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\(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए केवल (4) बचता है। परीक्षा में अंतर निकालते समय पहले दोनों समुच्चय स्पष्ट लिखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so only (4) remains. In exams, list both sets clearly before taking difference.
पहले (n\(A\cup B\cup C\)=73) मिलता है, फिर (C) के (28) तत्व हटाने पर (45) बचते हैं। ऐसे प्रश्न में पहले पूरा संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\cup C\)=73), then removing (28) elements of (C) leaves (45). In such questions, find the complete union first.
\(A\cup B\) को तीन भागों (A-B), \(A\cap B\) और (B-A) में बांटा जाता है। बचे हुए तत्व (3) और (6) हैं। / \(A\cup B\) is split into (A-B), \(A\cap B\), and (B-A). The remaining elements are (3) and (6).
\(A\cup C=(-2,10]) है और (B=[1,8)\) हटाने पर \((-2,1)\cup[8,10]\) मिलता है। सिरों के खुले-बंद होने पर ध्यान दें। / \(A\cup C=(-2,10]), and removing (B=[1,8)\) gives \((-2,1)\cup[8,10]\). Watch open and closed endpoints carefully.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (63=45+38-x), इसलिए (x=20)। परीक्षा में अधिक गिनती को घटाना न भूलें। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), (63=45+38-x), so (x=20). In exams, remember to subtract the double count.
(B-C) में वे तत्व हैं जो (B) में हैं और (C) में नहीं हैं। (A) से प्रतिच्छेद करने पर यही (\(A\cap B\)-C) बनता है। / (B-C) contains elements in (B) and not in (C). Intersecting with (A) gives exactly (\(A\cap B\)-C).
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) तथा \(A\cap B=A\) होगा। अतः \((A\cup B)-(A\cap B)=B-A\)। \(A-B\) रिक्त समुच्चय होता है, क्योंकि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में पहले से शामिल है। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय की स्थिति में संघ बड़ा समुच्चय और प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय होता है। / Since \(A\subseteq B\), we have \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\). Therefore, \((A\cup B)-(A\cap B)=B-A\). In contrast, \(A-B\) is the empty set because every element of \(A\) already belongs to \(B\). Exam tip: For a subset relation, the union is the larger set and the intersection is the smaller set.
पहले \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) होगा, क्योंकि इसमें \(A\) या \(B\) के सभी तत्व शामिल होते हैं। इसका पूरक \((A\cup B)'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व हैं जो इस संघ में नहीं हैं: \(\{1,5,7,11\}\)। विकल्प C संघ है, पूरक नहीं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) से तत्व हटाएँ। / First, \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\), since a union contains every element that is in \(A\) or \(B\). The complement \((A\cup B)'\) consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in this union: \(\{1,5,7,11\}\). Option C represents the union itself, not its complement. Exam tip: Always find a complement with respect to the given universal set \(U\).
पहले \(B\cup C=\{1,2,4,6,7,8\}\) होगा, क्योंकि इसमें \(B\) और \(C\) के सभी भिन्न अवयव शामिल होते हैं। अब \(A\) के साथ इसका प्रतिच्छेद लेने पर केवल वे अवयव बचते हैं जो दोनों समुच्चयों में हैं: \(\{1,2,4\}\)। विकल्प \(\{2,4,8\}\) में 8 है, जो \(A\) में नहीं है। परीक्षा टिप: कोष्ठक वाले भाग \(B\cup C\) को पहले हल करें, फिर \(A\) से प्रतिच्छेद लें। / First, \(B\cup C=\{1,2,4,6,7,8\}\), since a union contains all distinct elements of both sets. Intersecting this set with \(A\) leaves only the common elements: \(\{1,2,4\}\). The option \(\{2,4,8\}\) is incorrect because 8 does not belong to \(A\). Exam tip: Evaluate the expression inside the brackets, \(B\cup C\), before taking its intersection with \(A\).
