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क्योंकि \(|A\times B|=3\times2=6\), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयवों की संख्या निकालें। / Since \(|A\times B|=3\times2=6\), the number of relations is \(2^6\). In exams, first find the number of elements in \(A\times B\).
∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣=2⋅2=4। परीक्षा में कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या गुणा करें। / Here ∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣=2⋅2=4. In exams, multiply the number of elements for a Cartesian product.
प्रांत ordered pairs के पहले घटकों का समुच्चय होता है, इसलिए ( {1,2,3} ) सही है। परीक्षा में पहले स्थान वाले अवयव देखें। / The domain is the set of first components of the ordered pairs, so ( {1,2,3} ) is correct. In exams, look at the first entries.
परिसर ordered pairs के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है और पुनरावृत्ति केवल एक बार लिखी जाती है। इसलिए ( {5,6,7} ) सही है। / The range is the set of second components, and repeated values are written once. Hence ( {5,6,7} ) is correct.
संभव युग्म ( (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) ) हैं, इसलिए संख्या (6) है। परीक्षा में क्रमबद्ध तरीके से युग्म लिखें। / The possible pairs are ( (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) ), so the count is (6). In exams, list pairs systematically.
हर अवयव केवल अपने आप से संबंधित है, इसलिए यह सर्वसम संबंध है। परीक्षा में ( (a,a) ) वाले युग्म पहचानें। / Each element is related only to itself, so it is the identity relation. In exams, identify pairs of the form ( (a,a) ).
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के सभी युग्म रखता है और \(|A\times A|=2\times2=4\)। परीक्षा में universal relation को पूरा Cartesian product मानें। / A universal relation contains all pairs of \(A\times A\), and \(|A\times A|=2\times2=4\). In exams, treat universal relation as the complete Cartesian product.
समुच्चय (A) के अंदर वही युग्म लेंगे जिनका योग (4) है। इसलिए ( {(1,3),(2,2),(3,1)} ) सही है। / We take only those pairs from (A) whose sum is (4). Therefore ( {(1,3),(2,2),(3,1)} ) is correct.
क्योंकि (3) संख्या (4) को विभाजित नहीं करती, इसलिए \((3,4) \notin R\)। परीक्षा में विभाज्यता की दिशा ध्यान से देखें। / Since (3) does not divide (4), \((3,4) \notin R\). In exams, check the direction of divisibility carefully.
व्युत्क्रम संबंध में हर ordered pair के घटक बदल जाते हैं। इसलिए (R^{-1}={(3,1),(4,2),(5,3)})। / In the inverse relation, the components of each ordered pair are interchanged. Hence (R^{-1}={(3,1),(4,2),(5,3)}).
B. क्योंकि \((3,3)\notin R\)/Because \((3,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
परावर्ती संबंध के लिए हर \(a\in A\) पर \((a,a)\in R\) चाहिए। यहाँ \((3,3)\notin R\), इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / For a reflexive relation, \((a,a)\in R\) is required for every \(a\in A\). Here \((3,3)\notin R\), so it is not reflexive.
हर \((a,b)\in R\) के साथ \((b,a)\in R\) भी है, इसलिए (R) सममित है। परीक्षा में उल्टे ordered pair को मिलाएं। / For every \((a,b)\in R\), \((b,a)\in R\) is also present, so (R) is symmetric. In exams, match each pair with its reverse.
C. दिए गए युग्मों के लिए यह संक्रामी शर्त पूरी करता है/It satisfies the transitive condition for the given pairs
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) होने पर \((1,3)\in R\) भी है। संक्रामकता में बीच वाले अवयव को ध्यान से जोड़ें। / Since \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\) imply \((1,3)\in R\). For transitivity, connect the middle element carefully.
यदि (a-b) सम है, तो (a) और (b) दोनों समान parity के होते हैं। परीक्षा में odd और even समूह अलग बनाएं। / If (a-b) is even, then (a) and (b) have the same parity. In exams, make odd and even groups separately.
(A) से (B) तक संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होना चाहिए। इसलिए पहले घटक (A) से और दूसरे घटक (B) से होने चाहिए। / A relation from (A) to (B) must be a subset of \(A\times B\). So first components must come from (A), and second components must come from (B).
कुल संबंध \(2^{|A\times B|}=2^{12}\) हैं और रिक्त संबंध हटाने पर \(2^{12}-1\) मिलते हैं। परीक्षा में non-empty के लिए (1) घटाना न भूलें। / Total relations are \(2^{|A\times B|}=2^{12}\), and removing the empty relation gives \(2^{12}-1\). In exams, remember to subtract (1) for non-empty relations.
हर ordered pair में दूसरा घटक पहले का (2) गुना है, इसलिए (b=2a)। परीक्षा में सभी युग्मों पर नियम जांचें। / In every ordered pair, the second component is (2) times the first, so (b=2a). In exams, test the rule on all pairs.
क्योंकि (3+3=6), इसलिए \((3,3)\in R\)। परीक्षा में दोनों घटकों का योग शर्त से मिलाएं। / Since (3+3=6), \((3,3)\in R\). In exams, match the sum of both components with the given condition.
