Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिए गए फलन को (f(x)=(x+2)3+1) के रूप में लिख सकते हैं। / The function can be written as (f(x)=(x+2)3+1).
Step 2
Why this answer is correct
घन रूप पूरे वास्तविक प्रांत पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए दो अलग (x) मानों के प्रतिबिंब समान नहीं होंगे। / A cubic form is strictly increasing on the whole real domain, so two different (x)-values cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण घन पहचानने की कोशिश करें। / In such questions, first try to identify a perfect cubic form.
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To show that a function is not one-one, it is enough to find two different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=-64+48+5=-11) और (f(2)=8-24+5=-11), जबकि \(-4\ne2\)। / (f(-4)=-64+48+5=-11) and (f(2)=8-24+5=-11), while \(-4\ne2\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में भी मोड़ होने पर समान मान मिल सकते हैं। / Even a cubic function can repeat values if it has turning points.
(f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2) है। / (f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \([2,\infty\)) शीर्ष के दाईं ओर है, जहां फलन लगातार बढ़ता है। / The domain \([2,\infty\)) lies to the right of the vertex, where the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शीर्ष के एक ओर सीमित करने पर वह एकैकी बन जाता है। / A quadratic becomes one-one when restricted to one side of its vertex.
(f(x)=(x-4)2-3), इसलिए शीर्ष (x=4) पर है। / (f(x)=(x-4)2-3), so the vertex is at (x=4).
Step 2
Why this answer is correct
([2,6]) में शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले बिंदु (2) और (6) हैं जिनके मान समान हैं। / The interval ([2,6]) contains points (2) and (6), equally distant from the vertex, giving equal values.
Step 3
Exam Tip
यदि अंतराल शीर्ष के दोनों ओर फैला हो, तो द्विघात फलन एकैकी नहीं रहता। / If an interval extends on both sides of the vertex, a quadratic is not one-one there.
एकैकी फलन में प्रांत के (6) अवयवों को सहप्रांत के (8) अलग अवयवों पर भेजना होगा। / In a one-one function, the (6) elements of the domain must be sent to (6) distinct elements of the (8)-element codomain.
Step 2
Why this answer is correct
कुल तरीके \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\) होंगे। / The total number is \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में सहप्रांत से क्रम सहित चयन किया जाता है। / For one-one functions, select ordered distinct images from the codomain.
(1) का प्रतिबिंब (5) पहले से तय है। / The image of (1) is already fixed as (5).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (3) अवयवों के लिए (B) में (4) बचे हुए अलग प्रतिबिंब उपलब्ध हैं, इसलिए संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The remaining (3) elements must be mapped to distinct elements among the remaining (4) elements of (B), giving \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
तय प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में पहले निश्चित जोड़ी को अलग कर दें। / In fixed-image questions, remove the fixed pair first.
\(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\) से क्रॉस गुणा करने पर (17a=17b), अतः (a=b)। / From \(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\), cross-multiplication gives (17a=17b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा बहुत उपयोगी होता है। / Cross-multiplication is very useful for fractional linear functions.
फलन में केवल (x) की सम घातें हैं, इसलिए (x) और (-x) पर मान समान हो सकते हैं। / The function contains only even powers of (x), so values at (x) and (-x) can be equal.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1-2=-1) और (f(-1)=1-2=-1), जबकि \(1\ne-1\)। / (f(1)=1-2=-1) and (f(-1)=1-2=-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
सम फलन पूरे सममित प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / An even function on a symmetric domain is generally not one-one.
