यदि \(f:R\to R\), (f(x)=|x+4|), तो (f^{-1}({6})) क्या है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=|x+4|), what is (f^{-1}({6}))?
#preimage
#absolute value
#inverse image
#medium
A ({-10,2})
B ({6})
C ({2})
D ({-10})
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Correct Answer
A. ({-10,2})
Step 1
Concept
पूर्वछवि के लिए (|x+4|=6) हल करें। / To find the preimage, solve (|x+4|=6).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x+4=6) या (x+4=-6) मिलता है। / This gives (x+4=6) or (x+4=-6).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=2) या (x=-10), अतः पूर्वछवि ({-10,2}) है। / Hence (x=2) or (x=-10), so the preimage is ({-10,2}).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -8x+20), तो न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -8x+20), what is the minimum value?
#minimum value
#quadratic function
#range
#medium
A (4)
B (20)
C (0)
D (8)
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Step 1
Concept
(x-2 -8x+20=(x-4)2 +4) लिखें। / Write (x-2 -8x+20=(x-4)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
((x-4)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। / Since ((x-4)2 \ge0), (f(x)\ge4).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान (4) है, जो (x=4) पर मिलता है। / The minimum value is (4), attained at (x=4).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -8x+20), तो परास कौन-सा है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -8x+20), what is the range?
#range
#quadratic function
#complete square
#medium
A \([4,\infty\))
B \([20,\infty\))
C (R)
D (\(-\infty,4]\)
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Correct Answer
A. \([4,\infty\))
Step 1
Concept
फलन को ((x-4)2 +4) के रूप में लिखें। / Write the function as ((x-4)2 +4).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग का मान हमेशा (0) या उससे अधिक होता है। / A square is always (0) or more.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सबसे छोटा मान (4) है और परास \([4,\infty\)) है। / Therefore the least value is (4), and the range is \([4,\infty\)).
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यदि (f(x)=\frac{3x}{x+2}), तो (f(x)=3) का कोई वास्तविक हल है या नहीं?
If (f(x)=\frac{3x}{x+2}), does (f(x)=3) have a real solution?
#range
#rational function
#no solution
#medium
A नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है / No, it has no real solution
B हाँ, (x=0) / Yes, (x=0)
C हाँ, (x=2) / Yes, (x=2)
D हाँ, (x=-2) / Yes, (x=-2)
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Correct Answer
A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है / No, it has no real solution
Step 1
Concept
\(\frac{3x}{x+2}=3\) मानें। / Assume \(\frac{3x}{x+2}=3\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (3x=3x+6) मिलता है, जो असंभव है। / This gives (3x=3x+6), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (3) इस फलन के परास में नहीं आता। / Therefore (3) is not in the range of this function.
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यदि (f(x)=\frac{3x}{x+2}), तो इस फलन का परास कौन-सा है?
If (f(x)=\frac{3x}{x+2}), what is the range of this function?
#range
#rational function
#algebra
#medium
A (R-{3})
B (R-{-2})
C (R)
D ((0,3))
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Correct Answer
A. (R-{3})
Step 1
Concept
\(y=\frac{3x}{x+2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{3x}{x+2}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x+2)=3x) से \(x=\frac{-2y}{y-3}\), यदि \(y\ne3\)। / From (y(x+2)=3x), we get \(x=\frac{-2y}{y-3}\), if \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (3) नहीं। / Hence every real (y) is possible except (3).
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यदि \(g\circ f\) आच्छादक है, तो (g) के बारे में कौन-सा कथन निश्चित रूप से सही है?
If \(g\circ f\) is onto, which statement is definitely true about (g)?
#composition
#onto function
#theory
#medium
A (g) आच्छादक है / (g) is onto
B (f) एक-एकी है / (f) is one-one
C (f) आच्छादक है / (f) is onto
D (g) स्थिर है / (g) is constant
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Correct Answer
A. (g) आच्छादक है / (g) is onto
Step 1
Concept
\(g\circ f\) आच्छादक होने पर अंतिम सहप्रान्त का हर अवयव छवि बनता है। / If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is an image.
Step 2
Why this answer is correct
वह छवि (g) के द्वारा ही मिलती है। / That final image is produced through (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) भी अपने सहप्रान्त के हर अवयव तक पहुँचता है, अतः (g) आच्छादक है। / Therefore (g) reaches every element of its codomain, so (g) is onto.
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यदि (f) और (g) प्रतिलोम फलन हैं, तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?
If (f) and (g) are inverse functions, what is (\(f\circ g\)(x))?
#inverse functions
#composition
#identity function
A (x)
B (f(x))
C (g(x))
D (0)
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Step 1
Concept
प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। / Inverse functions undo each other's action.
Step 2
Why this answer is correct
पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। / Applying (g) first and then (f) brings the original value back.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)। / Therefore (\(f\circ g\)(x)=x).
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यदि (f(x)=x-2 -3) और (f(a)=13), जहाँ (a>0), तो (a) क्या होगा?
If (f(x)=x-2 -3) and (f(a)=13), where (a>0), what is (a)?
#function equation
#quadratic function
#positive input
A (4)
B (16)
C (-4)
D (5)
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Step 1
Concept
(f(a)=a-2 -3) है। / (f(a)=a-2 -3).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2-3=13\) से \(a^2=16\)। / From \(a^2-3=13\), we get \(a^2=16\).
Step 3
Exam Tip
(a>0) दिया है, इसलिए (a=4)। / Since (a>0), (a=4).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+8) एक-एकी है, तो (k) के लिए कौन-सी शर्त चाहिए?
If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+8), is one-one, what condition is needed on (k)?
#one one function
#parameter
#linear function
A \(k\ne0\)
B (k=0)
C (k=8) ही / only (k=8)
D (k<0) ही / only (k<0)
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Correct Answer
A. \(k\ne0\)
Step 1
Concept
यदि (k=0), तो (f(x)=8) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (k=0), then (f(x)=8) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। / A constant function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
इसलिए रैखिक फलन के एक-एकी होने के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore the linear function is one-one when \(k\ne0\).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+6) आच्छादक है, तो (k) के लिए सही शर्त कौन-सी है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+6), is onto, what is the correct condition on (k)?
#onto function
#parameter
#linear function
A \(k\ne0\)
B (k=0)
C (k=6) ही / only (k=6)
D (k>0) ही / only (k>0)
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Correct Answer
A. \(k\ne0\)
Step 1
Concept
यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (6) रहेगा। / If (k=0), the function always has value (6).
Step 2
Why this answer is correct
तब परास केवल ({6}) होगा, पूरा (R) नहीं। / Then the range is only ({6}), not all of (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore onto requires \(k\ne0\).
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