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A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़ी संख्याओं की ओर देखें। / The sign (>) does not include the boundary so an open circle is used. In exams check the direction toward greater numbers.
B. (-2) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-2) and shading left
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\le\) में (-2) शामिल है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। सीमा शामिल हो तो भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (-2) and smaller numbers lie to the left. Use a closed circle when the endpoint is included.
दोनों भरे वृत्त बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। बीच का भाग संयुक्त असमता देता है। / Both closed circles show that both endpoints are included. The shaded middle part gives a compound inequality.
B. (2) पर खाली वृत्त और (7) पर भरा वृत्त/Open circle at (2) and closed circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाली सीमा शामिल नहीं होती और वर्ग कोष्ठक वाली सीमा शामिल होती है। इसलिए (2) खुला और (7) बंद होगा। / A parenthesis endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. Therefore (2) is open and (7) is closed.
(x<5) में (5) शामिल नहीं है इसलिए (5) पर गोल कोष्ठक आता है। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक लगाएँ। / In (x<5), (5) is not included so a parenthesis is used at (5). Always use a parenthesis with infinity.
B. (0) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में (0) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The sign \(\ge\) includes (0), and greater numbers are to the right. So it is a closed circle with a right ray.
खाली वृत्त सीमा को हटाता है और बाईं किरण छोटी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए असमता (x<6) है। / The open circle excludes the boundary and the left ray shows smaller numbers. Hence the inequality is (x<6).
([-3,2)) में (-3) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। खुला सिरा उसी संख्या पर बनेगा जो शामिल नहीं है। / In ([-3,2)), (-3) is included but (2) is not. The open endpoint is placed at the number not included.
(1) शामिल नहीं है और (8) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद होगा। / (1) is not included and (8) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
भरा वृत्त (-5) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -5\) सही है। / The closed circle includes (-5), and the right side has greater numbers. Therefore \(x\ge -5\) is correct.
\(x\le 4\) में (4) शामिल है इसलिए (4) पर वर्ग कोष्ठक आएगा। छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर जाती हैं। / In \(x\le 4\), (4) is included so a square bracket is used at (4). Smaller numbers extend toward \(-\infty\).
B. दोनों सिरों पर खाली वृत्त होंगे/Both endpoints have open circles
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक का अर्थ है कि सीमा संख्या शामिल नहीं है। इसलिए (-4) और (3) दोनों पर खाली वृत्त होंगे। / Parentheses mean that boundary numbers are not included. Thus both (-4) and (3) have open circles.
वर्ग कोष्ठक दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं। इसलिए दोनों ओर \(\le\) का प्रयोग होगा। / Square brackets include both endpoints. Therefore \(\le\) is used on both sides.
(x>-7) में सीमा (-7) शामिल नहीं है। इसलिए (-7) पर खाली वृत्त बनता है। / In (x>-7), the boundary (-7) is not included. Hence an open circle is drawn at (-7).
चिह्न (<) छोटी संख्याओं को दिखाता है और छोटी संख्याएँ संख्या रेखा पर बाईं ओर होती हैं। दिशा पहचानना पहला कदम है। / The sign (<) shows smaller numbers, and smaller numbers are on the left of the number line. Identifying direction is the first step.
B. (9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (9) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं किरण के साथ बनेगा। / The sign \(\ge\) includes the boundary and greater numbers lie to the right. So a closed circle with a right ray is drawn.
खाली वृत्त दोनों सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए दोनों ओर कठोर असमता लगती है। / Open circles exclude both endpoints. Therefore strict inequalities are used on both sides.
A. (4) पर भरा वृत्त और दाईं ओर किरण/Closed circle at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\([4,\infty\)) में (4) शामिल है और आगे सभी बड़ी संख्याएँ हैं। इसलिए भरा वृत्त और दाईं किरण सही है। / The interval \([4,\infty\)) includes (4) and all larger numbers. Hence a closed circle with a right ray is correct.
