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\(|A\cup B|=30+20-10=40\) क्योंकि (6) से विभाज्य (10) संख्याएँ हैं। परीक्षा में समावेशन-अपवर्जन सूत्र पहले लगाएँ। / Here \(|A\cup B|=30+20-10=40\) because (10) numbers are divisible by (6). In exams, apply inclusion-exclusion first.
(B) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए (A) से (1) के बाद वाले तत्व हटेंगे और ([-2,1]) बचेगा। अंतर निकालते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Since (1) is not included in (B), elements after (1) are removed from (A), leaving ([-2,1]). In difference questions, check open and closed endpoints carefully.
यदि कोई तत्व \(A\cup B\) में है, तो वह \(A\cap B\) में भी है, इसलिए दोनों सेटों में समान तत्व हैं। ऐसी स्थितियों में तत्व-आधारित तर्क सबसे सुरक्षित रहता है। / Any element in \(A\cup B\) must also be in \(A\cap B\), so both sets have the same elements. Element-wise reasoning is safest here.
(|A|=15), (|B|=6) और \(|A\cap B|=3\) क्योंकि सामान्य गुणज (30) के होंगे। अतः \(|A\cup B|=15+6-3=18\) है। / Here (|A|=15), (|B|=6), and \(|A\cap B|=3\) because common multiples are multiples of (30). So \(|A\cup B|=15+6-3=18\).
\(|A\cap B|=28+35-50=13\), इसलिए \(|A\setminus B|=28-13=15\) नहीं बल्कि (15) है। पहले प्रतिच्छेद निकालना न भूलें। / Here \(|A\cap B|=28+35-50=13\), so \(|A\setminus B|=28-13=15\). Always find the intersection before the difference.
A. (\(A\cup B\)\setminus C=\(A\setminus C\)\cup\(B\setminus C\))
Explanation
Simple Explanation
(C) को \(A\cup B\) से हटाने पर वही तत्व बचते हैं जो (A) में (C) से बाहर या (B) में (C) से बाहर हैं। वितरण नियम को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / Removing (C) from \(A\cup B\) leaves elements that are in (A) outside (C) or in (B) outside (C). Recognizing distribution laws saves time in exams.
\(A\setminus B=A\) का अर्थ है कि (A) का कोई भी तत्व (B) में नहीं गया। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / The condition means no element of (A) is removed by (B). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
एक कक्षा में (120) विद्यार्थियों में से (72) विद्यार्थी गणित सेट (M) में, (64) विद्यार्थी भौतिकी सेट (P) में और (28) विद्यार्थी दोनों में हैं। न तो (M) में और न ही (P) में कितने विद्यार्थी हैं?
\(|M\cup P|=72+64-28=108\), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (120-108=12) हैं। पहले संघ निकालें, फिर सार्वत्रिक सेट से घटाएँ। / Here \(|M\cup P|=72+64-28=108\), so students outside both sets are (120-108=12). First find the union, then subtract from the universal set.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य तत्व ({1,4,8}) हैं। कोष्ठक का क्रम हमेशा ध्यान रखें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\), then common elements with (C) are ({1,4,8}). Always follow the brackets.
जब \(A\subseteq B\) हो, तो (B) के तत्व (A) और \(B\setminus A\) में बँट जाते हैं। इसलिए उनका संघ (B) है। / When \(A\subseteq B\), the elements of (B) split into (A) and \(B\setminus A\). Therefore their union is (B).
(A) और (B) में जो भी सामान्य तत्व है, वह (C) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap B\subseteq C\) है। / Any common element of (A) and (B) cannot lie outside (C). Hence \(A\cap B\subseteq C\).
\(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है और (A) में अतिरिक्त केवल (4) है। असमानता से सेट बनाकर फिर अंतर लें। / Here \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), and only (4) remains extra in (A). Build each set first, then take the difference.
\(|A\cup B\cup C|=12+18+20-5-7-4+2=36\) है। तीन सेटों में अंतिम \(+|A\cap B\cap C|\) जोड़ना याद रखें। / Here \(|A\cup B\cup C|=12+18+20-5-7-4+2=36\). For three sets, remember to add the triple intersection at the end.
