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(f(-1)=1), (f(0)=0), (f(1)=1) और (f(2)=4), इसलिए परिसर ({0,1,4}) है। परीक्षा में दोहराई छवि को एक बार लिखें। / (f(-1)=1), (f(0)=0), (f(1)=1), and (f(2)=4), so the range is ({0,1,4}). In exams, write repeated images only once.
हर युग्म में दूसरा घटक पहले घटक से (1) अधिक है। परीक्षा में नियम पहचानने के लिए सभी युग्मों पर एक ही पैटर्न जांचें। / In every pair, the second component is (1) more than the first. In exams, test one common pattern on all pairs.
(f(2)=2+2=4), इसलिए ((2,3)) इस फलन में नहीं होगा। परीक्षा में हर युग्म को नियम से मिलाएं। / (f(2)=2+2=4), so ((2,3)) will not be in this function. In exams, match each pair with the rule.
हर (A) के तत्व के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) लगाएं। / Each element of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^3=8\). In exams, use (n(B)^{n(A)}).
A. क्योंकि (2) की दो अलग छवियां हैं/Because (2) has two different images
Explanation
Simple Explanation
(2) को (q) और (r) दोनों से जोड़ा गया है, इसलिए यह फलन नहीं है। परीक्षा में दोहराए पहले घटक की अलग छवियां देखें। / (2) is associated with both (q) and (r), so it is not a function. In exams, check different images of a repeated first component.
(4) सम है, इसलिए (f(4)=0) होगा। परीक्षा में पीसवाइज नियम में शर्त पहले पहचानें। / (4) is even, so (f(4)=0). In exams, identify the condition first in a piecewise rule.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होती है, इसलिए युग्मों की संख्या (3) होगी। परीक्षा में फलन के युग्म प्रांत के तत्वों के बराबर होते हैं। / A function assigns exactly one image to every element of domain (A), so it will have (3) pairs. In exams, pairs in a function equal the number of domain elements.
परिसर ({1,4,9}) है, इसलिए (16) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({1,4,9}), so (16) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
सभी प्रांत तत्वों की छवि (a) है, इसलिए यह स्थिर फलन है। परीक्षा में समान छवि आने से फलन गलत नहीं होता। / All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, the same image does not make a function invalid.
A. यह फलन है क्योंकि हर (x) की ठीक एक छवि है/It is a function because every (x) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए (|x|) एक निश्चित वास्तविक मान देता है। दो अलग इनपुट की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता। / For every real (x), (|x|) gives one definite real value. Two different inputs having the same image does not invalidate a function.
A. क्योंकि (x=2) पर हर (0) हो जाता है/Because the denominator becomes (0) at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) प्रांत में है पर (f(2)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर भिन्न में हर शून्य करने वाले मान खोजें। / (x=2) is in the domain but (f(2)) is not defined. In exams, find values that make the denominator zero.
A. क्योंकि (x=2) को प्रांत से हटाया गया है/Because (x=2) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
जिस मान पर हर (0) होता था, उसे प्रांत से हटाने पर हर शेष (x) की एक छवि है। परीक्षा में प्रांत बदलने से नियम वैध हो सकता है। / After removing the value that made the denominator (0), every remaining (x) has one image. In exams, changing the domain can make a rule valid.
(3) की दो अलग छवियां (6) और (4) हैं। परीक्षा में एक प्रांत तत्व की दो छवियां मिलें तो संबंध फलन नहीं है। / (3) has two different images (6) and (4). In exams, if one domain element has two images, the relation is not a function.
(A) में विषम और सम दोनों प्रकार के तत्व हैं, इसलिए छवियां (1) और (0) दोनों मिलती हैं। परीक्षा में परिसर में केवल प्राप्त मान रखें। / (A) has both odd and even elements, so both images (1) and (0) are obtained. In exams, put only obtained values in the range.
\(A\times B\) में \(2\times 3=6\) युग्म हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में संबंध की गिनती उपसमुच्चयों से होती है। / \(A\times B\) has \(2\times 3=6\) pairs, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, relations are counted as subsets.
प्रांत के (2) तत्वों के लिए सहप्रांत की (3) पसंद हैं, इसलिए कुल \(3^2=9\) फलन हैं। परीक्षा में फलन और संबंध की संख्या अलग रखें। / For (2) domain elements, there are (3) codomain choices each, so total functions are \(3^2=9\). In exams, keep the counts of functions and relations separate.
