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दोनों वर्गमूलों से \(4\le x\le10\) और हर से \(x\ne6\) चाहिए। परीक्षा में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / The two square roots give \(4\le x\le10\) and the denominator gives \(x\ne6\). In exams take the intersection of all conditions.
A. प्रांत ( [-3,3] ), परिसर ( [0,3] )/Domain ( [-3,3] ), range ( [0,3] )
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{9-x^2}\) वास्तविक होने के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\) और \(f(x)\in[0,3]\)। परीक्षा में वर्गमूल वाले फलन में अंदर की राशि को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For \(\sqrt{9-x^2}\) to be real, \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\) and \(f(x)\in[0,3]\). In exams, always keep the expression inside a square root \(\ge 0\).
वर्गमूल के अंदर \(\frac{x-1}{x-7}\ge0\) और \(x\ne7\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-\infty,1]\cup\(7,\infty\)) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{x-1}{x-7}\ge0\) and \(x\ne7\). A sign table gives ((-\infty,1]\cup\(7,\infty\)).
हर में वर्गमूल है इसलिए ((x+2)(5-x)>0) चाहिए। परीक्षा में denominator radical के लिए बराबरी शामिल न करें। / The square root is in the denominator, so ((x+2)(5-x)>0) is required. In exams do not include equality for a denominator radical.
अंदर की राशि (x-2+4x-12=(x+6)(x-2)) है और उसे \(\ge0\) होना चाहिए। परीक्षा में upward quadratic के लिए बाहरी अंतराल चुनें। / The inside expression is (x-2+4x-12=(x+6)(x-2)) and it must be \(\ge0\). In exams choose the outer intervals for an upward quadratic.
वर्गमूल के लिए \(18-2x-x^2\ge0\) चाहिए। यह downward quadratic है इसलिए roots के बीच वाला बंद अंतराल डोमेन है। / The square root needs \(18-2x-x^2\ge0\). This is a downward quadratic, so the closed interval between the roots is the domain.
(x-2-10x+21=(x-5)2-4), इसलिए न्यूनतम (-4) है। परीक्षा में quadratic की रेंज के लिए पूर्ण वर्ग बनाएं। / (x-2-10x+21=(x-5)2-4), so the minimum is (-4). In exams complete the square to find the range of a quadratic.
क्योंकि ((x-5)2\ge0), इसलिए (12-(x-5)2\le12)। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय की अधिकतम वैल्यू देखें। / Since ((x-5)2\ge0), (12-(x-5)2\le12). In exams check the maximum value of a downward-opening parabola.
अंदर (x-2+8x+20=(x+4)2+4) है, इसलिए न्यूनतम (4) है। वर्गमूल लेने पर रेंज \([2,\infty\)) होगी। / Inside, (x-2+8x+20=(x+4)2+4), so the minimum is (4). Taking square root gives the range \([2,\infty\)).
डोमेन पर अंदर की वैल्यू (0) से (49) तक हो सकती है। इसलिए वर्गमूल की रेंज ([0,7]) है। / On the domain, the inside value can vary from (0) to (49). Hence the square-root range is ([0,7]).
हर (x-2-6x+13=(x-3)2+4) है, जिसकी न्यूनतम वैल्यू (4) है। इसलिए output (0) से बड़ा और \(\frac{1}{4}\) तक है। / The denominator (x-2-6x+13=(x-3)2+4), whose minimum value is (4). So the output is greater than (0) and up to \(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{x^2+2}\) की रेंज ( \(0,\frac{3}{2}]\) है। इसमें (-5) जोड़ने पर (\(-5,-\frac{7}{2}]\) मिलता है। / The range of \(\frac{3}{x^2+2}\) is ( \(0,\frac{3}{2}]\). Adding (-5) gives (\(-5,-\frac{7}{2}]\).
\(\frac{x^2+3}{x^2+7}=1-\frac{4}{x^2+7}\) है। (x=0) पर \(\frac{3}{7}\) मिलता है और (1) कभी नहीं मिलता। / \(\frac{x^2+3}{x^2+7}=1-\frac{4}{x^2+7}\). At (x=0), \(\frac{3}{7}\) is obtained and (1) is never obtained.
\(\frac{x^2+5}{x^2+1}=1+\frac{4}{x^2+1}\) है। अधिकतम (5) मिलता है, लेकिन (1) केवल limit है। / \(\frac{x^2+5}{x^2+1}=1+\frac{4}{x^2+1}\). The maximum (5) is attained, but (1) is only a limit.
हर (|x+4|+3) की न्यूनतम वैल्यू (3) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए रेंज ( \(0,\frac{1}{3}]\) है। / The denominator (|x+4|+3) has minimum value (3) and can grow without bound. Hence the range is ( \(0,\frac{1}{3}]\).