(-6) शामिल है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (1) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक आएगा। कोष्ठक देखकर सीमा तय करें। / (-6) is included so a square bracket is used, and (1) is not included so a parenthesis is used. Read brackets to decide endpoints.
समीकरण (x=3) केवल एक संख्या को दर्शाता है। एकमात्र मान के लिए भरा बिंदु बनाते हैं। / The equation (x=3) represents only one number. For a single included value, draw a closed point.
खाली वृत्त का अर्थ है सीमा मान समाधान में नहीं है। ऐसे प्रश्नों में वृत्त का प्रकार पहले देखें। / An open circle means the boundary value is not part of the solution. In such questions, check the type of circle first.
A. (b) समाधान में शामिल है/(b) is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
भरा वृत्त बताता है कि सीमा संख्या शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सामान्यतः भरा वृत्त आता है। / A closed circle shows that the boundary number is included. Usually \(\le\) and \(\ge\) use closed circles.
A. (3) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (3) and ray right
Explanation
Simple Explanation
(\(3,\infty\)) में (3) शामिल नहीं है और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। इसलिए खाली वृत्त और दाईं किरण बनती है। / The interval (\(3,\infty\)) does not include (3) and contains larger numbers. So it uses an open circle and a right ray.
B. (-8) पर खाली वृत्त और (-3) पर भरा वृत्त/Open circle at (-8) and closed circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
(-8) शामिल नहीं है लेकिन (-3) शामिल है। इसलिए बायाँ सिरा खुला और दायाँ सिरा बंद रहेगा। / (-8) is not included but (-3) is included. So the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
गोल कोष्ठक पर कठोर असमता और वर्ग कोष्ठक पर बराबरी सहित असमता लगती है। इसलिए \(-2<x\le 4\) सही है। / A parenthesis gives a strict inequality and a square bracket gives an inclusive inequality. Therefore \(-2<x\le 4\) is correct.
(x>0) में (0) शामिल नहीं है और सभी धनात्मक संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(0,\infty\)) सही है। / In (x>0), (0) is not included and all positive numbers are taken. Hence (\(0,\infty\)) is correct.
A. सभी संख्या रेखा छायांकित और (2) पर खाली वृत्त/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। हटाए गए बिंदु के लिए खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 2\), all real numbers except (2) are included. The excluded point is shown by an open circle.
\(-4\le x\) का अर्थ है (x) कम से कम (-4) है। संख्या रेखा पर यह (-4) से दाईं ओर जाएगा। / \(-4\le x\) means (x) is at least (-4). On the number line it goes to the right from (-4).
B. सीमा (10), बाईं दिशा/Boundary (10), left direction
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 10\) में सीमा (10) है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। बराबरी होने से बिंदु भरा होगा। / In \(x\le 10\), the boundary is (10), and smaller numbers are on the left. Equality means the point is closed.
\([-1,\infty\)) में (-1) और उससे बड़ी संख्याएँ शामिल हैं। इसलिए (-1) शामिल है। / The interval \([-1,\infty\)) includes (-1) and all numbers greater than it. Therefore (-1) is included.
(x<0) में (0) समाधान में शामिल नहीं है। इसलिए (0) पर खाली वृत्त बनेगा। / In (x<0), (0) is not part of the solution. Hence an open circle is drawn at (0).
\(3\le x\) के कारण (3) शामिल है और (x<9) के कारण (9) शामिल नहीं है। इसलिए (3) बंद और (9) खुला होगा। / Because \(3\le x\), (3) is included, and because (x<9), (9) is not included. So (3) is closed and (9) is open.
(x>-2) में (-2) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-1) ही (-2) से बड़ा है। / In (x>-2), numbers greater than (-2) are included. Among the options, only (-1) is greater than (-2).
(5) शामिल नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा और छोटी संख्याएँ \(-\infty\) की ओर होंगी। इसलिए (\(-\infty,5\)) सही है। / Since (5) is not included, a parenthesis is used, and smaller numbers extend toward \(-\infty\). Hence (\(-\infty,5\)) is correct.
