि \(\sin x\) परिभाषित नहीं है / Because \(\sin x\) is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\sin 0=\sin \pi\) / Because \(\sin 0=\sin \pi\)
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\) है। / \(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलनों में दो अलग आगतों पर समान मान मिल सकता है। / Periodic functions can give the same value for different inputs.
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यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cosine-function
#decreasing-function
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल (0) पर परिभाषित है / It is defined only at (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटता हुआ फलन अलग आगतों को अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
एकैकीपन के लिए फलन का बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है। / A function need not increase to be one-one; strictly decreasing also works.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#cosine-function
#counterexample
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A (0) और \(2\pi\) / (0) and \(2\pi\)
B (0) और \(\frac{\pi}{2}\) / (0) and \(\frac{\pi}{2}\)
C \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) / \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\)
D \(\pi\) और \(\frac{3\pi}{2}\) / \(\pi\) and \(\frac{3\pi}{2}\)
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Correct Answer
A. (0) और \(2\pi\) / (0) and \(2\pi\)
Step 1
Concept
\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 2\pi=1\) है जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).
Step 3
Exam Tip
समान मान देने वाले अलग आगत मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं है। / If different inputs give the same value, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), what type of function is (f)?
#one-one-function
#greatest-integer-function
#not-one-one
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A एकैकी नहीं / Not one-one
B एकैकी / One-one
C सर्वसमिका / Identity
D रैखिक / Linear
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2.1)=2) और (f(2.8)=2) जबकि \(2.1\neq2.8\)। / (f(2.1)=2) and (f(2.8)=2), while \(2.1\neq2.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलन में एक ही मान कई आगतों पर आ सकता है। / A step-like function may give the same value for many inputs.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-3 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#integer-function
#cubic-function
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A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है। / The basic odd-power cubic function is one-one on integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-2 -1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n-2 -1), is (f) one-one?
#one-one-function
#integer-function
#square-function
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? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (n=0) पर / Only at (n=0)
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। / (1) and (-1) are different integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=0) और (f(-1)=0) मिलता है। / (f(1)=0) and (f(-1)=0).
Step 3
Exam Tip
वर्ग आधारित फलन पूर्ण पूर्णांक प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / A square-based function is not one-one on the full integer domain.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=2n+5) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=2n+5), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#natural-numbers
#linear-function
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f\(n_1\)=f\(n_2\)) से \(2n_1+5=2n_2+5\) मिलता है। / From (f\(n_1\)=f\(n_2\)), we get \(2n_1+5=2n_2+5\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(n_1=n_2\) है। / Simplifying gives \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है। / A linear rule with non-zero coefficient is one-one on natural numbers.
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यदि (|A|=3) और (|B|=6) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?
If (|A|=3) and (|B|=6), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#finite-sets
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (120)
B (18)
C (216)
D (720)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / In a one-one function, images are not repeated.
Step 2
Why this answer is correct
पहले, दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (6,5,4) चुनाव हैं। / The first, second, and third elements have (6,5,4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(6\cdot5\cdot4=120\) होगी। / The total number is \(6\cdot5\cdot4=120\).
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यदि (|A|=4) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?
If (|A|=4) and (|B|=3), how many one-one functions are there from (A) to (B)?
#one-one-function
#counting
#impossible-case
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (12)
C (81)
D (24)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन के लिए (A) के चार तत्वों को चार अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs four distinct images for the four elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(B) में केवल तीन तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / (B) has only three elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलन नहीं बन सकता। / If the domain is larger than the codomain, no one-one function can exist.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c,d,e\}\) और \(f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,b)\}\) हो तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c,d,e\}\), and \(f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,b)\}\), what type of function is (f)?
