यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x+3|+2), तो यह आच्छादक क्यों नहीं है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+3|+2), why is it not onto?
#onto function
#absolute value
#range
#codomain
A क्योंकि (1) इसकी छवि नहीं हो सकता / Because (1) cannot be its image
B क्योंकि (2) इसकी छवि है / Because (2) is its image
C क्योंकि यह हर जगह परिभाषित है / Because it is defined everywhere
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (1) इसकी छवि नहीं हो सकता / Because (1) cannot be its image
Step 1
Concept
(|x+3|+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। / The value of (|x+3|+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रान्त (R) में (1) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain (R) contains (1), but it cannot be the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन आच्छादक नहीं है। / Therefore the function is not onto.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:A\to B\) उभयैक है और (A) में (9) अवयव हैं, तो (B) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is bijective and (A) has (9) elements, how many elements will (B) have?
#bijective function
#finite sets
#cardinality
A (9)
B (8)
C (10)
D यह निश्चित नहीं / Cannot be determined
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। / In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। / Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में (9) अवयव हैं, अतः (B) में भी (9) होंगे। / Since (A) has (9) elements, (B) also has (9).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) ऐसे हैं कि \(g\circ f=I_A\) और \(f\circ g=I_B\), तो (g) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(g\circ f=I_A\) and \(f\circ g=I_B\), what is correct about (g)?
#inverse function
#composition
#identity function
#bijection
A \(g=f^{-1}\)
B (g=f) ही / (g=f) only
C (g) स्थिर फलन है / (g) is a constant function
D (g) परिभाषित नहीं है / (g) is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(g=f^{-1}\)
Step 1
Concept
दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। / Both compositions give identity functions.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। / This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g), (f) का प्रतिलोम है और \(g=f^{-1}\) होगा। / Therefore (g) is the inverse of (f), so \(g=f^{-1}\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (f(x)=\sqrt{x+1}) और (g(x)=\frac{1}{x-2}), तो (\(g\circ f\)(x)) का वास्तविक प्रान्त कौन-सा होगा?
If (f(x)=\sqrt{x+1}) and (g(x)=\frac{1}{x-2}), what is the real domain of (\(g\circ f\)(x))?
#composition
#domain
#radical function
#rational function
A \([-1,\infty\)-{3})
B \([-1,\infty\))
C (R-{3})
D (\(3,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([-1,\infty\)-{3})
Step 1
Concept
पहले (f(x)=\sqrt{x+1}) के लिए \(x+1\ge0\), इसलिए \(x\ge-1\)। / First, for (f(x)=\sqrt{x+1}), we need \(x+1\ge0\), so \(x\ge-1\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}) होगा, इसलिए हर शून्य नहीं होना चाहिए। / (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}), so the denominator must not be zero.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+1}=2\) से (x=3), अतः प्रान्त \([-1,\infty\)-{3}) है। / \(\sqrt{x+1}=2\) gives (x=3), hence the domain is \([-1,\infty\)-{3}).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +2x+3) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-2 +2x+3), which statement about the range of (f) is correct?
#functions
#range
#quadratic
A \([2,\infty\))
B \([3,\infty\))
C (\(-\infty,2]\)
D \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 +2x+3=(x+1)2 +2) लिखें। / Write (x-2 +2x+3=(x+1)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 \geq 0), इसलिए सबसे छोटा मान (2) है। / Since ((x+1)2 \geq 0), the least value is (2).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में वर्ग पूरा करना परास निकालने का तेज तरीका है। / Completing the square is a quick method for finding the range of a quadratic function.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=2x-5), what is (f^{-1}(x))?
#inverse function
#linear function
#bijection
A \(\frac{x+5}{2}\)
B \(\frac{x-5}{2}\)
C (2x+5)
D (5-2x)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{x+5}{2}\)
Step 1
Concept
(y=2x-5) मानें। / Put (y=2x-5).
Step 2
Why this answer is correct
(x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। / Solving for (x) gives \(x=\frac{y+5}{2}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय अंत में (y) की जगह (x) लिख दें। / While finding the inverse, replace (y) by (x) at the end.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन संभव हैं?
If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), and \(B=\{a,b\}\), how many functions are possible from (A) to (B)?
#number of functions
#finite sets
#domain codomain
A (6)
B (8)
C (9)
D (12)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में (2) चुनाव हैं। / Each element of (A) has (2) choices in (B).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अवयवों के लिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / For (3) elements, the total number of functions is \(2^3=8\).
Step 3
Exam Tip
फलनों की गिनती में आधार सहप्रांत के अवयवों की संख्या होती है। / In counting functions, the base is the number of elements in the codomain.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=x+3), (g(x)=x-2 ), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+3), (g(x)=x-2 ), what is (\(g\circ f\)(x))?
#composition of functions
#algebra
#functions
A \(x^2+3\)
B ((x+3)2 )
C \(x^2+6\)
D (x+9)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ((x+3)2 )
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)=x+3) को (g) में रखने पर (g(x+3)=(x+3)2 ) मिलता है। / Substituting (f(x)=x+3) into (g) gives (g(x+3)=(x+3)2 ).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In composition, changing the order can change the answer.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3 +x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x-3 +x), which statement about (f) is correct?
#one-one function
#increasing function
#real function
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह स्थिर फलन है / It is a constant function
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
यदि \(x_1<x_2\), तो \(x^3+x\) का मान बढ़ता है। / If \(x_1<x_2\), then \(x^3+x\) increases.
Step 2
Why this answer is correct
बढ़ता हुआ फलन दो अलग मानों पर समान मान नहीं देता। / A strictly increasing function cannot give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय बढ़ने या घटने का व्यवहार उपयोगी होता है। / Monotonic behaviour is useful for checking one-one functions.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 ) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 ), why is (f) not one-one?
#one-one function
#counterexample
#square function
A क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
B क्योंकि (f(0)) परिभाषित नहीं है / Because (f(0)) is not defined
C क्योंकि हर वास्तविक संख्या का प्रतिचित्र है / Because every real number has a preimage
D क्योंकि इसका प्रांत रिक्त है / Because its domain is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) है / Because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों के लिए अलग-अलग निर्गत होने चाहिए। / A one-one function must give different outputs for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(1\neq -1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिवाद एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to prove that a function is not one-one.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
