Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (x>0), तो \(x^3+x\cos^2x>0\), और यदि (x<0), तो यह मान ऋणात्मक होता है। / If (x>0), then \(x^3+x\cos^2x>0\), and if (x<0), the value is negative.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही फलन विषम प्रकार का है और (x) के चिन्ह के साथ मान का चिन्ह बदलता है; बढ़ने की दिशा बनाए रखता है। / The function has odd-type behaviour and preserves the direction of values with the sign of (x).
Step 3
Exam Tip
चिन्ह और बढ़ने के व्यवहार को साथ देखकर कठिन रूपों में एकैकीपन समझा जा सकता है। / For difficult forms, combine sign behaviour with increasing tendency to judge one-one nature.
जहां (x) बड़ा है, वहां \(3x^2\) बढ़ने को मजबूत बनाता है, और छोटे भाग में भी \(x^3+\sin x\) समान मानों को दोहराने वाला आवर्ती रूप नहीं है। / For large (|x|), the \(3x^2\) part strongly supports increasing behaviour, and the expression is not a repeating periodic form.
Step 3
Exam Tip
घन भाग वाले फलनों में आवर्ती छोटा भाग हमेशा एकैकीपन नहीं तोड़ता। / A small trigonometric part does not always destroy one-one nature when a dominant cubic part controls the function.
\(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। / \(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है। / For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature.
\(1-\sin x\ge0\) हर (x) के लिए है और फलन कुल मिलाकर बढ़ने की दिशा में चलता है। / \(1-\sin x\ge0\) for every (x), and the function moves overall in the increasing direction.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है, फिर भी फलन समान मान दोहरा न रहा हो तो एकैकी हो सकता है। / A derivative may become zero at points, yet the function can still be one-one if it does not repeat values.
हर प्रांत अवयव का एक प्रतिबिंब दिया है, इसलिए यह फलन है। / Each domain element has an image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) दोनों का प्रतिबिंब (3) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। / Both (1) and (2) have image (3), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
दोहराए गए प्रतिबिंब एकैकीपन को समाप्त कर देते हैं। / Repeated images destroy one-one nature.
दिए गए फलन में \(x^2\) है, इसलिए विपरीत (x) मानों पर समान मान मिल सकता है। / The function contains \(x^2\), so opposite (x)-values may give equal outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\frac{1}{2}) और (f(-1)=\frac{1}{2}), जबकि \(1\ne-1\)। / (f(1)=\frac{1}{2}) and (f(-1)=\frac{1}{2}), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
सम रूप वाले भिन्नों में (x) और (-x) को जरूर जांचें। / For even-form rational functions, always test (x) and (-x).