\(x\le 2\) में (2) तक सभी संख्याएँ और (x>2) में (2) से आगे सभी संख्याएँ आती हैं। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा बनाते हैं। / \(x\le 2\) includes all numbers up to (2), and (x>2) includes all numbers after (2). Together they form the whole number line.
A. पहले में सिरे बंद हैं और दूसरे में सिरे खुले हैं/The first has closed endpoints and the second has open endpoints
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है और गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है। यही संख्या रेखा पर खुले या बंद सिरों का अंतर है। / Square brackets include endpoints and parentheses exclude endpoints. This creates the open or closed endpoint difference on the number line.
गोल कोष्ठक (-5) को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक (-1) को शामिल करता है। इसलिए (-5) शामिल नहीं है। / The parenthesis excludes (-5), while the square bracket includes (-1). Therefore (-5) is not included.
A. पूरी संख्या रेखा छायांकित/Entire number line shaded
Explanation
Simple Explanation
\(x\in \mathbb{R}\) का अर्थ है सभी वास्तविक संख्याएँ। संख्या रेखा पर यह पूरी रेखा को दर्शाता है। / \(x\in \mathbb{R}\) means all real numbers. On the number line it represents the entire line.
\(x\ge -1\) में (-1) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। (-2) इससे छोटा है इसलिए समाधान में नहीं है। / In \(x\ge -1\), (-1) and all greater numbers are included. (-2) is smaller, so it is not in the solution.
(\(-\infty,\infty\)) पूरी वास्तविक संख्या रेखा को दर्शाता है। अनंत सीमा नहीं है इसलिए उसके साथ गोल कोष्ठक ही आता है। / (\(-\infty,\infty\)) represents the whole real number line. Infinity is not an endpoint, so parentheses are used with it.
(x< -4) में (-4) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)) सही है। / In (x< -4), (-4) is not included and smaller numbers are taken. Hence (\(-\infty,-4\)) is correct.
A. (0) से (3) के बीच और दोनों सिरे खुले/Between (0) and (3) with both endpoints open
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमता में सीमाएँ शामिल नहीं होतीं और बीच का भाग समाधान होता है। इसलिए दोनों सिरे खुले रहेंगे। / Strict inequalities exclude the endpoints and the middle part is the solution. Therefore both endpoints remain open.
B. सिर्फ (7) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (7)
Explanation
Simple Explanation
([7,7]) में आरंभ और अंत समान हैं और वह मान शामिल है। इसलिए केवल (7) पर भरा बिंदु बनेगा। / In ([7,7]), the start and end are the same and that value is included. So only a closed point at (7) is drawn.
((7,7)) में कोई संख्या (7) से बड़ी और (7) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / In ((7,7)), no number can be greater than (7) and less than (7) at the same time. So it is an empty set.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए सीमा (-6) समाधान में है। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनता है। / The sign \(\le\) includes equality, so the boundary (-6) is in the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-2) बंद है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (5) खुला है इसलिए गोल कोष्ठक लगेगा। सही अंतराल ([-2,5)) है। / (-2) is closed so a square bracket is used, and (5) is open so a parenthesis is used. The correct interval is ([-2,5)).
भरा वृत्त (8) को शामिल करता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\le 8\) सही है। / The closed circle includes (8), and the left side has smaller numbers. Therefore \(x\le 8\) is correct.
खाली वृत्त का अर्थ है (-6) शामिल नहीं है और भरा वृत्त बताता है कि (2) शामिल है। इसलिए सही असमता \(-6<x\le 2\) है। / An open circle means (-6) is not included, and a closed circle means (2) is included. Therefore the correct inequality is \(-6<x\le 2\).
A. (11) पर खाली वृत्त और दाईं ओर किरण/Open circle at (11) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में सीमा (11) शामिल नहीं होती और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। पहले वृत्त का प्रकार और फिर दिशा देखें। / The sign (>) excludes the boundary (11) and greater numbers lie to the right. Check the circle type first and then the direction.