\(A\cap B=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक तत्व \(B\) में भी मौजूद है; इसलिए \(A\subseteq B\)। यही बात \(A\cup B=B\) से भी पुष्ट होती है, क्योंकि \(A\) के तत्वों को \(B\) में मिलाने पर कोई नया तत्व नहीं जुड़ता। विकल्प B तभी सही होता जब \(B\subseteq A\) भी हो, जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B=A\) या \(A\cup B=B\) दिखते ही \(A\subseteq B\) निष्कर्षित करें। / The equation \(A\cap B=A\) means that every element of \(A\) is also an element of \(B\); hence \(A\subseteq B\). The equation \(A\cup B=B\) confirms the same fact, because adding the elements of \(A\) to \(B\) introduces nothing new. Option B would require \(B\subseteq A\) as well, which is not implied. Exam tip: \(A\cap B=A\) or \(A\cup B=B\) directly indicates \(A\subseteq B\).
समुच्चय \(B\) में वे ही सदस्य होंगे जिनका 1 जोड़ने पर प्राप्त परिणाम भी \(A\) में हो। \(2+1=3\), और 3, \(A\) में है; जबकि 3+1=4, 5+1=6, 7+1=8 तथा 11+1=12, ये सभी \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(B=\{2\}\) और \(A\setminus B=\{3,5,7,11\}\)। परीक्षा-युक्ति: अंतर समुच्चय \(A\setminus B\) में \(A\) के वे सदस्य रखे जाते हैं जो \(B\) में नहीं होते। / The set \(B\) contains those elements of \(A\) whose successor is also in \(A\). Since \(2+1=3\) and 3 belongs to \(A\), while 4, 6, 8 and 12 do not belong to \(A\), we get \(B=\{2\}\). Therefore, removing 2 from \(A\) gives \(A\setminus B=\{3,5,7,11\}\). Exam tip: \(A\setminus B\) consists of elements that are in \(A\) but not in \(B\).
A. जो (A) में हैं लेकिन (B) और (C) दोनों में नहीं हैं/Elements in (A) but in neither (B) nor (C)
Explanation
Simple Explanation
\(B\cup C\) से हटाने का अर्थ है (B) में नहीं और (C) में नहीं। इसलिए यह (A) का वह भाग है जो दोनों से बाहर है। / Removing \(B\cup C\) means not in (B) and not in (C). So it is the part of (A) outside both sets.
पहले प्रतिच्छेद निकालते हैं: \(A\cap C=\{4,8,16\}\), क्योंकि ये तीनों तत्व \(A\) और \(C\) दोनों में हैं। अब \(B\) के तत्वों को इस समुच्चय से हटाने पर 4 और 8 हट जाते हैं, जबकि 16, \(B\) में नहीं है। अतः \((A\cap C)\setminus B=\{16\}\)। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय के अंतर \(X\setminus Y\) में केवल वे तत्व रखे जाते हैं जो \(X\) में हों, लेकिन \(Y\) में न हों। / First find the intersection: \(A\cap C=\{4,8,16\}\), since these elements belong to both \(A\) and \(C\). Next, remove from this set every element that is also in \(B\). The elements 4 and 8 are removed, while 16 remains because it is not in \(B\). Therefore, \((A\cap C)\setminus B=\{16\}\). Exam tip: In \(X\setminus Y\), retain elements that are in \(X\) but not in \(Y\).
\(|A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|=21+19-16=24\) है। सममित अंतर में सामान्य भाग दो बार घटता है। / Here \(|A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|=21+19-16=24\). In symmetric difference, the common part is removed twice.
यह सेट दोनों में से केवल एक में आने वाले तत्वों का सेट है। इसके खाली होने का अर्थ है (A) और (B) समान हैं। / This set contains elements that lie in exactly one of the two sets. If it is empty, then (A) and (B) are equal.
\(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) सदैव असंयुक्त होते हैं, इसलिए उनके बराबर होने पर दोनों खाली होंगे। अतः (A=B) है। / The sets \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are always disjoint, so if they are equal, both are empty. Hence (A=B).
प्रतिच्छेद, संघ पर वितरित होता है, इसलिए (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)) है। सूत्र याद करने से वेन आरेख वाले प्रश्न तेज बनते हैं। / Intersection distributes over union, so (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)). Remembering this identity speeds up Venn diagram questions.