\(A-B=\varnothing\) बताता है कि (A) का हर तत्व (B) में है। \(B-A\ne\varnothing\) बताता है कि (B) में कुछ अतिरिक्त तत्व हैं। / \(A-B=\varnothing\) means every element of (A) lies in (B). \(B-A\ne\varnothing\) means (B) has at least one extra element.
सममित अंतर \(A\triangle B\) में वे तत्व शामिल होते हैं जो केवल \(A\) या केवल \(B\) में हों, दोनों में नहीं। यहाँ \(A-B=\{a,c\}\) तथा \(B-A=\{e,f\}\) हैं। अतः \(A\triangle B=\{a,c,e,f\}\)। \(\{b,d\}\) उभयनिष्ठ तत्व हैं, इसलिए वे सममित अंतर में नहीं आते। परीक्षा टिप: सममित अंतर निकालते समय पहले उभयनिष्ठ तत्वों को पहचानकर हटा दें। / The symmetric difference \(A\triangle B\) contains elements that belong to only \(A\) or only \(B\), but not to both sets. Here, \(A-B=\{a,c\}\) and \(B-A=\{e,f\}\). Therefore, \(A\triangle B=\{a,c,e,f\}\). The set \(\{b,d\}\) contains common elements, so it is not included in the symmetric difference. Exam tip: identify and remove the common elements first when finding a symmetric difference.
हर तत्व के लिए (A) के अंदर और बाहर दोनों स्थितियां (B) और (C) को समान बनाती हैं। इसलिए (B=C) है। / For every element, the conditions inside and outside (A) force (B) and (C) to match. Hence (B=C).
दोनों अंतराल ओवरलैप करते हैं, इसलिए उनका संघ (0) से (5) तक पूरा है। दोनों सिरों (0) और (5) शामिल हैं। / The intervals overlap, so their union covers all points from (0) to (5). Both endpoints (0) and (5) are included.
\(A-B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) में हों, लेकिन \(B\) में न हों। \(B=(-1,4)\) है, इसलिए \(A\) का \((-1,2]\) भाग हट जाएगा। चूँकि \(-1\), \(B\) में शामिल नहीं है, पर \(A\) में शामिल है, इसलिए \(-1\) उत्तर में रहेगा। अतः \(A-B=[-3,-1]\) है। \((-1,2]\) वास्तव में \(A\cap B\) है। परीक्षा टिप: अंतरालों में खुले और बंद सिरों को अलग से जाँचें। / \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but do not belong to \(B\). Since \(B=(-1,4)\), the portion \((-1,2]\) is removed from \(A\). The point \(-1\) remains because it belongs to \(A\) but not to \(B\). Therefore, \(A-B=[-3,-1]\). Note that \((-1,2]\) is actually \(A\cap B\). Exam tip: always check open and closed endpoints separately when working with intervals.
समुच्चय \(A\cup B\) तीन परस्पर असंपाती भागों से बनता है: केवल \(A\) में स्थित तत्व \(A-B\), केवल \(B\) में स्थित तत्व \(B-A\), तथा दोनों में स्थित तत्व \(A\cap B\)। अतः \(n(A\cup B)=12+9+7=28\)। विकल्प 21 में केवल \(A-B\) और \(B-A\) जोड़े गए हैं, जबकि उभयनिष्ठ 7 तत्व भी संघ में शामिल होते हैं। परीक्षा टिप: वेन आरेख में संघ के सभी अलग-अलग क्षेत्रों को जोड़ें। / The set \(A\cup B\) consists of three mutually disjoint regions: elements only in \(A\), \(A-B\); elements only in \(B\), \(B-A\); and common elements, \(A\cap B\). Therefore, \(n(A\cup B)=12+9+7=28\). Option 21 adds only \(A-B\) and \(B-A\), but the 7 common elements are also included in the union. Exam tip: In a Venn diagram, add every distinct region covered by the union.
केवल गणित (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22)। ऐसे प्रश्न में दोनों पढ़ने वालों को केवल वाले भाग से घटाएं। / Only Mathematics (=n(M)-n\(M\cap P\)=34-12=22). In such questions, subtract the common part from the only part.