B. (-9) पर भरा वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Closed circle at (-9) and shading right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए (-9) पर भरा वृत्त बनेगा। / \(\ge\) includes the boundary and greater numbers are on the right. Therefore a closed circle is drawn at (-9).
खाली वृत्त (13) को बाहर रखता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए (x<13) सही है। / The open circle excludes (13) and the left side contains smaller numbers. Hence (x<13) is correct.
C. (4) और (12) पर खाली वृत्त और बीच में छायांकन/Open circles at (4) and (12) with shading between
Explanation
Simple Explanation
दोनों असमताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। बीच वाला भाग ही समाधान है। / Both inequalities are strict, so both endpoints are excluded. The part between them is the solution.
भरा वृत्त (7) को शामिल करता है और दाईं किरण (7) से बड़ी संख्याएँ दिखाती है। इसलिए अंतराल \([7,\infty\)) है। / The closed circle includes (7) and the right ray shows numbers greater than (7). Hence the interval is \([7,\infty\)).
\(x\le -15\) में (-15) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। / In \(x\le -15\), (-15) is included and smaller numbers are taken. Infinity always uses a parenthesis.
दोनों ओर बराबरी शामिल है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल होंगी। ऐसे में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक लगते हैं। / Equality is included on both sides, so both endpoints are included. In this case, square brackets are used at both ends.
केवल एक भरा बिंदु एक ही शामिल मान को दिखाता है। इसलिए समाधान (x=3) है। / A single closed point shows one included value only. Therefore the solution is (x=3).
B. (6) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (6) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,6\)) में (6) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए (6) पर खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,6\)), (6) is not included and smaller numbers are present. So an open circle at (6) and a left ray are drawn.
B. पूरी रेखा छायांकित और (-3) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (-3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne -3\) में (-3) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए बिंदु पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne -3\), all real numbers except (-3) are included. The excluded point is shown by an open circle.
केवल (1) शामिल है इसलिए (1) पर वर्ग कोष्ठक और (5) पर गोल कोष्ठक लगेगा। अंतराल ([1,5)) होगा। / Only (1) is included, so (1) gets a square bracket and (5) gets a parenthesis. The interval is ([1,5)).
((0,8]) में (0) शामिल नहीं है लेकिन (8) शामिल है। दिए गए विकल्पों में (8) सही सदस्य है। / In ((0,8]), (0) is not included but (8) is included. Among the given options, (8) is the correct member.
दो अलग-अलग भागों को मिलाने के लिए \(\cup\) का प्रयोग होता है। यहाँ (-2) और (5) दोनों शामिल नहीं हैं। / The symbol \(\cup\) is used to combine two separate parts. Here both (-2) and (5) are not included.
\([0,\infty\)) में (0) शामिल है और दाईं ओर सभी संख्याएँ हैं। इसलिए यह \(x\ge 0\) है। / The interval \([0,\infty\)) includes (0) and all numbers to the right. Therefore it is \(x\ge 0\).
(-5<x) का अर्थ है (x), (-5) से बड़ा है। सामान्य रूप में चर को बाईं ओर रखकर (x>-5) लिखते हैं. / (-5<x) means (x) is greater than (-5). In usual form, place the variable on the left and write (x>-5).
कोई छायांकन न होने का अर्थ है कोई संख्या समाधान में नहीं है। इसे रिक्त समुच्चय कहा जाता है। / No shading means no number is in the solution. This is called the empty set.
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए ((3,3)) में कोई सदस्य नहीं है। / No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. Therefore ((3,3)) has no member.
पूरी संख्या रेखा का अर्थ सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। इसका संकेत \(x\in \mathbb{R}\) है। / The whole number line means all real numbers. Its notation is \(x\in \mathbb{R}\).
\(2\le x\) में (2) शामिल है लेकिन (x<6) में (6) शामिल नहीं है। इसलिए (6) पर खाली वृत्त होगा। / In \(2\le x\), (2) is included, but in (x<6), (6) is not included. So (6) has an open circle.
