Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चूंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), meaning (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में बाएं वाले फलन के एकैकी होने का निष्कर्ष ऐसे निकाला जाता है। / In composition, this is how one concludes that the first function is one-one.
A. यह हमेशा एकैकी नहीं होगा/It will always be not one-one
Step 1
Concept
(g) पूरे (B) पर एकैकी न हो, फिर भी (f(A)) के छोटे भाग पर (g) अलग-अलग मान दे सकता है। / Even if (g) is not one-one on all of (B), it may give distinct values on the smaller set (f(A)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(g\circ f\) कभी-कभी एकैकी हो सकता है। / Therefore, \(g\circ f\) can sometimes be one-one.
Step 3
Exam Tip
संयोजन में केवल पूरे सहप्रांत नहीं, बल्कि (f(A)) पर (g) का व्यवहार भी देखें। / In composition, check the behaviour of (g) on (f(A)), not only on all of (B).
\(x^2\) का मान (x) और (-x) पर समान होता है। / \(x^2\) has the same value at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=e-1) और (f(-1)=e-1), जबकि \(1\ne-1\)। / Hence (f(1)=e-1) and (f(-1)=e-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
घातांकीय बाहरी फलन होने पर भी अंदर का सम रूप एकैकीपन तोड़ सकता है। / Even with an exponential outer function, an even inner expression can break one-one nature.
(\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। / On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। / \(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है। / The one-one nature of the same formula can change when the domain changes.
(1) का प्रतिबिंब (1) तय है। / The image of (1) is fixed as (1).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (4) अवयवों को शेष (4) अवयवों पर एकैकी रूप से भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The remaining (4) elements can be mapped one-one to the remaining (4) elements in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
समान आकार के समुच्चय में एकैकी फलन क्रमचय की तरह गिने जाते हैं। / For equal-size sets, one-one functions are counted like permutations.