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+47-21=78\)। अतः \((A\cup B)'\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) या \(B\) किसी में भी नहीं हैं। इसलिए \(n\big((A\cup B)'\big)=n(U)-n(A\cup B)=80-78=2\)। विकल्प 78 संघ के तत्वों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: संघ निकालते समय उभयनिष्ठ तत्वों को दो बार गिने जाने से बचाने के लिए \(n(A\cap B)\) घटाएँ। / By the inclusion-exclusion principle, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=52+47-21=78\). The set \((A\cup B)'\) contains elements that belong to neither \(A\) nor \(B\). Hence, \(n\big((A\cup B)'\big)=n(U)-n(A\cup B)=80-78=2\). Option 78 is the number of elements in the union, not in its complement. Exam tip: subtract \(n(A\cap B)\) while finding a union so that common elements are not counted twice.
असंबद्ध समुच्चयों के लिए \(A\cap B=\varnothing\) होता है, अर्थात उनका कोई भी तत्व समान नहीं होता। इसलिए संघ में दोनों समुच्चयों के सभी तत्व केवल एक-एक बार गिने जाते हैं: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+19=34\)। विकल्प 4, \(19-15\) से प्राप्त होता है, जो संघ की संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य स्थिति में \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लिखें; असंबद्ध समुच्चयों में अंतिम पद शून्य होता है। / For disjoint sets, \(A\cap B=\varnothing\), meaning that they have no common elements. Hence, every element is counted only once in the union: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)=15+19=34\). Option 4 comes from \(19-15\), which does not give the cardinality of the union. Exam tip: use \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\); for disjoint sets, the last term is zero.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, इसलिए (B) का हर तत्व (A) में है। अतः \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) by union does not change (A), so every element of (B) is in (A). Thus \(B\subseteq A\).
प्रतिच्छेद (B) के बराबर तभी होगा जब (B) का हर तत्व (A) में हो। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The intersection equals (B) only when every element of (B) lies in (A). Hence \(B\subseteq A\).
तीनों समुच्चयों में सामान्य तत्व (3,5,9) हैं। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में हर तत्व तीनों में होना चाहिए। / The common elements in all three sets are (3,5,9). In a three-set intersection, each element must be in all three sets.
(A) के सभी विषम अभाज्य (B) में चले जाते हैं, केवल (2) बचता है। (19) भी (B) में है क्योंकि वह विषम और (20) से छोटा है। / All odd primes in (A) are in (B), so only (2) remains. (19) is also in (B) because it is odd and less than (20).
\(B\) के प्रत्येक तत्व का रूप \(4k\) है, और \(4k=2(2k)\) होने से वह \(2\) का गुणज भी है। अतः \(B\) का प्रत्येक तत्व \(A\) में होगा, इसलिए \(B\subseteq A\)। विकल्प \(A\subseteq B\) गलत है क्योंकि \(2\in A\), परंतु \(2\notin B\)। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय जाँचने के लिए एक समुच्चय के हर तत्व को दूसरे समुच्चय के नियम से मिलाइए। / Every element of \(B\) is of the form \(4k\), and \(4k=2(2k)\), so it is also a multiple of \(2\). Hence, every element of \(B\) belongs to \(A\), giving \(B\subseteq A\). The relation \(A\subseteq B\) is false because \(2\in A\) but \(2\notin B\). Exam tip: To test a subset relation, check whether every element satisfying one set's rule also satisfies the other set's rule.
दोनों शब्दों में आने वाले अलग-अलग अक्षर (A,I,M,S,T) हैं। समुच्चय में दोहराए गए अक्षर नहीं गिने जाते। / The distinct letters common to both words are (A,I,M,S,T). Repeated letters are not counted in a set.
A. (A) का कोई भी तत्व ऐसा नहीं है जो (B) में हो और (C) में न हो/No element of (A) is in (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) वे तत्व हैं जो (B) में हैं पर (C) में नहीं। (A) के साथ प्रतिच्छेद खाली होने का यही अर्थ है। / (B-C) contains elements in (B) but not in (C). Empty intersection with (A) means none of these lies in (A).