(20) तक केवल (2) ही सम अभाज्य संख्या है। इसलिए विषम संख्याएँ हटाने पर ({2}) बचता है। / Only (2) is an even prime number up to (20). Therefore after removing odd numbers, ({2}) remains.
\(A\cup B\) का हर तत्व (C) में है, इसलिए (C) हटाने पर कुछ नहीं बचेगा। अतः परिणाम \(\varnothing\) है। / Every element of \(A\cup B\) lies in (C), so removing (C) leaves nothing. Hence the result is \(\varnothing\).
सामान्य संख्याएँ (4) और (10) के लघुत्तम समापवर्त्य (20) से विभाज्य होंगी। (100) तक ऐसी (5) संख्याएँ हैं। / Common numbers must be divisible by the least common multiple (20) of (4) and (10). There are (5) such numbers up to (100).
किसी तत्व (x) के लिए (A) के अंदर और बाहर दोनों स्थितियों में (B) और (C) की सदस्यता समान मिलती है। इसलिए (B=C) है। / For any element (x), inside (A) and outside (A), membership in (B) and (C) matches. Hence (B=C).
\(A\setminus B\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) में हैं लेकिन \(B\) में नहीं, इसलिए \(A\setminus B=\{a,c\}\)। इसी प्रकार \(B\setminus A=\{e\}\), क्योंकि \(b\) और \(d\) दोनों समुच्चयों में समान हैं। अतः इन दोनों का संघ \(\{a,c\}\cup\{e\}=\{a,c,e\}\) है। विकल्प B केवल समान तत्वों का समुच्चय है, जबकि विकल्प C दोनों समुच्चयों का पूर्ण संघ है। परीक्षा-युक्ति: इस प्रकार के प्रश्न में पहले दोनों अंतर ज्ञात करें और अंत में उनका संघ लें। / The set \(A\setminus B\) contains elements that are in \(A\) but not in \(B\), so \(A\setminus B=\{a,c\}\). Similarly, \(B\setminus A=\{e\}\), since \(b\) and \(d\) belong to both sets. Therefore, their union is \(\{a,c\}\cup\{e\}=\{a,c,e\}\). Option B gives only the common elements, while option C gives the union of the two original sets. Exam tip: For this expression, find both set differences first and take their union at the end.
असंयुक्त सेटों में कोई दोहराया हुआ तत्व नहीं होता। इसलिए संघ की संख्या सीधे (|A|+|B|) होती है। / Disjoint sets have no repeated common element. Therefore the number of elements in the union is simply (|A|+|B|).
संघ तीन असंयुक्त भागों \(A\setminus B\), \(A\cap B\), और \(B\setminus A\) से बनता है। सभी तत्व मिलाकर ({1,2,3,4,5,6,7}) मिलते हैं। / The union is made from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Combining all gives ({1,2,3,4,5,6,7}).
पहले समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को \((x-2)(x-3)=0\) लिखने पर \(A=\{2,3\}\) मिलता है। दूसरे समीकरण \(x^2-7x+12=0\) से \((x-3)(x-4)=0\), अतः \(B=\{3,4\}\)। दोनों समुच्चयों का एकमात्र उभयनिष्ठ तत्व \(3\) है, इसलिए \(A\cap B=\{3\}\)। विकल्प \(\{2,3,4\}\) संघ से संबंधित है, प्रतिच्छेद से नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B\) में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में उपस्थित हों। / Factor the first equation as \((x-2)(x-3)=0\), giving \(A=\{2,3\}\). Factor the second as \((x-3)(x-4)=0\), giving \(B=\{3,4\}\). The only element common to both sets is \(3\), so \(A\cap B=\{3\}\). The set \(\{2,3,4\}\) represents the union, not the intersection. Exam tip: for \(A\cap B\), include only elements that belong to both sets.
संघ तीन अलग भागों का योग है: (9+4+11=24)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों की गिनती जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts: (9+4+11=24). In a Venn diagram, add the disjoint regions.