#one-one-function
#finite-set
#ordered-pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Every element of (A) has exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (a,c,e,b) सभी अलग हैं। / The images (a,c,e,b) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एकैकी होता है। / For finite sets, no repetition of images means the function is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#finite-set
#not-one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
B यह एकैकी है / It is one-one
C यह सर्वसमिका है / It is identity
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(2) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। / (2) and (4) are different domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का प्रतिबिंब (q) है इसलिए प्रतिबिंब दोहराया गया। / Both have image (q), so an image is repeated.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन में दो अलग प्रांत तत्वों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता। / In a one-one function, two different domain elements cannot have the same image.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (8) तत्व हैं तो (f(A)) में कितने तत्व होंगे?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (8) elements, how many elements are in (f(A))?
#one-one-function
#range
#finite-set
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (1)
C (0)
D (16)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग प्रांत तत्वों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। / In a one-one function, distinct domain elements have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के (8) तत्वों से (8) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। / The (8) elements of (A) give (8) distinct images.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परास में प्रांत जितने तत्व होंगे। / Therefore the range has as many elements as the domain.
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यदि किसी फलन का आलेख (y=4) रेखा को दो अलग बिंदुओं पर काटता है तो फलन कैसा होगा?
If the graph of a function intersects the line (y=4) at two distinct points, what type of function is it?
#one-one-function
#graph
#horizontal-line-test
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी नहीं / Not one-one
B हमेशा एकैकी / Always one-one
C हमेशा स्थिर / Always constant
D परिभाषित नहीं / Undefined
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Correct Answer
A. एकैकी नहीं / Not one-one
Step 1
Concept
रेखा (y=4) एक ही निर्गत मान को दर्शाती है। / The line (y=4) represents one output value.
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग बिंदुओं पर कटना मतलब दो अलग (x) के लिए समान (y) मान मिलना। / Two intersections mean two different (x)-values give the same (y)-value.
Step 3
Exam Tip
क्षैतिज रेखा परीक्षण से ऐसा फलन एकैकी नहीं होता। / By the horizontal line test, such a function is not one-one.
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यदि किसी फलन का आलेख हर क्षैतिज रेखा को अधिकतम एक बार काटता है तो कौन सा निष्कर्ष सही है?
If the graph of a function intersects every horizontal line at most once, which conclusion is correct?
#one-one-function
#graphical-test
#horizontal-line-test
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A फलन एकैकी है / The function is one-one
B फलन स्थिर है / The function is constant
C फलन एकैकी नहीं है / The function is not one-one
D फलन का प्रांत खाली है / The domain is empty
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Correct Answer
A. फलन एकैकी है / The function is one-one
Step 1
Concept
हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत मान बताती है। / Each horizontal line represents a fixed output value.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आया है। / At most one intersection means that output comes from only one input.
Step 3
Exam Tip
यह एकैकीपन का आलेखीय परीक्षण है। / This is the graphical test for one-one property.
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यदि (f) और (g) दोनों एकैकी फलन हैं तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If both (f) and (g) are one-one functions, what type of function is \(g\circ f\)?
#one-one-function
#composition
#proof
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)) मानें। / Assume (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(a))=g(f(b))) से पहले (f(a)=f(b)), फिर (a=b) मिलेगा। / From (g(f(a))=g(f(b))), first get (f(a)=f(b)), and then (a=b).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2^x+1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x+1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#exponential-function
#increasing-function
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+10 Time+ 10 sec extra
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A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D सम फलन / Even function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(2^x\) is an increasing function.
Step 2
Why this answer is correct
उसमें (1) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (1) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते घातीय फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to an increasing exponential function does not change one-one property.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\left\(\frac{1}{2}\right\)^x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#exponential-function
#decreasing-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। / (\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) is a decreasing exponential function.
Step 2
Why this answer is correct
घटते हुए फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं देते। / A decreasing function does not give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
(0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है। / An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\log_3 x) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_3 x), what type of function is (f)?
#one-one-function
#logarithmic-function
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(\log_3 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_3 x\) is increasing on the positive domain.