\(x\le 0\) में (0) शामिल है और सभी छोटी संख्याएँ आती हैं। इसलिए (\(-\infty,0]\) सही है। / In \(x\le 0\), (0) is included and all smaller numbers are taken. Hence (\(-\infty,0]\) is correct.
कठोर असमता में \(\frac{3}{2}\) शामिल नहीं है। इसलिए सीमा पर खाली वृत्त बनेगा। / A strict inequality does not include \(\frac{3}{2}\). Therefore an open circle is drawn at the boundary.
C. दोनों सिरों पर भरे वृत्त/Closed circles at both endpoints
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं। इसलिए दोनों सिरों पर भरे वृत्त होंगे। / Square brackets include both endpoints. Therefore both endpoints have closed circles.
\(x\le -4\) में (-4) और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। (-5), (-4) से छोटा है। / In \(x\le -4\), (-4) and smaller numbers are included. (-5) is less than (-4).
दोनों ओर कठोर असमता है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। अतः दो खाली वृत्त होंगे। / Both sides have strict inequalities, so both endpoints are excluded. Therefore there are two open circles.
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों तरफ बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
A. (18) पर भरा वृत्त और दाईं ओर तीर/Closed circle at (18) and arrow right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 18\) में (18) शामिल है और उससे बड़ी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त दाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\ge 18\), (18) is included and numbers greater than it are taken. So a closed circle with a right arrow is used.
B. \(x\le -1\) या \(x\ge 4\)/\(x\le -1\) or \(x\ge 4\)
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-1]\) में \(x\le -1\) और \([4,\infty\)) में \(x\ge 4\) है। \(\cup\) का अर्थ दोनों भागों का मिलन है। / (\(-\infty,-1]\) means \(x\le -1\), and \([4,\infty\)) means \(x\ge 4\). The symbol \(\cup\) means the union of both parts.
भरा वृत्त (-3) को शामिल करता है और खाली वृत्त (3) को बाहर रखता है। इसलिए ([-3,3)) सही है। / The closed circle includes (-3), and the open circle excludes (3). Therefore ([-3,3)) is correct.
दोनों भाग (0) को शामिल नहीं करते। इसलिए (0) पर खाली वृत्त और दोनों ओर छायांकन होगा। / Both parts exclude (0). So there is an open circle at (0) and shading on both sides.
A. सिर्फ (12) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (12)
Explanation
Simple Explanation
([12,12]) में केवल (12) शामिल है। समान सीमाओं वाला बंद अंतराल एक भरा बिंदु दिखाता है। / The interval ([12,12]) includes only (12). A closed interval with equal endpoints shows one closed point.
\(\ge\) सीमा \(-\frac{5}{2}\) को शामिल करता है और दाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए वर्ग कोष्ठक से शुरू होगा। / \(\ge\) includes the boundary \(-\frac{5}{2}\) and takes numbers to the right. Therefore it starts with a square bracket.
\(x\le 3\) में (3) समाधान का भाग है। शामिल सीमा पर भरा वृत्त बनाया जाता है। / In \(x\le 3\), (3) is part of the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-3) होगा। संख्या रेखा पर खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-4) is not included, so the first integer after it is (-3). On the number line, do not count an open endpoint as a member.
(4) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (3) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर में न लें। / (4) is not included, so the greatest integer before it is (3). Do not take the open right endpoint as the answer.
B. (x=0) समाधान में नहीं है/(x=0) is not in the solution
Explanation
Simple Explanation
खुला वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए (x=0) शामिल नहीं है। / An open circle keeps the boundary out of the solution. Therefore (x=0) is not included.
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमा को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमा को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरे बदलता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This changes the endpoints on the number line.
खाली वृत्त (20) को हटाता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ हैं। इसलिए (x>20) सही है। / The open circle removes (20), and greater numbers are on the right. Hence (x>20) is correct.
(\(-\infty,\infty\)) सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए पूरी संख्या रेखा छायांकित होगी। / (\(-\infty,\infty\)) represents all real numbers. Therefore the entire number line will be shaded.
