यदि (f(x)=\frac{x-5}{x+4}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?
If (f(x)=\frac{x-5}{x+4}), what is the real domain?
#domain
#rational function
#denominator restriction
#medium
A (R-{-4})
B (R-{5})
C (R)
D \([-4,\infty\))
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Correct Answer
A. (R-{-4})
Step 1
Concept
फलन में हर (x+4) है। / The denominator of the function is (x+4).
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x+4\ne0\)। / The denominator cannot be zero, so \(x+4\ne0\).
Step 3
Exam Tip
(x=-4) को हटाकर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त में रहेंगी। / Removing (x=-4), all other real numbers remain in the domain.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -6x+11), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -6x+11), what is the range of (f)?
#range
#quadratic function
#complete square
#medium
A \([2,\infty\))
B \([11,\infty\))
C (R)
D (\(-\infty,2]\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2 -6x+11=(x-3)2 +2) लिखें। / Write (x-2 -6x+11=(x-3)2 +2).
Step 2
Why this answer is correct
((x-3)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge2)। / Since ((x-3)2 \ge0), (f(x)\ge2).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान (2) है, इसलिए परास \([2,\infty\)) है। / The minimum value is (2), so the range is \([2,\infty\)).
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यदि (f(x)=2x+1) और (g(x)=x-2 +3), तो (\(g\circ f\)(1)) का मान क्या होगा?
If (f(x)=2x+1) and (g(x)=x-2 +3), what is the value of (\(g\circ f\)(1))?
#composition of functions
#function value
#medium
A (12)
B (10)
C (9)
D (6)
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Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(1)=g(f(1))) होता है। / (\(g\circ f\)(1)=g(f(1))).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2\cdot1+1=3)। / (f(1)=2\cdot1+1=3).
Step 3
Exam Tip
(g(3)=32 +3=12), इसलिए मान (12) है। / (g(3)=32 +3=12), so the value is (12).
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यदि (f(x)=5x+1) और (g(x)=x-4), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?
If (f(x)=5x+1) and (g(x)=x-4), what is (\(f\circ g\)(x))?
#composition
#linear functions
#algebra
#medium
A (5x-19)
B (5x-3)
C (x+1)
D (5x+5)
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Correct Answer
A. (5x-19)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(x)=x-4) को (f) में रखें। / Put (g(x)=x-4) into (f).
Step 3
Exam Tip
(f(x-4)=5(x-4)+1=5x-19)। / (f(x-4)=5(x-4)+1=5x-19).
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यदि (f(x)=x-2 -1) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f(x)=x-2 -1) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?
#composition order
#functions
#non commutative
#medium
A दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं / They are generally not equal
B दोनों हमेशा समान हैं / They are always equal
C दोनों स्थिर फलन हैं / Both are constant functions
D दोनों परिभाषित नहीं हैं / Both are undefined
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Correct Answer
A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं / They are generally not equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 -1)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम का ध्यान रखें। / The expressions are generally different, so order matters in composition.
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=9x-4), तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=9x-4), which statement is correct about (f)?
#linear function
#bijection
#one one
#onto
A यह एक-एकी और आच्छादक है / It is one-one and onto
B यह स्थिर फलन है / It is a constant function
C यह एक-एकी नहीं है / It is not one-one
D यह आच्छादक नहीं है / It is not onto
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Correct Answer
A. यह एक-एकी और आच्छादक है / It is one-one and onto
Step 1
Concept
(9x-4) अलग-अलग (x) पर अलग-अलग मान देता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / (9x-4) gives different outputs for different (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in R\) के लिए \(x=\frac{y+4}{9}\) लिया जा सकता है। / For any \(y\in R\), choose \(x=\frac{y+4}{9}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक (y) छवि बनता है और फलन आच्छादक है। / Hence every real (y) is an image, so the function is onto.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 +2x+2) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 +2x+2)?
#quadratic function
#not one one
#not onto
#range
A यह न एक-एकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
B यह एक-एकी और आच्छादक है / It is one-one and onto
C यह एक-एकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
D यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं / It is onto but not one-one
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Correct Answer
A. यह न एक-एकी है न आच्छादक / It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(0)=2) और (f(-2)=2), इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। / (f(0)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(x-2 +2x+2=(x+1)2 +1), इसलिए परास \([1,\infty\)) है। / (x-2 +2x+2=(x+1)2 +1), so the range is \([1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
सहप्रान्त (R) होने पर (0) छवि नहीं बनता, इसलिए फलन आच्छादक भी नहीं है। / With codomain (R), (0) is not an image, so the function is not onto either.
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यदि \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x+1), तो (f) कैसा है?
If \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x+1), what type of function is (f)?
#restricted domain
#bijection
#linear function
#medium
A एक-एकी और आच्छादक / One-one and onto
B एक-एकी नहीं / Not one-one
C आच्छादक नहीं / Not onto
D स्थिर फलन / Constant function
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Correct Answer
A. एक-एकी और आच्छादक / One-one and onto
Step 1
Concept
अलग-अलग (x) के लिए (x+1) अलग-अलग होता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / For different (x), (x+1) is different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge0\) के लिए (x=y-1), जो प्रान्त \([-1,\infty\)) में है। / For every \(y\ge0\), (x=y-1), which lies in the domain \([-1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन आच्छादक भी है। / Hence the function is onto as well.
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यदि \(f:R\to[2,\infty\)), (f(x)=x-2 +2), तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:R\to[2,\infty\)), (f(x)=x-2 +2), which statement is correct about (f)?
#onto
#not one one
#quadratic function
#codomain
A यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं / It is onto but not one-one
B यह एक-एकी और आच्छादक है / It is one-one and onto
C यह एक-एकी है पर आच्छादक नहीं / It is one-one but not onto
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं / It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) या \(x=-\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है, इसलिए आच्छादक है। / For every \(y\ge2\), \(x=\sqrt{y-2}\) or \(x=-\sqrt{y-2}\) can be chosen, so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=3), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=3), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रान्त को सही पढ़ना आच्छादकता जाँचने में बहुत जरूरी है। / Reading the codomain correctly is very important while checking onto.
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यदि (f(x)=\sqrt{3x-12}), तो वास्तविक प्रान्त कौन-सा है?
If (f(x)=\sqrt{3x-12}), what is the real domain?
#domain
#radical function
#inequality
#medium
A \([4,\infty\))
B (\(4,\infty\))
C (R-{4})
D (\(-\infty,4]\)
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Correct Answer
A. \([4,\infty\))
Step 1
Concept
वर्गमूल के अंदर (3x-12) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। / The expression inside the square root, (3x-12), must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(3x-12\ge0\) से \(x\ge4\) मिलता है। / From \(3x-12\ge0\), we get \(x\ge4\).
Step 3
Exam Tip
(x=4) पर मान (0) है, इसलिए (4) शामिल होगा। / At (x=4), the value is (0), so (4) is included.
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