खाली समुच्चय संघ में कुछ नहीं जोड़ता, प्रतिच्छेद में कुछ सामान्य नहीं देता और अंतर में कुछ नहीं हटाता। इसलिए उत्तर \(A,\varnothing,A\) है। / The empty set adds nothing in union, gives nothing in intersection, and removes nothing in difference. Hence the answer is \(A,\varnothing,A\).
\(A\cap B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) और \(B\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। साथ ही, \(A\cup B=U\) होने से \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(B\) में होगा। इसलिए \(B\) में ठीक वे तत्व होंगे जो \(U\) में हैं, पर \(A\) में नहीं हैं। अतः \(B=A'\), जहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है। \(A\) स्वयं सही नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं। परीक्षा टिप: पूरक पहचानने के लिए जाँचें कि दो समुच्चयों का संघ सार्वत्रिक समुच्चय और प्रतिच्छेद रिक्त है या नहीं। / \(A\cap B=\varnothing\) means that \(A\) and \(B\) have no common elements. Also, \(A\cup B=U\) means every element of the universal set belongs to either \(A\) or \(B\). Hence, \(B\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(A\). Therefore, \(B=A'\), where \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\). \(A\) itself cannot be correct because the two sets are disjoint. Exam tip: To identify complementary sets, check whether their union is the universal set and their intersection is empty.
\(A-B\) में \(A\) के वे अवयव होते हैं जो \(B\) में नहीं हैं, अतः \(A-B=\{1,3,5\}\)। इसी प्रकार \(A-C=\{3,4,5,6\}\)। इन दोनों समुच्चयों का संघ लेने पर सभी भिन्न अवयव \(\{1,3,4,5,6\}\) मिलते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A-B\) है, जबकि प्रश्न में दोनों अंतर समुच्चयों का संघ पूछा गया है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक अंतर समुच्चय अलग-अलग निकालें, फिर संघ में दोहराए गए अवयव केवल एक बार लिखें। / \(A-B\) contains the elements of \(A\) that are not in \(B\), so \(A-B=\{1,3,5\}\). Similarly, \(A-C=\{3,4,5,6\}\). Taking their union gives all distinct elements, \(\{1,3,4,5,6\}\); hence option A is correct. Option B is only \(A-B\), whereas the question asks for the union of both difference sets. Exam tip: Find each difference set separately before combining them, and list repeated elements only once in a union.
समुच्चय \(B\) में \(A\) के केवल वे तत्व होंगे जो 5 से बड़े हैं, अर्थात \(B=\{7,11,13\}\)। क्योंकि \(B\subseteq A\), इसलिए \(A\cap B=B=\{7,11,13\}\)। विकल्प C में 5 शामिल है, लेकिन \(5>5\) सत्य नहीं है। परीक्षा टिप: समुच्चय-निर्माता रूप में दी गई असमानता को प्रत्येक तत्व पर जाँचें। / Set \(B\) contains only those elements of \(A\) that are greater than 5, so \(B=\{7,11,13\}\). Since \(B\subseteq A\), \(A\cap B=B=\{7,11,13\}\). Option C incorrectly includes 5, because \(5>5\) is false. Exam tip: Test the set-builder condition on each listed element carefully.
\(x^2-2x\le 0\) को \(x(x-2)\le 0\) लिखते हैं। यह असमता \(0\le x\le 2\) के लिए सत्य है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(B=\{0,1,2\}\)। ये तीनों तत्व \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में भी हैं, अतः \(A\cap B=\{0,1,2\}\)। विकल्प C में 0 छूट गया है। परीक्षा टिप: द्विघात असमता में पहले गुणनखंड करें, फिर मूलों के बीच का अंतराल जाँचें। / Write \(x^2-2x\le 0\) as \(x(x-2)\le 0\). This inequality holds for \(0\le x\le 2\). Since \(x\) is an integer, \(B=\{0,1,2\}\). All these elements also belong to \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so \(A\cap B=\{0,1,2\}\). Option C incorrectly omits 0. Exam tip: factor a quadratic inequality first, then check the interval between its roots.