Step 2
Why this answer is correct
\(\log_3 a=\log_3 b\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(\log_3 a=\log_3 b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-5 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#power-function
#odd-power
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D परिभाषित नहीं / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x^5\) विषम घात वाला बढ़ता फलन है। / \(x^5\) is an increasing odd-power function.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^5=b^5\) हो तो (a=b) होता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
सरल विषम घात वाले फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-6 ) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-6 ), why is (f) not one-one?
#one-one-function
#power-function
#even-power
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि \(x^6\) हमेशा ऋणात्मक है / Because \(x^6\) is always negative
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
(1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। / (1) and (-1) are different real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(16 =(-1)6 =1) इसलिए समान मान मिलता है। / (16 =(-1)6 =1), so the same value is obtained.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are not one-one on the whole real domain.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x-6 ) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x-6 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#power-function
#restricted-domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq0\) पर \(x^6\) बढ़ता है। / On \(x\geq0\), \(x^6\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत में अलग (x) अलग \(x^6\) मान देते हैं। / In this domain, different (x) values give different \(x^6\) values.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाला फलन धनात्मक आधे प्रांत पर एकैकी हो सकता है। / An even-power function can be one-one on the non-negative half-domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sqrt[3]{x-2}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x-2}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#cube-root-function
#translation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D केवल \(x\geq2\) पर परिभाषित / Defined only for \(x\geq2\)
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। / The cube-root function increases on real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(x-2) भी अलग (x) पर अलग मान देता है। / (x-2) also gives different values for different (x).
Step 3
Exam Tip
बढ़ते फलन का ऐसा स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखता है। / Such a translation of an increasing function preserves one-one property.
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यदि \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-4}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-4}), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#square-root-function
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह (x=3) पर परिभाषित है / It is defined at (x=3)
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x-4}\) अपने प्रांत पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x-4}\) increases on its domain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\) हो तो (a-4=b-4), इसलिए (a=b)। / If \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\), then (a-4=b-4), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल फलन सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x-1|), which pair breaks one-one property?
#one-one-function
#modulus-function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0) और (1) / (0) and (1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (1) / (0) and (1)
Step 1
Concept
(f(0)=|-1|=1) है। / (f(0)=|-1|=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=|1|=1) है जबकि \(0\neq1\)। / (f(1)=|1|=1), while \(0\neq1\).
Step 3
Exam Tip
मापांक में अंदर की मात्रा विपरीत चिन्ह वाली होकर भी समान मान दे सकती है। / In modulus functions, inner expressions with opposite signs can give the same output.
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यदि \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|2x-1|), what type of function is (f)?
#one-one-function
#modulus-function
#restricted-domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
\(x\geq\frac{1}{2}\) होने पर \(2x-1\geq0\) है। / For \(x\geq\frac{1}{2}\), \(2x-1\geq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(x)=2x-1), जो रैखिक और बढ़ता है। / Hence (f(x)=2x-1), which is linear and increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को केंद्र के एक ओर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a modulus function to one side of its center can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2 +x+1) हो तो कौन सा युग्म समान मान देता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x+1), which pair gives the same value?
#one-one-function
#quadratic-function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (0) और (-1) / (0) and (-1)
B (1) और (2) / (1) and (2)
C (2) और (3) / (2) and (3)
D (3) और (4) / (3) and (4)
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Correct Answer
A. (0) और (-1) / (0) and (-1)
Step 1
Concept
(f(0)=1) है। / (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1-1+1=1) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1+1=1), while \(0\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन के लिए धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / A quadratic function can give equal values on both sides of its axis.
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यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x-2 +x+1) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 +x+1), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#restricted-domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}) है। / (x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\), इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो जाता है। / A quadratic becomes one-one on one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=5-2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-2x), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#linear-function
#decreasing-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल धनात्मक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on positive numbers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से (5-2a=5-2b) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (5-2a=5-2b).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-2a=-2b) और (a=b) मिलता है। / This gives (-2a=-2b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक गुणांक वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है। / A linear function with a negative coefficient can also be one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), which pair shows that (f) is not one-one?