दोनों ओर गोल कोष्ठक हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। अतः (-7<x<-2) सही है। / Both sides have parentheses, so both endpoints are excluded. Thus (-7<x<-2) is correct.
बाहर की छायांकन दो अलग भाग दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-1\)\cup\(4,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate parts and open circles exclude the boundaries. Hence (\(-\infty,-1\)\cup\(4,\infty\)) is correct.
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-6) पर एक भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at (-6).
खाली वृत्त (-8) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (2) को शामिल करता है। इसलिए सही असमता \(-8<x\le 2\) है। / The open circle excludes (-8), and the closed circle includes (2). Therefore the correct inequality is \(-8<x\le 2\).
B. सीमा \(-\frac{3}{4}\), खाली वृत्त और दाईं ओर/Boundary \(-\frac{3}{4}\), open circle and right side
Explanation
Simple Explanation
कठोर (>) में सीमा शामिल नहीं होती और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए खाली वृत्त के साथ दाईं दिशा बनेगी। / The strict sign (>) does not include the boundary, and greater numbers lie to the right. So use an open circle with rightward direction.
B. (14) पर भरा वृत्त और बाईं ओर छायांकन/Closed circle at (14) and shading left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में (14) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। शामिल सीमा के लिए भरा वृत्त बनाइए। / The sign \(\le\) includes (14) and smaller numbers are on the left. Use a closed circle for an included boundary.
भरा वृत्त (16) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge 16\) सही है। / The closed circle includes (16) and the right side contains greater numbers. Therefore \(x\ge 16\) is correct.
A. (-12) और (-5) पर खाली वृत्त और बीच में छायांकन/Open circles at (-12) and (-5) with shading between
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर कठोर असमता है इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। बीच का छायांकित भाग समाधान है। / Both sides have strict inequalities so both endpoints are excluded. The shaded region between them is the solution.
खाली वृत्त (-13) को बाहर रखता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए अंतराल (\(-13,\infty\)) है। / The open circle excludes (-13) and the right side has greater numbers. Hence the interval is (\(-13,\infty\)).
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता। इसलिए (1) पर खाली वृत्त बनेगा। / The endpoint with a parenthesis is not included. Therefore an open circle is drawn at (1).
चिह्न (>) बड़ी संख्याओं को चुनता है। संख्या रेखा पर बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। / The sign (>) selects greater numbers. On the number line, greater numbers lie to the right.
\(x\ge -18\) में (-18) शामिल है और उससे बड़ी सभी संख्याएँ आती हैं। इसलिए \([-18,\infty\)) सही है। / In \(x\ge -18\), (-18) and all greater numbers are included. Hence \([-18,\infty\)) is correct.
दोनों सीमाएँ बराबरी सहित हैं इसलिए दोनों शामिल होंगी। इसलिए अंतराल ([3,11]) होगा। / Both endpoints are included because equality appears on both sides. Therefore the interval is ([3,11]).
एक भरा बिंदु केवल उसी मान को समाधान में शामिल दिखाता है। इसलिए समाधान (x=-4) है। / One closed point shows that only that value is included in the solution. Hence the solution is (x=-4).
B. (-16) पर खाली वृत्त और बाईं ओर किरण/Open circle at (-16) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,-16\)) में (-16) शामिल नहीं है और छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए खाली वृत्त और बाईं किरण बनेगी। / In (\(-\infty,-16\)), (-16) is not included and smaller numbers are taken. So an open circle and left ray are drawn.
B. (-9) बंद और (-2) खुला/(-9) closed and (-2) open
Explanation
Simple Explanation
(-9) के साथ वर्ग कोष्ठक है इसलिए वह शामिल है और (-2) के साथ गोल कोष्ठक है इसलिए वह शामिल नहीं है। यही सिरों को तय करता है। / (-9) has a square bracket so it is included and (-2) has a parenthesis so it is excluded. This decides the endpoints.
