Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह (A) से (B) में फलन है/It is a function from (A) to (B)
Explanation
Simple Explanation
(A) के प्रत्येक तत्व की (B) में ठीक एक छवि है। परीक्षा में दूसरे घटक के दोहराने से फलन गलत नहीं होता। / Each element of (A) has exactly one image in (B). In exams, repetition of the second component does not make a function invalid.
A. क्योंकि (1) की दो अलग-अलग छवियां हैं/Because (1) has two different images
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन में प्रांत के एक तत्व की दो अलग छवियां नहीं हो सकतीं। परीक्षा में समान पहले घटक को ध्यान से जांचें। / In a function, one domain element cannot have two different images. In exams, check repeated first components carefully.
A. क्योंकि (6) की कोई छवि नहीं है/Because (6) has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन के लिए (A) के हर तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए। परीक्षा में छूटा हुआ प्रांत तत्व तुरंत पहचानें। / For a function, every element of (A) must have exactly one image. In exams, identify a missing domain element quickly.
(A) के (2) तत्वों में से प्रत्येक के लिए (B) की (3) पसंद हैं इसलिए कुल \(3^2=9\) फलन हैं। परीक्षा में सूत्र (n(B)^{n(A)}) याद रखें। / Each of the (2) elements of (A) has (3) choices in (B), so total functions are \(3^2=9\). In exams, remember the formula (n(B)^{n(A)}).
यहां (n(A)=3) और (n(B)=2) है इसलिए कुल फलन \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / Here (n(A)=3) and (n(B)=2), so total functions are \(2^3=8\). In exams, the base is the number of elements in the codomain.
(x=1,2,3) रखने पर छवियां (2,4,6) मिलती हैं। परीक्षा में परिसर केवल प्राप्त छवियों का समुच्चय होता है। / Putting (x=1,2,3) gives images (2,4,6). In exams, the range is only the set of actually obtained images.
(3) विषम है इसलिए उसकी छवि (1) होगी। परीक्षा में नियम को पहले पढ़ें फिर मान रखें। / (3) is odd, so its image is (1). In exams, read the rule first and then substitute the value.
A. यह फलन है और प्रत्येक तत्व की छवि (1) अधिक है/It is a function and each image is (1) more
Explanation
Simple Explanation
हर पहले घटक की ठीक एक छवि है और वह (x+1) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों से नियम पहचानना उपयोगी होता है। / Every first component has exactly one image and it is (x+1). In exams, identifying the rule from ordered pairs is useful.
C. किसी \(a\in A\) की दो अलग छवियां हों/Some \(a\in A\) has two different images
Explanation
Simple Explanation
फलन में एक प्रांत तत्व को दो अलग छवियों से नहीं जोड़ा जा सकता। परीक्षा में यह सबसे सामान्य गलती होती है। / In a function, one domain element cannot be associated with two different images. This is the most common exam mistake.
विकल्प (A) में (A) के हर तत्व (1,2,3) की ठीक एक छवि है। परीक्षा में पहले घटकों की सूची को (A) से मिलाएं। / In option (A), every element (1,2,3) of (A) has exactly one image. In exams, match the list of first components with (A).
(g(0)=1), (g(1)=2) और (g(2)=5), इसलिए परिसर ({1,2,5}) है। परीक्षा में हर प्रांत तत्व पर नियम लगाएं। / (g(0)=1), (g(1)=2), and (g(2)=5), so the range is ({1,2,5}). In exams, apply the rule to every domain element.
प्रत्येक (x) के लिए \(y=x^2\) से केवल एक छवि मिलती है। दो अलग (x) की समान छवि होना फलन को गलत नहीं करता। / For each (x), \(y=x^2\) gives only one image. Two different (x) values having the same image does not invalidate a function.
(2) की दो छवियां (6) और (7) हैं। परीक्षा में दोहराए गए पहले घटक को तुरंत जांचें। / (2) has two images (6) and (7). In exams, check any repeated first component immediately.