उल्टे संबंध में हर पहले घटक (2,4,6) की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध भी अलग से फलन शर्त से जांचें। / In the reversed relation, each first component (2,4,6) has exactly one image. In exams, test the inverse relation separately by the function condition.
(x=0,1,2,3) रखने पर छवियां (1,2,3,4) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर निकालते समय हर प्रांत तत्व पर नियम लगाएं। / Substituting (x=0,1,2,3) gives images (1,2,3,4). In exams, apply the rule to every domain element while finding range.
A. क्योंकि (2) की कोई छवि नहीं है/Because (2) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए, पर (2) छूट गया है। परीक्षा में पहले घटकों को पूरे प्रांत से मिलाएं। / Every element of (A) must have exactly one image in a function, but (2) is missing. In exams, compare first components with the whole domain.
क्योंकि \(2\le 2\), इसलिए (f(2)=1) है। परीक्षा में \(\le\) और (<) के अंतर को ध्यान से देखें। / Because \(2\le 2\), (f(2)=1). In exams, watch the difference between \(\le\) and (<).
क्योंकि \(2\ge 2\), इसलिए (f(2)=2) है। परीक्षा में सीमा बिंदु किस शर्त में आता है यह जांचें। / Because \(2\ge 2\), (f(2)=2). In exams, check which condition contains the boundary point.
विकल्प (A) में (1,2,3) सभी की ठीक एक छवि है। परीक्षा में हर प्रांत तत्व का आना जरूरी है। / In option (A), all (1,2,3) have exactly one image. In exams, every domain element must appear.
(f(a)=b) में (a) पूर्वछवि और (b) छवि कहलाता है। परीक्षा में इन दोनों शब्दों को उल्टा न करें। / In (f(a)=b), (a) is called the preimage and (b) is called the image. In exams, do not reverse these two terms.
(b), (a) की छवि है क्योंकि (a) पर (f) लगाने से (b) मिलता है। परीक्षा में (f(a)) को आउटपुट समझें। / (b) is the image of (a) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, understand (f(a)) as the output.
प्रांत पहले घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({1,2,3,4}) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों के पहले घटक देखें। / The domain is the set of first components, so it is ({1,2,3,4}). In exams, look at the first components of ordered pairs.
परिसर अलग-अलग दूसरे घटकों का समुच्चय है, इसलिए ({3,5}) है। परीक्षा में दोहराए मान को समुच्चय में एक बार लिखें। / The range is the set of distinct second components, so it is ({3,5}). In exams, write a repeated value once in a set.
(1,2,3) को (2) से भाग देने पर शेषफल (1,0,1) हैं। इसलिए परिसर ({0,1}) है। / Dividing (1,2,3) by (2) gives remainders (1,0,1). Therefore the range is ({0,1}).
परिसर ({4,9,16}) है, इसलिए (25) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में सहप्रांत का हर तत्व जरूरी नहीं कि परिसर हो। / The range is ({4,9,16}), so (25) is not obtained. In exams, every codomain element need not be in the range.
(x=1,2,3,4) रखने पर छवियां (4,3,2,1) मिलती हैं। परीक्षा में हर इनपुट का आउटपुट क्रम से लिखें। / Putting (x=1,2,3,4) gives images (4,3,2,1). In exams, write the output of each input in order.
(f(1)=1), (f(2)=3) और (f(3)=5) हैं। परीक्षा में परिसर केवल प्राप्त छवियों का समुच्चय है। / (f(1)=1), (f(2)=3), and (f(3)=5). In exams, the range is only the set of obtained images.
स्थिर फलन में सभी प्रांत तत्वों की छवि (B) के किसी एक तत्व पर जाती है। इसलिए स्थिर फलनों की संख्या (4) है। / In a constant function, all domain elements map to one chosen element of (B). Therefore the number of constant functions is (4).
दूसरे घटक (u,v,w) सभी प्राप्त छवियां हैं। परीक्षा में परिसर दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। / The second components (u,v,w) are all obtained images. In exams, the range is the set of second components.
विकल्प (A) में (3) की कोई छवि नहीं है। परीक्षा में फलन के लिए पूरा प्रांत कवर होना चाहिए। / In option (A), (3) has no image. In exams, the whole domain must be covered for a function.
(x=1,2,3) रखने पर (y=4,5,6) मिलता है। परीक्षा में सेट-बिल्डर नियम को युग्मों में बदलकर जांचें। / Putting (x=1,2,3) gives (y=4,5,6). In exams, convert set-builder rules into pairs for checking.