(|x-6|) की न्यूनतम वैल्यू (0) है। इसलिए (2|x-6|-1) की न्यूनतम वैल्यू (-1) होगी। / The minimum value of (|x-6|) is (0). Therefore the minimum value of (2|x-6|-1) is (-1).
क्योंकि \(|x+1|\ge0\), इसलिए \(9-3|x+1|\le9\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative coefficient से range की दिशा बदलती है। / Since \(|x+1|\ge0\), \(9-3|x+1|\le9\) and can go down without bound. In exams a negative coefficient changes the range direction.
\(\sqrt{x+12}\ge0\), इसलिए (f(x)\ge-7)। परीक्षा में बाहर घटाई गई संख्या वर्गमूल की रेंज को नीचे shift करती है। / \(\sqrt{x+12}\ge0\), so (f(x)\ge-7). In exams an outside subtraction shifts the square-root range downward.
\(\sqrt{x-5}\ge0\), इसलिए \(4-\sqrt{x-5}\le4\)। परीक्षा में वर्गमूल से पहले ऋण चिह्न हो तो output नीचे की ओर जाता है। / \(\sqrt{x-5}\ge0\), so \(4-\sqrt{x-5}\le4\). In exams if a minus sign is before the square root, outputs go downward.
ऋणात्मक अंतराल पर \(x^2\) की सबसे छोटी वैल्यू (9) और सबसे बड़ी (49) है। परीक्षा में interval में (0) न हो तो endpoints जांचें। / On the negative interval, the smallest value of \(x^2\) is (9) and the largest is (49). In exams check endpoints when (0) is not in the interval.
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) है और (6) शामिल नहीं इसलिए (36) शामिल नहीं होगा। परीक्षा में खुले endpoint का असर रेंज पर देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0), and (6) is not included, so (36) is not included. In exams check how an open endpoint affects the range.
(5x-4) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। (x=-3) खुला है इसलिए (-19) खुला और (x=2) से (6) शामिल है। / (5x-4) is an increasing linear function. Since (x=-3) is open, (-19) is open, and (x=2) gives included (6).
फलन घटता है, (x=1) पर (3) और \(x\to5\) पर (-13) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में range का क्रम उलट जाता है। / The function is decreasing; at (x=1) it gives (3), and as \(x\to5\) it approaches (-13), not included. In exams the range order reverses for a decreasing function.
डोमेन में (x=5) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और दूर endpoint (12) से maximum (7) है। परीक्षा में modulus का zero point देखें। / The domain contains (x=5), so the minimum is (0), and the far endpoint (12) gives maximum (7). In exams check the zero point of modulus.
इस अंतराल में (x+3) ऋणात्मक है, इसलिए (|x+3|=-(x+3))। (x=-4) से (1) शामिल और (x=-8) से (5) खुला है। / In this interval, (x+3) is negative, so (|x+3|=-(x+3)). (x=-4) gives included (1) and (x=-8) gives open (5).
\(\sqrt{x+4}\) बढ़ता हुआ फलन है और endpoints पर (0) तथा (4) देता है। परीक्षा में closed domain हो तो endpoint values शामिल करें। / \(\sqrt{x+4}\) is an increasing function and gives (0) and (4) at the endpoints. In exams include endpoint values for a closed domain.
इस domain पर denominator धनात्मक है और reciprocal घटता है। (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और (x=9) से \(\frac{1}{8}\) मिलता है। / On this domain the denominator is positive and the reciprocal decreases. (x=3) gives \(\frac{1}{2}\) and (x=9) gives \(\frac{1}{8}\).
(x+2) की वैल्यू ([-4,-1]) में है, इसलिए reciprocal \([-1,-\frac{1}{4}]\) देता है। परीक्षा में ऋणात्मक denominator पर क्रम सावधानी से रखें। / The value of (x+2) lies in ([-4,-1]), so the reciprocal gives \([-1,-\frac{1}{4}]\). In exams handle the order carefully for negative denominators.
\(\frac{1}{x-9}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (4) output नहीं बन सकता। परीक्षा में vertical shift से excluded range value पहचानें। / \(\frac{1}{x-9}\) is never (0), so output (4) cannot occur. In exams identify the excluded range value after a vertical shift.
\(\frac{6}{x+5}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-2) output नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal function की horizontal और vertical shift अलग पहचानें। / \(\frac{6}{x+5}\) is never (0), so output (-2) is not obtained. In exams identify horizontal and vertical shifts of reciprocal functions separately.