परिसर अलग-अलग प्राप्त छवियों का समुच्चय है इसलिए ({1,2}) मिलेगा। परीक्षा में दोहराई छवियों को एक बार लिखें। / The range is the set of distinct obtained images, so it is ({1,2}). In exams, write repeated images only once.
(A) के (2) तत्वों के लिए (B) की (4) पसंद हैं इसलिए \(4^2=16\) फलन हैं। परीक्षा में घात प्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / There are (4) choices for each of the (2) elements of (A), so there are \(4^2=16\) functions. In exams, the exponent is the number of domain elements.
स्थिर फलन में सभी तत्वों की एक ही छवि होती है और वह (B) के किसी एक तत्व से चुनी जाती है। इसलिए (2) स्थिर फलन हैं। / In a constant function, all elements have the same image, chosen from one element of (B). Therefore there are (2) constant functions.
\(1^2=1\), \(2^2=4\) और \(3^2=9\) हैं। परीक्षा में पहले घटक प्रांत से और दूसरा घटक छवि से आता है। / \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\). In exams, the first component comes from the domain and the second from the image.
\(f:A\to B\) में (A) प्रांत और (B) सहप्रांत होता है। परीक्षा में संकेत \(f:A\to B\) को ध्यान से पढ़ें। / In \(f:A\to B\), (A) is the domain and (B) is the codomain. In exams, read the notation \(f:A\to B\) carefully.
वास्तविक रूप से प्राप्त छवियों का समुच्चय परिसर कहलाता है। परीक्षा में परिसर हमेशा सहप्रांत का उपसमुच्चय होता है। / The set of actually obtained images is called the range. In exams, the range is always a subset of the codomain.
परिसर ({2,3,4}) है इसलिए (5) सहप्रांत में है पर परिसर में नहीं। परीक्षा में सहप्रांत और परिसर को अलग रखें। / The range is ({2,3,4}), so (5) is in the codomain but not in the range. In exams, keep codomain and range separate.
विकल्प (D) में (3) की दो छवियां (c) और (d) हैं तथा (4) की छवि नहीं है। परीक्षा में दोनों शर्तें जांचें। / In option (D), (3) has two images (c) and (d), and (4) has no image. In exams, check both conditions.
हर क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का (2) गुना है। परीक्षा में दो युग्मों से नियम जांचकर बाकी पर पुष्टि करें। / In every ordered pair, the second component is (2) times the first. In exams, test the rule on two pairs and confirm with the rest.
\(A\times B\) में \(3\times 2=6\) तत्व हैं इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में संबंध और फलन की गिनती अलग होती है। / \(A\times B\) has \(3\times 2=6\) elements, so the number of relations is \(2^6=64\). In exams, counting relations and functions is different.
फलनों की संख्या (n(B)^{n(A)}=23=8) है। परीक्षा में संबंधों की संख्या \(2^{n(A)n(B)}\) से भ्रम न करें। / The number of functions is (n(B)^{n(A)}=23=8). In exams, do not confuse it with the number of relations \(2^{n(A)n(B)}\).
B. (f) फलन है क्योंकि हर (x) की एक ही निश्चित छवि है/(f) is a function because every (x) has one definite image
Explanation
Simple Explanation
हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) एक निश्चित वास्तविक संख्या देता है। समान छवि आना फलन की शर्त नहीं तोड़ता। / For every real (x), \(x^2\) gives one definite real number. Having the same image does not break the function condition.
A. क्योंकि ऋणात्मक (x) के लिए \(\sqrt{x}\) वास्तविक नहीं है/Because \(\sqrt{x}\) is not real for negative (x)
Explanation
Simple Explanation
यदि प्रांत \(\mathbb{R}\) है तो हर वास्तविक (x) की वास्तविक छवि चाहिए। ऋणात्मक (x) के कारण नियम पूरे प्रांत पर लागू नहीं होता। / If the domain is \(\mathbb{R}\), every real (x) must have a real image. Negative (x) values make the rule invalid on the whole domain.