\(|A\times A|=|A|\times |A|=3\times3=9\)। परीक्षा में \(A\times A\) के लिए वर्ग संख्या लें। / \(|A\times A|=|A|\times |A|=3\times3=9\). In exams, use the square of the number of elements for \(A\times A\).
रिक्त संबंध में कोई ordered pair नहीं होता, इसलिए यह \( \varnothing \) होता है। परीक्षा में empty relation और identity relation को अलग रखें। / An empty relation has no ordered pair, so it is \( \varnothing \). In exams, keep empty relation and identity relation separate.
(a=b+1) के अनुसार ( (2,1) ) में (2=1+1) है। परीक्षा में पहले और दूसरे घटक की भूमिका न बदलें। / According to (a=b+1), in ( (2,1) ), (2=1+1). In exams, do not interchange the roles of first and second components.
A. हाँ, क्योंकि \((1,1),(2,2),(3,3)\in R\)/Yes, because \((1,1),(2,2),(3,3)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
परावर्ती होने के लिए सभी ( (a,a) ) युग्म चाहिए और यहाँ वे मौजूद हैं। अतिरिक्त ( (1,2) ) होने से परावर्तिता खराब नहीं होती। / For reflexivity, all pairs ( (a,a) ) are required, and they are present here. The extra pair ( (1,2) ) does not break reflexivity.
सममिति के लिए ( (1,2) ) का उल्टा ( (2,1) ) और ( (2,2) ) का उल्टा वही ( (2,2) ) चाहिए। ( (1,1) ) जरूरी नहीं है। / For symmetry, the reverse of ( (1,2) ) is ( (2,1) ), and the reverse of ( (2,2) ) is itself. ( (1,1) ) is not necessary.
\(a\leq b\) के लिए pairs की संख्या (4+3+2+1=10) है। परीक्षा में diagonal pairs ( (a,a) ) को भी शामिल करें। / For \(a\leq b\), the number of pairs is (4+3+2+1=10). In exams, include diagonal pairs ( (a,a) ) also.
पहला घटक ऐसा होना चाहिए जो किसी छोटे (b) से बड़ा हो, इसलिए (2,3,4) आते हैं। (1) किसी भी \(b\in A\) से बड़ा नहीं है। / The first component must be greater than some smaller (b), so (2,3,4) appear. (1) is not greater than any \(b\in A\).
दूसरा घटक ऐसा होना चाहिए जिससे बड़ा कोई \(a\in A\) मिले, इसलिए (1,2,3) आते हैं। (4) से बड़ा कोई अवयव (A) में नहीं है। / The second component must have some greater \(a\in A\), so (1,2,3) appear. There is no element in (A) greater than (4).
A. जब \(R\subseteq A\times B\)/When \(R\subseteq A\times B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) से (B) तक संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में संबंध को ordered pairs का समुच्चय मानें। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). In exams, treat a relation as a set of ordered pairs.
\(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\)। परीक्षा में Cartesian product में गुणा करें, जोड़ नहीं। / \(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot3=6\). In exams, multiply for Cartesian product, do not add.
B. परावर्ती और सममित संबंध/Reflexive and symmetric relation
Explanation
Simple Explanation
( (1,1),(2,2),(3,3) ) होने से यह परावर्ती है और ( (1,2),(2,1) ) जोड़ी होने से सममित है। सभी युग्म न होने के कारण यह सार्वत्रिक नहीं है। / It is reflexive because ( (1,1),(2,2),(3,3) ) are present, and symmetric because ( (1,2),(2,1) ) are paired. It is not universal because all pairs are not present.
क्योंकि ( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) चाहिए। परीक्षा में (aRb) और (bRc) से (aRc) लिखें। / Because ( (1,2) ) and ( (2,3) ) require ( (1,3) ). In exams, from (aRb) and (bRc), write (aRc).
युग्म ( (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3) ) हैं, इसलिए संख्या (6) है। परीक्षा में absolute difference के कारण दोनों दिशाएं लें। / The pairs are ( (1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3) ), so the count is (6). In exams, take both directions because of absolute difference.
(4), (2) का multiple है, इसलिए \((4,2)\in R\)। परीक्षा में multiple of और divides की दिशा अलग समझें। / (4) is a multiple of (2), so \((4,2)\in R\). In exams, understand the direction of multiple of and divides separately.
A. प्रांत ( {1,2,3} ), परिसर ( {4,5,6} )/Domain ( {1,2,3} ), range ( {4,5,6} )
Explanation
Simple Explanation
प्रांत पहले घटक और परिसर दूसरे घटक से बनता है। इसलिए domain ( {1,2,3} ) और range ( {4,5,6} ) हैं। / The domain is formed from first components and the range from second components. Therefore domain is ( {1,2,3} ) and range is ( {4,5,6} ).