B. पूरी रेखा छायांकित और (7) पर खाली वृत्त/Whole line shaded with an open circle at (7)
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 7\) में (7) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। छोड़े गए मान पर खाली वृत्त बनता है। / In \(x\ne 7\), all real numbers except (7) are included. The excluded value is shown by an open circle.
केवल (4) शामिल है इसलिए (-6) खुला और (4) बंद होगा। सही अंतराल ((-6,4]) है। / Only (4) is included so (-6) is open and (4) is closed. The correct interval is ((-6,4]).
\([-\frac{3}{2},2\)) में \(-\frac{3}{2}\) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-\frac{3}{2}\) सही सदस्य है। / In \([-\frac{3}{2},2\)), \(-\frac{3}{2}\) is included but (2) is not. Therefore \(-\frac{3}{2}\) is a correct member.
पहला भाग (5) सहित बाईं ओर है और दूसरा भाग (5) के बाद दाईं ओर है। दोनों मिलकर पूरी संख्या रेखा देते हैं। / The first part is the left side including (5), and the second part is the right side after (5). Together they give the whole number line.
दो अलग हिस्सों को \(\cup\) से जोड़ा जाता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए गोल कोष्ठक लगेंगे। / Two separate parts are joined by \(\cup\). Both endpoints are excluded so parentheses are used.
(10>x) का अर्थ है (x), (10) से छोटा है। चर को बाईं ओर रखकर (x<10) लिखते हैं। / (10>x) means (x) is less than (10). Placing the variable on the left gives (x<10).
कोई छायांकन नहीं होने का अर्थ है कोई भी संख्या समाधान में नहीं है। इसलिए यह रिक्त समुच्चय दर्शाता है। / No shading means no number is in the solution. Therefore it represents the empty set.
कोई संख्या (8) से बड़ी और (8) से छोटी एक साथ नहीं हो सकती। इसलिए यह रिक्त समुच्चय है। / No number can be greater than (8) and less than (8) at the same time. Hence it is the empty set.
पूरी संख्या रेखा सभी वास्तविक संख्याओं को दिखाती है। इसका संकेत \(x\in \mathbb{R}\) है। / The whole number line shows all real numbers. Its notation is \(x\in \mathbb{R}\).
\(x<-\frac{9}{4}\) में सीमा शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। इसलिए (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) सही है। / In \(x<-\frac{9}{4}\), the boundary is excluded and smaller numbers are included. Hence (\(-\infty,-\frac{9}{4}\)) is correct.
(-1) बराबरी सहित है लेकिन (13) कठोर सीमा है। इसलिए (13) शामिल नहीं होगा। / (-1) is included with equality but (13) is a strict boundary. Therefore (13) is not included.
\(x\ge 4\) में (4) शामिल है और दाईं ओर की संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए \([4,\infty\)) सही है। / In \(x\ge 4\), (4) is included and numbers to the right are taken. Hence \([4,\infty\)) is correct.
कठोर (>) में \(\frac{7}{3}\) शामिल नहीं होता। इसलिए सीमा पर खाली वृत्त बनेगा। / The strict sign (>) does not include \(\frac{7}{3}\). Therefore an open circle is drawn at the boundary.
B. \(\frac{2}{3}\) बंद और \(\frac{8}{3}\) खुला होगा/\(\frac{2}{3}\) closed and \(\frac{8}{3}\) open
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{2}{3}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \(\frac{8}{3}\) को बाहर रखता है। इसलिए पहला सिरा बंद और दूसरा खुला होगा। / The square bracket includes \(\frac{2}{3}\), and the parenthesis excludes \(\frac{8}{3}\). So the first endpoint is closed and the second is open.
(x>-10) में (-10) से बड़ी संख्याएँ आती हैं। दिए गए विकल्पों में (-9) ही (-10) से बड़ा है। / In (x>-10), numbers greater than (-10) are included. Among the options, only (-9) is greater than (-10).