\(A\cap B=B\) का अर्थ है कि \(B\) का प्रत्येक तत्व \(A\) में भी उपस्थित है; अतः \(B\subseteq A\)। यही बात \(A\cup B=A\) से भी मिलती है, क्योंकि \(B\) के तत्व जोड़ने पर \(A\) में कोई नया तत्व नहीं जुड़ता। विकल्प B विपरीत समावेशन बताता है, जबकि विकल्प C और D इन शर्तों से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup B=A\) या \(A\cap B=B\) दिखे, तो तुरंत \(B\subseteq A\) निष्कर्षित करें। / The relation \(A\cap B=B\) means that every element of \(B\) is also an element of \(A\); therefore, \(B\subseteq A\). The relation \(A\cup B=A\) gives the same conclusion because adding the elements of \(B\) introduces nothing new to \(A\). Option B states the reverse inclusion, while options C and D do not necessarily follow. Exam tip: From \(A\cup B=A\) or \(A\cap B=B\), immediately infer \(B\subseteq A\).
\(B\cup C={0,3,4,5,6,9}\) है और (A) के साथ सामान्य तत्व ({3,5,9}) हैं। पहले अंदर का संघ निकालें। / Here \(B\cup C={0,3,4,5,6,9}\), and the common elements with (A) are ({3,5,9}). Find the inner union first.
किसी भी सेट (A) को (\(A\setminus C\)) और (\(A\cap C\)) में बाँटा जा सकता है। दोनों भाग (B) के समान हैं, इसलिए (A=B) है। / Any set (A) can be split into (\(A\setminus C\)) and (\(A\cap C\)). Since both parts match those of (B), (A=B).
यदि \(A\cap B\) का हर तत्व (C) में है, तो (C) के बाहर इसका कोई तत्व नहीं होगा। इसलिए (\(A\cap B\)\setminus C=\varnothing) है। / If every element of \(A\cap B\) lies in (C), then none of its elements lies outside (C). Hence (\(A\cap B\)\setminus C=\varnothing).
\(A\cap B={3,4}\) और \(A\setminus B={1,2}\) असंयुक्त हैं। इनके पावर सेटों में सामान्य उपसमुच्चय केवल \(\varnothing\) है। / Here \(A\cap B={3,4}\) and \(A\setminus B={1,2}\) are disjoint. The only common subset in their power sets is \(\varnothing\).
समान संघ और समान प्रतिच्छेद मिलकर (B) और (C) की सदस्यता को हर स्थिति में समान कर देते हैं। इसलिए (B=C) सिद्ध होता है। / Equal unions and equal intersections make membership in (B) and (C) identical in every case. Therefore (B=C).
\(A\cap B=A\setminus C\) होने से \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं है। इसलिए \(A\cap B\cap C=\varnothing\) है। / Since \(A\cap B=A\setminus C\), no element of \(A\cap B\) lies in (C). Hence \(A\cap B\cap C=\varnothing\).
\(|x|\le 4\) के कारण \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। इसी प्रकार, \(x^2\le 9\) का अर्थ \(-3\le x\le 3\) है, इसलिए \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। अतः \(A\setminus B\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं; इसलिए उत्तर \(\{-4,4\}\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(-3\) और \(3\), दोनों \(B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: \(A\setminus B\) निकालते समय पहले \(A\) लिखें और उसमें से \(B\) के सभी समान तत्व हटा दें। / Since \(|x|\le 4\), \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). Also, \(x^2\le 9\) means \(-3\le x\le 3\), so \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Therefore, \(A\setminus B\) contains the elements that are in \(A\) but not in \(B\), giving \(\{-4,4\}\). Option C is incorrect because \(-3\) and \(3\) both belong to \(B\). Exam tip: To find \(A\setminus B\), list the elements of \(A\) and remove every element common to \(B\).
\(B\setminus C\) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं। (A) से इन्हें हटाने पर (A) में या तो (B) से बाहर वाले या (C) में रहने वाले तत्व बचते हैं। / The set \(B\setminus C\) has elements in (B) but not in (C). Removing these from (A) leaves elements of (A) outside (B) or inside (C).