A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (1) और (-1) हैं/Because (x=1) has two images (1) and (-1)
Explanation
Simple Explanation
\(y^2=1\) से (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। परीक्षा में एक इनपुट की दो छवियां मिलें तो फलन नहीं होता। / From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one input has two images, it is not a function.
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x^2\in B\) और छवि ठीक एक है। परीक्षा में नियम की छवियां सहप्रांत में हैं या नहीं, यह देखें। / For every \(x\in A\), \(x^2\in B\) and the image is exactly one. In exams, check whether the rule's images lie in the codomain.
\(2^1=2\), \(2^2=4\) और \(2^3=8\), इसलिए परिसर ({2,4,8}) है। परीक्षा में घातीय नियम में हर इनपुट रखें। / \(2^1=2\), \(2^2=4\), and \(2^3=8\), so the range is ({2,4,8}). In exams, substitute every input in an exponential rule.
A. क्योंकि (f(1)=-1) है और \(-1\notin{0,1,2}\)/Because (f(1)=-1) and \(-1\notin{0,1,2}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(1)=-1) सहप्रांत (B) में नहीं है, इसलिए यह (A) से (B) में फलन नहीं होगा। परीक्षा में आउटपुट सहप्रांत में होना चाहिए। / (f(1)=-1) is not in codomain (B), so it is not a function from (A) to (B). In exams, every output must lie in the codomain.
(f(2)=0), (f(3)=1) और (f(4)=2), इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में डोमेन बदलने से परिसर भी बदलता है। / (f(2)=0), (f(3)=1), and (f(4)=2), so the range is ({0,1,2}). In exams, changing the domain changes the range too.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक फलन के लिए छवियों की पुनरावृत्ति न हो। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, for a one-one function, images should not repeat.
A. (d) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(d) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(d) सहप्रांत (B) का तत्व है पर कोई प्रांत तत्व उस पर नहीं जा रहा। परीक्षा में सहप्रांत में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं। / (d) is an element of codomain (B), but no domain element maps to it. In exams, the codomain may contain extra elements.
(A) के (4) तत्वों के लिए (B) की (2) पसंद हैं, इसलिए \(2^4=16\) फलन हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत की संख्या होती है। / There are (2) choices from (B) for each of the (4) elements of (A), so there are \(2^4=16\) functions. In exams, the base is the size of the codomain.
\(A\times B\) में \(4\times 2=8\) युग्म हैं, इसलिए कुल संबंध \(2^8=256\) हैं। परीक्षा में संबंधों के लिए कार्टेशियन गुणनफल के उपसमुच्चय गिनें। / \(A\times B\) has \(4\times 2=8\) pairs, so total relations are \(2^8=256\). In exams, count subsets of the Cartesian product for relations.
A. (f) फलन है और इसका परिसर ({0,1,4}) है/(f) is a function and its range is ({0,1,4})
Explanation
Simple Explanation
हर प्रांत तत्व की ठीक एक छवि है और छवियां ({0,1,4}) हैं। परीक्षा में प्रांत और परिसर को अलग-अलग पहचानें। / Every domain element has exactly one image and the images are ({0,1,4}). In exams, identify domain and range separately.
A. (12) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं/(12) is in the codomain but not in the range
Explanation
Simple Explanation
(f(1),f(2),f(3)) से (3,6,9) मिलते हैं, (12) नहीं। परीक्षा में अप्राप्त सहप्रांत तत्व को परिसर में न रखें। / (f(1),f(2),f(3)) give (3,6,9), not (12). In exams, do not put an unattained codomain element in the range.
हर प्रांत तत्व (0) या (1) में से किसी एक पर जा सकता है, इसलिए प्रत्येक के लिए (2) पसंद हैं। परीक्षा में कुल गिनती के लिए इन पसंदों को गुणा करें। / Each domain element can map to either (0) or (1), so there are (2) choices for each. In exams, multiply these choices for the total count.
प्रांत (A) में केवल (3) की छवि नहीं है, इसलिए ((3,5)) जोड़ने से हर तत्व की ठीक एक छवि हो जाएगी। परीक्षा में पहले छूटे हुए प्रांत तत्व को पहचानें। / Only (3) in domain (A) has no image, so adding ((3,5)) gives every element exactly one image. In exams, first identify the missing domain element.
