Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। / \(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain.
(A) के (5) अवयवों को (B) के (6) अलग अवयवों पर भेजना है। / The (5) elements of (A) must be mapped to (5) distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्पों की संख्या \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\) है। / The number of choices is \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में \(^{m}P_n\) का प्रयोग करें, जहां (m) सहप्रांत और (n) प्रांत के अवयव हैं। / Use \(^{m}P_n\) for counting one-one functions from an (n)-element domain to an (m)-element codomain.
\(1+\cos x\ge 0\) हर (x) के लिए है और फलन घटता नहीं है; साथ ही \(x+\sin x\) समान मान दो अलग बिंदुओं पर नहीं दोहराता। / \(1+\cos x\ge 0\) for every (x), and the function does not repeat the same value at two distinct points.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अवकलज के साथ फलन की कुल बढ़ने की दिशा भी देखें। / In such questions, combine derivative sign with overall increasing behaviour.
\(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। / \(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें। / With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature.
(A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। / The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। / The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता। / The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए एक ही मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