\(\frac{x}{x^2-9}\) में हर ((x-3)(x+3)) है, इसलिए \(x=\pm3\) हटते हैं। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / In \(\frac{x}{x^2-9}\), the denominator is ((x-3)(x+3)), so \(x=\pm3\) are removed. In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\frac{2}{x-1}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (5) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal की vertical shift वाली range पहचानें। / \(\frac{2}{x-1}\) is never (0), so output (5) cannot occur. In exams identify the range of a vertically shifted reciprocal.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([5,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([5,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+25\ge25\), इसलिए (f(x)\ge5) और हर वास्तविक (x) स्वीकार्य है। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+25\ge25\), (f(x)\ge5) and every real (x) is allowed. In exams first check the minimum value inside.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-16\) तब (0) होता है जब (x=-4) या (x=4)। परीक्षा में denominator को (0) बनाने वाली values हटाएं। / The denominator \(x^2-16\) becomes (0) when (x=-4) or (x=4). In exams remove values that make the denominator (0).
\(\sqrt{x+6}=4\) से (x+6=16), इसलिए (x=10)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद उत्तर को मूल शर्त में जांचें। / \(\sqrt{x+6}=4\) gives (x+6=16), so (x=10). In exams check the answer in the original condition after squaring.
(|x-7|=11) से (x-7=11) या (x-7=-11) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण की दोनों शाखाएं लें। / (|x-7|=11) gives (x-7=11) or (x-7=-11). In exams take both branches of a modulus equation.
(f(-1)=(-1)2-5(-1)+2=8) है। परीक्षा में ऋणात्मक input के लिए brackets का प्रयोग करें। / (f(-1)=(-1)2-5(-1)+2=8). In exams use brackets for a negative input.
(f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}) है। परीक्षा में denominator की sign पर ध्यान दें। / (f(0)=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}). In exams pay attention to the sign of the denominator.
(f(-10)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8) है। परीक्षा में वर्गमूल की principal value non-negative होती है। / (f(-10)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8). In exams the principal value of the square root is non-negative.
क्योंकि \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-15\ge-15\)। परीक्षा में square function की minimum value (0) याद रखें। / Since \(x^2\ge0\), \(x^2-15\ge-15\). In exams remember that the minimum value of the square function is (0).
A. रेंज \([11,\infty\)) है और codomain \(\mathbb{R}\) है/Range is \([11,\infty\)) and codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
notation में दूसरा समुच्चय codomain \(\mathbb{R}\) है, जबकि वास्तविक outputs \([11,\infty\)) हैं। परीक्षा में range और codomain को अलग रखें। / In the notation, the second set is the codomain \(\mathbb{R}\), while actual outputs are \([11,\infty\)). In exams keep range and codomain separate.
(f(-4)=8), (f(-2)=0), और (f(1)=3) हैं। परीक्षा में finite domain में हर input की image निकालें। / (f(-4)=8), (f(-2)=0), and (f(1)=3). In exams find the image of every input in a finite domain.
दिए inputs पर outputs (0,1,2,3) मिलते हैं। परीक्षा में set domain में केवल दिए गए elements का उपयोग करें। / For the given inputs, the outputs are (0,1,2,3). In exams use only the given elements in a set domain.
outputs (5,2,0,3) हैं और set में इन्हें ({0,2,3,5}) लिखा जाता है। परीक्षा में repeated या unordered values को set form में लिखें। / The outputs are (5,2,0,3), written as ({0,2,3,5}) in set form. In exams write repeated or unordered values in set form.
वर्गमूल के अंदर \(\frac{6-x}{x+2}\ge0\) और \(x\ne-2\) चाहिए। संकेत तालिका से ((-2,6]) मिलता है। / The expression inside the square root must satisfy \(\frac{6-x}{x+2}\ge0\) and \(x\ne-2\). A sign table gives ((-2,6]).
शर्त \(\frac{x+5}{9-x}\ge0\) और \(x\ne9\) है। संकेत तालिका से ([-5,9)) सही डोमेन मिलता है। / The condition is \(\frac{x+5}{9-x}\ge0\) and \(x\ne9\). A sign table gives the correct domain ([-5,9)).
ऊपर के वर्गमूल से \(x\ge2\) और नीचे के वर्गमूल से (8-x>0) चाहिए। इसलिए डोमेन ([2,8)) है। / The numerator square root gives \(x\ge2\) and the denominator square root gives (8-x>0). Hence the domain is ([2,8)).
ऊपर के वर्गमूल से \(x\le11\) और नीचे के वर्गमूल से (x+1>0) चाहिए। इसलिए \(-1<x\le11\) है। / The numerator square root gives \(x\le11\) and the denominator square root gives (x+1>0). Therefore \(-1<x\le11\).
(x=2) शामिल है इसलिए output (0) शामिल है, लेकिन (x=18) खुला है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में endpoint की openness रेंज में भी देखें। / Since (x=2) is included, output (0) is included, but (x=18) is open, so (4) is not included. In exams track endpoint openness in the range.
(x=20) शामिल है इसलिए output (0) शामिल है, और (x=4) खुला है इसलिए output (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में decreasing square-root expression में endpoints उलट जाते हैं। / Since (x=20) is included, output (0) is included, and since (x=4) is open, output (4) is not included. In exams endpoints reverse for a decreasing square-root expression.