सामान्य भाजक (36) और (48) के (\gcd(36,48)=12) के भाजक होते हैं। इसलिए ({1,2,3,4,6,12}) मिलेगा। / Common divisors of (36) and (48) are divisors of (\gcd(36,48)=12). Hence the set is ({1,2,3,4,6,12}).
(18) के भाजक ({1,2,3,6,9,18}) और (24) के भाजक ({1,2,3,4,6,8,12,24}) हैं। दोनों को बिना दोहराव मिलाने पर सही संघ मिलता है। / Divisors of (18) are ({1,2,3,6,9,18}), and divisors of (24) are ({1,2,3,4,6,8,12,24}). Combining without repetition gives the union.
\(x^2<9\) से \(-3<x<3\), अतः \(A=(-3,3)\) है। समुच्चय \(B\) में \(1\) और उससे बड़े सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। इसलिए \(A\) से \(1\) सहित उसके दाईं ओर के सभी अवयव हटाने पर \(A-B=(-3,1)\) मिलता है। \((-3,1]\) सही नहीं है, क्योंकि \(1\in B\) है और उसे अंतर समुच्चय में नहीं रखा जा सकता। परीक्षा टिप: \(A-B\) में केवल वे अवयव लें जो \(A\) में हों, पर \(B\) में न हों। / From \(x^2<9\), we get \(-3<x<3\); hence \(A=(-3,3)\). Set \(B\) contains \(1\) and every real number greater than \(1\). Removing these elements from \(A\) gives \(A-B=(-3,1)\). The interval \((-3,1]\) is incorrect because \(1\in B\), so it cannot belong to the difference set. Exam tip: In \(A-B\), keep elements that are in \(A\) but not in \(B\).
\(x^2\leq4\) से \(-2\leq x\leq2\), अतः \(B=[-2,2]\) है। समुच्चय \(A\) में सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\) और \(B\) का संघ \(-\infty\) से \(2\) तक के सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है। अतः \(A\cup B=( -\infty,2]\)। विकल्प \([-2,2]\) केवल \(B\) है; इसमें \(-2\) से छोटी ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा टिप: वर्ग वाली असमता में पहले दोनों ओर वर्गमूल लेकर सीमा-अंतराल लिखें। / From \(x^2\leq4\), we get \(-2\leq x\leq2\), so \(B=[-2,2]\). Set \(A\) contains every negative real number. Therefore, their union contains all real numbers from \(-\infty\) up to and including \(2\): \(A\cup B=( -\infty,2]\). The option \([-2,2]\) represents only \(B\), since it excludes negative numbers less than \(-2\). Exam tip: for a squared inequality, first find the interval satisfying it before performing set operations.
\(A\) में \(-5\) से \(5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, जबकि \(B\) में सभी विषम पूर्णांक हैं। अतः दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ तत्व \(-5,-3,-1,1,3,5\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएँ हैं और विकल्प D में ऋणात्मक विषम पूर्णांक छूट गए हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद \(A\cap B\) में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Set \(A\) contains all integers from \(-5\) to \(5\), while \(B\) contains all odd integers. Therefore, the elements common to both sets are \(-5,-3,-1,1,3,5\). Option B contains even integers, and option D omits the negative odd integers. Exam tip: In an intersection \(A\cap B\), include only elements that belong to both sets.
(B) हटाने पर (A) में कोई बदलाव नहीं हुआ, इसलिए (A) और (B) में कोई सामान्य तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / Removing (B) does not change (A), so (A) and (B) have no common element. Thus \(A\cap B=\varnothing\).
यदि कोई तत्व केवल (A) में हो तो वह (A-B) में होगा पर (B-A) में नहीं। समानता के लिए ऐसे तत्व नहीं हो सकते, इसलिए (A=B)। / If an element lies only in (A), it is in (A-B) but not in (B-A). For equality, no such element can exist, so (A=B).