(n(A)=0) से \(A=\varnothing\) है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होगा। खाली सेट का किसी भी सेट से प्रतिच्छेद खाली होता है। / Since (n(A)=0), \(A=\varnothing\), so \(A\cap B=\varnothing\). The intersection of the empty set with any set is empty.
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\) सदैव असंयुक्त होते हैं। बराबर होने पर दोनों खाली होंगे, इसलिए (A) भी खाली है। / The sets \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are always disjoint. If they are equal, both are empty, so (A) is empty.
(A) के सभी तत्व (B) में हैं और (B) का (C) से कोई सामान्य तत्व नहीं है। इसलिए \(A\cap C=\varnothing\) है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has no common element with (C). Therefore \(A\cap C=\varnothing\).
\(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) और \(C=\{2,3,5,7,11\}\) हैं। सामान्य (2) को एक बार गिनकर कुल (9) तत्व मिलते हैं। / Here \(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) and \(C=\{2,3,5,7,11\}\). Counting common (2) once gives (9) elements.
दायाँ पक्ष (B) का कोई तत्व नहीं रखता, पर बायाँ पक्ष (B) के सभी तत्व रखता है। समानता तभी संभव है जब \(B=\varnothing\) हो। / The right side contains no element of (B), while the left side contains all elements of (B). Equality is possible only when \(B=\varnothing\).
A. \(C\subseteq A\cap B\) और (A=B)/\(C\subseteq A\cap B\) and (A=B)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(A\cap B\subseteq A\cup B\) और समानता में \(A\cup B\) भी उसी के बराबर होना चाहिए, इसलिए (A=B) और \(C\subseteq A\cap B\) है। / Since \(A\cap B\subseteq A\cup B\), equality forces \(A\cup B=A\cap B\), so (A=B), and also \(C\subseteq A\cap B\).
पहले संघ लेते हैं: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}। अब इस समुच्चय में से C = {2, 3, 5} के वे अवयव हटाएँगे जो इसमें मौजूद हैं। 2 और 3 हटने पर {1, 4} बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 2 को नहीं हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: X ∖ Y में केवल वे अवयव रखे जाते हैं जो X में हों, लेकिन Y में न हों। / First find the union: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Now remove from this set the elements that are also present in C = {2, 3, 5}. Removing 2 and 3 leaves {1, 4}, so option A is correct. Option C is incorrect because it retains 2, even though 2 belongs to C. Exam tip: X ∖ Y contains elements of X that are not elements of Y; it is not a symmetric operation.
संघ \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), और \(A\cap B\) का योग है। अतः \(|A\cap B|=70-25-30=15\) है। / The union is the sum of \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence \(|A\cap B|=70-25-30=15\).
समुच्चय का विघटन \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\) होता है। दिए गए अनुसार \(A\setminus B\) और \(A\cap B\), दोनों \(C\) के उपसमुच्चय हैं; इसलिए उनका संघ भी \(C\) का उपसमुच्चय होगा और \(A\subseteq C\) प्राप्त होता है। \(B\subseteq C\) या \(A\cup B\subseteq C\) आवश्यक नहीं हैं, क्योंकि \(B\setminus A\) के तत्वों के बारे में कोई सूचना नहीं दी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय को उसके अंतर और प्रतिच्छेद के रूप में लिखकर उपसमुच्चय संबंध जाँचें। / A set can be decomposed as \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\). Since both \(A\setminus B\) and \(A\cap B\) are subsets of \(C\), their union is also a subset of \(C\), giving \(A\subseteq C\). Neither \(B\subseteq C\) nor \(A\cup B\subseteq C\) is necessary because the elements of \(B\setminus A\) are unrestricted. Exam tip: Rewrite a set as the union of its difference and intersection parts before applying subset relations.
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है, इसलिए \(A\cup B=B\) होगा। चूँकि \(A\cup B=U\), इसलिए (B=U) है। / From \(A\setminus B=\varnothing\), \(A\subseteq B\), so \(A\cup B=B\). Since \(A\cup B=U\), we get (B=U).
दोनों पक्ष उन तत्वों को बताते हैं जो (A) और (C) में हैं लेकिन (B) में नहीं हैं। इसलिए पहचान सदैव सत्य है। / Both sides describe elements that are in (A) and (C) but not in (B). Hence the identity is always true.