(1+3=4) सम है, इसलिए \((1,3)\notin R\)। परीक्षा में odd sum के लिए एक odd और एक even अवयव चाहिए। / (1+3=4) is even, so \((1,3)\notin R\). In exams, an odd sum needs one odd and one even element.
सबसे छोटे परावर्ती संबंध में केवल सभी ( (a,a) ) युग्म होते हैं। इसे identity relation भी कहते हैं। / The smallest reflexive relation contains only all pairs ( (a,a) ). It is also called the identity relation.
सबसे बड़ा संबंध \(A\times A\) होता है क्योंकि इसमें सभी possible ordered pairs होते हैं। इसे सार्वत्रिक संबंध कहा जाता है। / The largest relation is \(A\times A\) because it contains all possible ordered pairs. It is called the universal relation.
(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय है और \(|A\times A|=n^2\)। इसलिए कुल संबंध \(2^{n^2}\) हैं। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\), and \(|A\times A|=n^2\). Hence the total number of relations is \(2^{n^2}\).
\((1,2)\in R\) होने से \((2,1)\in R^{-1}\)। व्युत्क्रम में सभी ordered pairs उलट जाते हैं। / Since \((1,2)\in R\), \((2,1)\in R^{-1}\). In the inverse, all ordered pairs are reversed.
सममित संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होता है। इसलिए \((7,4)\in R\) सही है। / In a symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) also. Hence \((7,4)\in R\) is correct.
संक्रामी संबंध में ( (1,4) ) और ( (4,9) ) से ( (1,9) ) मिलना चाहिए। परीक्षा में बीच का (4) common element होता है। / In a transitive relation, ( (1,4) ) and ( (4,9) ) require ( (1,9) ). In exams, the middle element (4) is the common element.
क्योंकि \(2+3=5\leq5\), इसलिए \((2,3)\in R\)। परीक्षा में inequality में बराबरी को भी शामिल करें। / Since \(2+3=5\leq5\), \((2,3)\in R\). In exams, include equality in an inequality with \( \leq \).
क्योंकि (4+2=6), जो (5) से बड़ा है, इसलिए \((4,2)\notin R\)। परीक्षा में ordered pair पर शर्त सीधे लगाएं। / Because (4+2=6), which is greater than (5), \((4,2)\notin R\). In exams, apply the condition directly to the ordered pair.
पहला घटक (A) से और दूसरा (B) से लेकर (b=2a) लगाते हैं। इससे ( (1,2),(2,4),(3,6) ) मिलते हैं। / Take the first component from (A) and the second from (B), then apply (b=2a). This gives ( (1,2),(2,4),(3,6) ).
युग्म ( (3,2),(4,3),(5,4) ) हैं, इसलिए परिसर ( {2,3,4} ) है। परीक्षा में range के लिए दूसरे घटक लें। / The pairs are ( (3,2),(4,3),(5,4) ), so the range is ( {2,3,4} ). In exams, take second components for range.
शर्त से युग्म ( (3,2),(4,3),(5,4) ) बनते हैं, इसलिए प्रांत ( {3,4,5} ) है। परीक्षा में domain के लिए पहले घटक लें। / The condition gives pairs ( (3,2),(4,3),(5,4) ), so the domain is ( {3,4,5} ). In exams, take first components for domain.
A. क्योंकि \((1,3)\notin R\)/Because \((1,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) होने पर ( (1,3) ) चाहिए, पर वह नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / Since \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), ( (1,3) ) is required, but it is missing. Therefore (R) is not transitive.
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (a=b) वाले (4) युग्म हटते हैं। इसलिए (16-4=12) pairs रहेंगे। / There are (16) pairs in \(A\times A\), and (4) pairs with (a=b) are removed. Hence (16-4=12) pairs remain.
B. नहीं, क्योंकि \((1,1),(2,2),(3,3)\notin R\)/No, because \((1,1),(2,2),(3,3)\notin R\)
Explanation
Simple Explanation
परावर्ती संबंध के लिए सभी ( (a,a) ) युग्म जरूरी हैं। \(a\neq b\) में ऐसे युग्म नहीं आते। / All pairs ( (a,a) ) are necessary for a reflexive relation. Such pairs do not occur in \(a\neq b\).
A. हाँ, क्योंकि \(a\neq b\) होने पर \(b\neq a\) भी होता है/Yes, because if \(a\neq b\), then \(b\neq a\) also
Explanation
Simple Explanation
यदि दो अवयव अलग हैं, तो उल्टा ordered pair भी अलग अवयवों का होगा। इसलिए (R) सममित है। / If two elements are different, the reversed ordered pair also has different elements. Therefore (R) is symmetric.
A. (R) परावर्ती है लेकिन सामान्यतः सममित नहीं है/(R) is reflexive but generally not symmetric
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि हर (a) के लिए \(a\leq a\) है, इसलिए (R) परावर्ती है। लेकिन \((1,2)\in R\) होने पर \((2,1)\notin R\), इसलिए यह सममित नहीं है। / Since \(a\leq a\) for every (a), (R) is reflexive. But \((1,2)\in R\) while \((2,1)\notin R\), so it is not symmetric.