सदैव \(A\cap B\subseteq A\cup B\) होता है। दोनों बराबर तभी हो सकते हैं जब (A) और (B) समान हों। / Always \(A\cap B\subseteq A\cup B\). They can be equal only when (A) and (B) are the same set.
\(A\cap B=\{3\}\), क्योंकि 3 ही दोनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ तत्व है। अतः \(A\cap B\) में 1 तत्व है। किसी \(n\)-तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^1=2\)। विकल्प 1 केवल प्रतिच्छेद में मौजूद तत्वों की संख्या बताता है, घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा टिप: पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें, फिर घात समुच्चय के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / \(A\cap B=\{3\}\), because 3 is the only common element of both sets. Thus, \(A\cap B\) has 1 element. The power set of a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^1=2\). Option 1 gives the number of elements in the intersection, not the number of elements in its power set. Exam tip: Find the intersection first, then use \(2^n\) for the size of its power set.
समुच्चयांतर \(A-B\) में वे तत्व आते हैं जो \(A\) में हैं, पर \(B\) में नहीं हैं। अतः \(A-B=\{1,2\}\), जिसमें 2 तत्व हैं। 2 तत्वों वाले समुच्चय के घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होते हैं। विकल्प 2 केवल \(A-B\) के तत्वों की संख्या है, घात समुच्चय के तत्वों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। / The difference \(A-B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Thus, \(A-B=\{1,2\}\), which has 2 elements. The power set of a set with 2 elements has \(2^2=4\) elements. Option 2 is only the number of elements in \(A-B\), not the number of elements in its power set. Exam tip: a set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets in its power set.
संघ (A-B), (B-A) और \(A\cap B\) के असंबद्ध भागों से बनता है। इसलिए (75=28+31+x), अतः (x=16)। / The union is made of disjoint parts (A-B), (B-A), and \(A\cap B\). So (75=28+31+x), hence (x=16).
यह सममित अंतर है, जिसमें सामान्य तत्व हट जाते हैं। सामान्य तत्व (2,4,6,8) हटाने पर ({1,3,5,7,10}) मिलता है। / This is the symmetric difference, where common elements are removed. Removing common elements (2,4,6,8) gives ({1,3,5,7,10}).
पहचान \(A-(A-B)=A\cap B\) लागू होती है, क्योंकि \(A\) के वे ही अवयव बचते हैं जो \(B\) में भी हों। दिया है कि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए \(A-(A-B)=\varnothing\)। \(A\) विकल्प सही नहीं है, क्योंकि \(A-B=A\) होने पर \(A-A=\varnothing\) मिलता है। परीक्षा टिप: अंतर वाले व्यंजक में पहले देखें कि कौन-से अवयव हटाए जा रहे हैं। / Use the identity \(A-(A-B)=A\cap B\): the elements left in \(A\) are exactly those that also belong to \(B\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we get \(A-(A-B)=\varnothing\). Option \(A\) is not correct because, for disjoint sets, \(A-B=A\), so the expression becomes \(A-A=\varnothing\). Exam tip: In set-difference expressions, first identify which elements are removed.
समुच्चयों में प्रतिच्छेद, संघ पर वितरित होता है। अतः \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)। विकल्प B सही वितरण नियम का रूप है, लेकिन वह \(A\cup(B\cap C)\) के बराबर होता है, न कि दिए गए व्यंजक के। परीक्षा टिप: \(\cap\) को पहले कोष्ठक के भीतर के दोनों समुच्चयों पर अलग-अलग लगाकर वितरण नियम याद रखें। / Intersection distributes over union in sets. Therefore, \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\). Option B is a valid distributive identity, but it is equal to \(A\cup(B\cap C)\), not to the given expression. Exam tip: distribute \(\cap\) to each set inside the union bracket.
समुच्चयों के लिए संघ, प्रतिच्छेद पर वितरित होता है: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B वास्तव में \(A\cap(B\cup C)\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वितरण नियम में संघ और प्रतिच्छेद की भूमिकाओं को ध्यान से पहचानें। / For sets, union distributes over intersection: \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\). Therefore, option A is correct. Option B represents \(A\cap(B\cup C)\), not the given expression. Exam tip: carefully track which operation is distributed and which operation appears inside the parentheses.
यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}:x\le 15\}\), \(B=\{x\in\mathbb{N}:3\mid x\}\) और \(C=\{x\in\mathbb{N}:5\mid x\}\) हैं, जहाँ \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\), तो \(A\cap(B\cup C)\) का मान क्या है?
पहले \(B\cup C\) में वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं जो 3 या 5 से विभाज्य हैं। \(A\) के कारण केवल 15 तक की संख्याएँ ली जाएँगी। अतः 3 के गुणज \(3,6,9,12,15\) और 5 के गुणज \(5,10,15\) मिलाकर \(\{3,5,6,9,10,12,15\}\) प्राप्त होता है। विकल्प C केवल 3 के गुणज और विकल्प D केवल 5 के गुणज देता है। परीक्षा-युक्ति: \(B\cup C\) में “या” तथा \(A\cap\cdots\) में A की सीमा दोनों लागू करें। / The set \(B\cup C\) contains all natural numbers divisible by 3 or by 5. Since we intersect with \(A\), only numbers up to 15 are considered. The multiples of 3 are \(3,6,9,12,15\), and the multiples of 5 are \(5,10,15\); their union is \(\{3,5,6,9,10,12,15\}\). Option C lists only multiples of 3, while option D lists only multiples of 5. Exam tip: in \(B\cup C\), “or” means include both groups, and the intersection with \(A\) imposes the upper limit of 15.
जो संख्याएं (2) और (3) दोनों से विभाज्य हैं, वे (6) से विभाज्य हैं। (30) तक ऐसी संख्याएं ({6,12,18,24,30}) हैं। / Numbers divisible by both (2) and (3) are divisible by (6). Up to (30), these are ({6,12,18,24,30}).
पहले B ∩ C ज्ञात करें। दोनों समुच्चयों में केवल 3 समान है, इसलिए B ∩ C = {3}। अब A − {3} का अर्थ A में से 3 को हटाना है, जिससे {1, 2, 4, 5} प्राप्त होता है। विकल्प D में 3 को हटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: जब कोष्ठक हों, तो पहले अंदर का प्रतिच्छेद निकालकर फिर समुच्चय का अंतर ज्ञात करें। / First find B ∩ C. The only common element of B and C is 3, so B ∩ C = {3}. Therefore, A − {3} means removing 3 from A, giving {1, 2, 4, 5}. Option D is incorrect because it does not remove 3. Exam tip: Evaluate the operation inside the parentheses first, then apply set difference.
समुच्चय \(A\) में \(-4\) से \(4\) तक के सभी पूर्णांक हैं। शर्त \(x^2\ge 9\) का अर्थ है \(|x|\ge 3\), इसलिए \(A\) के भीतर इसके अनुकूल मान \(-4,-3,3,4\) हैं। अतः \(A\cap B=\{-4,-3,3,4\}\)। विकल्प B में \(-4\) और \(4\) छूट गए हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\ge a^2\) को \(|x|\ge a\) के रूप में पहचानें। / Set \(A\) contains all integers from \(-4\) to \(4\). The condition \(x^2\ge 9\) is equivalent to \(|x|\ge 3\), so the values in \(A\) satisfying it are \(-4,-3,3,4\). Therefore, \(A\cap B=\{-4,-3,3,4\}\). Option B is incomplete because it omits \(-4\) and \(4\). Exam tip: Recognize \(x^2\ge a^2\) as \(|x|\ge a\).
A. (A) के अंदर (B) और (C) समान व्यवहार करते हैं/(B) and (C) behave the same inside (A)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए दोनों भाग (A) के भीतर (B) और (C) की सदस्यता को समान बनाते हैं। (A) के बाहर (B) और (C) अलग हो सकते हैं। / The two given parts make membership of (B) and (C) the same inside (A). Outside (A), (B) and (C) may differ.