A. (x=0) पर \(\frac{1}{x}\) परिभाषित नहीं है/\(\frac{1}{x}\) is not defined at (x=0)
Explanation
Simple Explanation
(x=0) प्रांत में है पर (f(0)) परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर नियम के अपवाद मान को जांचें। / (x=0) is in the domain but (f(0)) is not defined. In exams, check exceptional values of every rule.
A. क्योंकि (0) को प्रांत से हटा दिया गया है/Because (0) is removed from the domain
Explanation
Simple Explanation
प्रांत में (0) नहीं है और बाकी हर (x) के लिए \(\frac{1}{x}\) परिभाषित है। परीक्षा में प्रांत बदलने से फलन की वैधता बदल सकती है। / (0) is not in the domain, and \(\frac{1}{x}\) is defined for every remaining (x). In exams, changing the domain can change validity as a function.
A. क्योंकि (x=1) की दो छवियां (y=1) और (y=-1) हैं/Because (x=1) has two images (y=1) and (y=-1)
Explanation
Simple Explanation
\(y^2=1\) से (y=1) और (y=-1) दोनों मिलते हैं। परीक्षा में एक पहले घटक की एक से अधिक छवि होने पर फलन नहीं होता। / From \(y^2=1\), both (y=1) and (y=-1) are obtained. In exams, if one first component has more than one image, it is not a function.
A. यह फलन है क्योंकि दोहराया युग्म नया अलग चित्र नहीं देता/It is a function because the repeated pair does not give a new different image
Explanation
Simple Explanation
समान क्रमित युग्म को दोहराने से किसी तत्व की अलग छवि नहीं बनती। परीक्षा में अलग छवियों को देखें, केवल पुनरावृत्ति को नहीं। / Repeating the same ordered pair does not create a different image for an element. In exams, look for different images, not mere repetition.
क्योंकि \(2\le 2\), इसलिए (h(2)=0) होगा। परीक्षा में असमानता में बराबरी का चिन्ह ध्यान से देखें। / Because \(2\le 2\), (h(2)=0). In exams, watch the equality sign in inequalities carefully.
सम और विषम दोनों प्रकार के तत्व (A) में हैं इसलिए छवियां (0) और (1) दोनों मिलती हैं। परीक्षा में सभी प्रकार के प्रांत तत्व देखें। / Both even and odd elements are present in (A), so both images (0) and (1) occur. In exams, check all types of domain elements.
विकल्प (A) में (1) और (2) दोनों की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उपसमुच्चय भी तभी फलन है जब पूरा प्रांत शामिल हो। / In option (A), both (1) and (2) have exactly one image. In exams, a subset is a function only when the whole domain is covered.
\(f(3)=2\times 3=6\), इसलिए ((3,8)) गलत है। परीक्षा में दिए गए युग्म को नियम से मिलाएं। / \(f(3)=2\times 3=6\), so ((3,8)) is wrong. In exams, match each given pair with the rule.
(f(a)=b) का अर्थ है कि (b), (a) की छवि है। परीक्षा में (a) को पूर्वछवि और (b) को छवि समझें। / (f(a)=b) means (b) is the image of (a). In exams, understand (a) as the preimage and (b) as the image.
(a), (b) की पूर्वछवि है क्योंकि (f) से (a) का मान (b) मिलता है। परीक्षा में छवि और पूर्वछवि को उल्टा न करें। / (a) is a preimage of (b) because applying (f) to (a) gives (b). In exams, do not reverse image and preimage.
सभी प्रांत तत्वों की छवि (a) है, इसलिए यह स्थिर फलन है। परीक्षा में सभी छवियां समान हों तो स्थिर फलन पहचानें। / All domain elements have image (a), so it is a constant function. In exams, identify a constant function when all images are the same.
