Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। / The domain \([0,\infty\)) has no negative values.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है। / An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted.
समान मान खोजने के लिए सरल संख्याएं रखें। / Try simple values to find repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-27=0), while \(0\ne3\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली एक जोड़ी मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / One pair of different inputs with the same image is enough to reject one-one nature.
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube-root function is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\sqrt[3]{x}\) भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग इनपुट समान मान नहीं देते। / As (x) increases, \(\sqrt[3]{x}\) also increases, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होता है। / The cube-root function is one-one on the whole real domain.
(f) पूरे (A) पर अलग इनपुटों को अलग प्रतिबिंब देता है। / (f) sends distinct inputs of (A) to distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(S) तो (A) का छोटा हिस्सा है, इसलिए (S) के अलग अवयवों के प्रतिबिंब भी अलग रहेंगे। / (S) is only a smaller part of (A), so distinct elements of (S) also keep distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन का प्रतिबंध भी एकैकी होता है। / A restriction of a one-one function is also one-one.
(f(x)=(x+1)2+1), इसलिए शीर्ष (x=-1) है। / (f(x)=(x+1)2+1), so the vertex is at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\infty,-1]\) पर यह फलन लगातार घटता है और इसलिए एकैकी है। / On (\(-\infty,-1]\), the function is strictly decreasing and hence one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में शीर्ष के बाईं ओर घटता और दाईं ओर बढ़ता व्यवहार याद रखें। / Remember that a quadratic decreases to the left of its vertex and increases to the right.
(a>0) और (b>0) होने से \(3ax^2+b>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। / Since (a>0) and (b>0), \(3ax^2+b>0\) for every real (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is strictly increasing and one-one.
अवकलज निकालने पर (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}) मिलता है। / Differentiating gives (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर वास्तविक (x) के लिए अऋणात्मक है और फलन मानों को दोहराता नहीं है, इसलिए फलन एकैकी है। / This is non-negative for every real (x), and the function does not repeat values, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में अवकलज का संकेत जांचना एक सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, checking the sign of the derivative is a reliable method.