#one-one-function
#constant-function
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1) और (2) / (1) and (2)
B (2) और (2) / (2) and (2)
C (0) और (0) / (0) and (0)
D (3) और (3) / (3) and (3)
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Correct Answer
A. (1) और (2) / (1) and (2)
Step 1
Concept
स्थिर फलन हर आगत पर (7) देता है। / A constant function gives (7) for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) और (f(2)=7) जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
एकैकीपन नकारने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ। / To disprove one-one, show equal outputs for different inputs.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (5) तत्व हैं तो (B) में कम से कम कितने तत्व होने चाहिए?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (5) elements, at least how many elements must (B) have?
#one-one-function
#finite-set
#cardinality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (4)
C (1)
D (0)
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में (A) के (5) तत्वों के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (5) distinct images for the (5) elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (B) में कम से कम (5) तत्व होने जरूरी हैं। / Therefore (B) must have at least (5) elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन के लिए सहप्रांत छोटा नहीं हो सकता। / For finite sets, the codomain cannot be smaller than the domain for a one-one function.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=\frac{x+2}{3}) हो तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=\frac{x+2}{3}), what type of function is (f)?
#one-one-function
#rational-numbers
#linear-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) से \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a+2=b+2) और (a=b) है। / This gives (a+2=b+2), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है। / A linear rule with non-zero coefficient is one-one on rational numbers.
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यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x-2 ), is (f) one-one?
#one-one-function
#rational-numbers
#square-function
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल (x=0) पर / Only at (x=0)
D फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(1) और (-1) दोनों परिमेय हैं। / Both (1) and (-1) are rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन पूरे परिमेय प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / The square function is not one-one on the whole rational domain.
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यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-2 ) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-2 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#square-function
#negative-domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में सभी \(x\leq0\) हैं। / In the given domain, all \(x\leq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन ऋणात्मक आधे प्रांत पर भी एकैकी होता है। / The square function is also one-one on the non-positive half-domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-4 +x-2 ) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 +x-2 ), is (f) one-one?
#one-one-function
#even-function
#not-one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल पूर्णांकों पर / Only on integers
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
(f(1)=1+1=2) है। / (f(1)=1+1=2).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=1+1=2) है जबकि \(1\neq-1\)। / (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
केवल सम घातों वाले फलन में (x) और (-x) से समान मान मिल सकता है। / A function with only even powers can give the same value for (x) and (-x).
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यदि (f:\(-\infty,1]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=(x-1)2 ) हो तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,1]\to[0,\infty\)) and (f(x)=(x-1)2 ), what type of function is (f)?
#one-one-function
#quadratic-function
#restricted-domain
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? Hint Small clue
A एकैकी / One-one
B एकैकी नहीं / Not one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी / One-one
Step 1
Concept
दिए गए प्रांत में \(x\leq1\) है इसलिए \(x-1\leq0\) रहता है। / In the given domain, \(x\leq1\), so \(x-1\leq0\).
Step 2
Why this answer is correct
इस भाग पर (x) बढ़ने पर ((x-1)2 ) घटता है और अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this part, as (x) increases, ((x-1)2 ) decreases and different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन धुरी के केवल एक ओर सीमित हो तो एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one when restricted to one side of its axis.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x-2 }), is (f) one-one?
#one-one-function
#rational-expression
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं / No
B हाँ / Yes
C केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
D फलन परिभाषित नहीं है / The function is not defined
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Correct Answer
A. नहीं / No
Step 1
Concept
एकैकी नहीं दिखाने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान खोजें। / To show that a function is not one-one, find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में उल्टे युग्म अक्सर समान मान दे सकते हैं। / In fractional functions, reciprocal pairs can often give the same value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3 +x+2) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x+2), which statement about (f) is correct?
#one-one-function
#cubic-function
#increasing-function
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? Hint Small clue
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर है / It is constant
D यह केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
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Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x^3+x+2\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / The value of \(x^3+x+2\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) हो तो (a-3 -b-3 +(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a-3 -b-3 +(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.
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