(x=1,2,3) पर छवियां (1,2,3) ही हैं। परीक्षा में सहप्रांत का अतिरिक्त तत्व परिसर में जरूरी नहीं आता। / For (x=1,2,3), the images are (1,2,3). In exams, an extra element of the codomain need not belong to the range.
(f(0)=0+1=1) है। परीक्षा में (0) रखने पर भी नियम को सामान्य तरीके से लागू करें। / (f(0)=0+1=1). In exams, apply the rule normally even when substituting (0).
A. क्योंकि (1) की अलग छवि नहीं बदली है/Because (1) does not get a different image
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) दोहराया गया है पर (1) की दूसरी अलग छवि नहीं है। परीक्षा में दोहराए युग्म और दो अलग छवियों में अंतर करें। / ((1,2)) is repeated, but (1) does not have another different image. In exams, distinguish a repeated pair from two different images.
हर प्रांत तत्व (1,2,3,4) की ठीक एक छवि है। छवि (3) का दो बार आना स्वीकार्य है। / Every domain element (1,2,3,4) has exactly one image. The image (3) appearing twice is allowed.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,4,6\}\) और \(f=\{(1,2),(2,4),(3,6)\}\) हो, तो \(f^{-1}\) जैसा उल्टा संबंध ({(2,1),(4,2),(6,3)}) क्या (B) से (A) में फलन है?
A. हां क्योंकि (B) के हर तत्व की ठीक एक छवि है/Yes because every element of (B) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (2,4,6) प्रत्येक की ठीक एक छवि है। परीक्षा में उल्टा संबंध तभी फलन होगा जब कोई दूसरा घटक दोहराकर अलग पूर्वछवि न दे। / In the reversed relation, each of (2,4,6) has exactly one image. In exams, the inverse relation is a function only when no second component repeats with different preimages.
A. क्योंकि (a) की दो छवियां (1) और (2) हैं/Because (a) has two images (1) and (2)
Explanation
Simple Explanation
उल्टे संबंध में (a) पहले घटक के रूप में दो अलग छवियों से जुड़ता है। परीक्षा में उल्टा करते समय दोहराए दूसरे घटक पर ध्यान दें। / In the reversed relation, (a) as a first component is associated with two different images. In exams, watch repeated second components when reversing.
सभी तत्वों की छवि (0) है इसलिए परिसर ({0}) है। परीक्षा में सहप्रांत में मौजूद पर अप्राप्त तत्व को परिसर में न लिखें। / All elements have image (0), so the range is ({0}). In exams, do not include an unattained codomain element in the range.
विकल्प (A) में अलग-अलग प्रांत तत्वों की छवियां भी अलग-अलग हैं। परीक्षा में एक-एक जांचते समय छवियों की पुनरावृत्ति देखें। / In option (A), different domain elements have different images. In exams, check repetition of images while testing one-one behavior.
परिसर ({1,4,9}) है और (16) प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर सहप्रांत से तुलना करें। / The range is ({1,4,9}), and (16) is not obtained. In exams, first find the range and then compare it with the codomain.
फलन में (A) के हर (4) तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए, इसलिए (4) युग्म चाहिए। परीक्षा में फलन के युग्मों की संख्या प्रांत के तत्वों के बराबर होती है। / A function must assign exactly one image to each of the (4) elements of (A), so (4) pairs are needed. In exams, the number of pairs in a function equals the number of domain elements.
(1,2,3,4) को (3) से भाग देने पर शेषफल क्रमशः (1,2,0,1) मिलते हैं, इसलिए परिसर ({0,1,2}) है। परीक्षा में परिसर में केवल अलग-अलग प्राप्त छवियां लिखें। / Dividing (1,2,3,4) by (3) gives remainders (1,2,0,1), so the range is ({0,1,2}). In exams, write only distinct obtained images in the range.