दोनों बंद सिरे बताते हैं कि दोनों सीमाएँ शामिल हैं। इसलिए दोनों ओर बराबरी सहित असमता होगी। / Both closed endpoints show that both boundaries are included. So inclusive inequalities are used on both sides.
A. (-22) पर भरा वृत्त और बाईं ओर तीर/Closed circle at (-22) and arrow left
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -22\) में (-22) शामिल है और उससे छोटी संख्याएँ ली जाती हैं। इसलिए भरा वृत्त बाईं ओर तीर के साथ होगा। / In \(x\le -22\), (-22) is included and smaller numbers are taken. So a closed circle with a left arrow is used.
B. \(x\le -6\) या \(x\ge 10\)/\(x\le -6\) or \(x\ge 10\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग \(x\le -6\) और दूसरा भाग \(x\ge 10\) देता है। \(\cup\) दोनों भागों का मिलन दिखाता है। / The first part gives \(x\le -6\) and the second gives \(x\ge 10\). The symbol \(\cup\) shows the union of both parts.
खाली वृत्त (1) को बाहर रखता है और भरा वृत्त (8) को शामिल करता है। इसलिए ((1,8]) सही है। / The open circle excludes (1), and the closed circle includes (8). Therefore ((1,8]) is correct.
दोनों भाग (6) को शामिल नहीं करते। इसलिए (6) पर खाली वृत्त और दोनों ओर छायांकन होगा। / Both parts exclude (6). So (6) has an open circle and both sides are shaded.
A. सिर्फ (-14) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (-14)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए (-14) पर भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore a closed point is drawn at (-14).
\(\le\) सीमा \(\frac{5}{6}\) को शामिल करता है और बाईं ओर की संख्याएँ लेता है। इसलिए (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) सही है। / \(\le\) includes the boundary \(\frac{5}{6}\) and takes numbers to the left. Therefore (\(-\infty,\frac{5}{6}]\) is correct.
\(x\ge -3\) में (-3) समाधान का भाग है। शामिल सीमा पर भरा वृत्त बनाया जाता है। / In \(x\ge -3\), (-3) is part of the solution. An included boundary is shown by a closed circle.
(-9) शामिल नहीं है इसलिए उसके बाद पहला पूर्णांक (-8) होगा। खुले सिरे को सदस्य न मानें। / (-9) is not included, so the first integer after it is (-8). Do not count an open endpoint as a member.
(12) शामिल नहीं है इसलिए उससे पहले का सबसे बड़ा पूर्णांक (11) होगा। खुले दाएँ सिरे को उत्तर न मानें। / (12) is not included, so the greatest integer before it is (11). Do not take the open right endpoint as the answer.
B. (x=-4) समाधान में नहीं है/(x=-4) is not in the solution
Explanation
Simple Explanation
खुला वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए (x=-4) शामिल नहीं है। / An open circle keeps the boundary out of the solution. Therefore (x=-4) is not included.
A. पहले में दोनों सिरे खुले और दूसरे में दोनों सिरे बंद/The first has both endpoints open and the second has both endpoints closed
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक सीमाओं को बाहर रखता है और वर्ग कोष्ठक सीमाओं को शामिल करता है। यही संख्या रेखा पर सिरों का अंतर बनाता है। / Parentheses exclude endpoints and square brackets include endpoints. This creates the endpoint difference on the number line.
खाली वृत्त (-20) को हटाता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ हैं। इसलिए (x<-20) सही है। / The open circle removes (-20), and smaller numbers are on the left. Hence (x<-20) is correct.
(\(-\infty,\infty\)) सभी वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है। इसलिए पूरी संख्या रेखा छायांकित होगी। / (\(-\infty,\infty\)) represents all real numbers. Therefore the entire number line is shaded.
दोनों ओर गोल कोष्ठक हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। अतः (-15<x<-7) सही है। / Both sides have parentheses so both endpoints are excluded. Thus (-15<x<-7) is correct.
बाहर की छायांकन दो अलग भाग दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-4\)\cup\(11,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate parts and open circles exclude the boundaries. Hence (\(-\infty,-4\)\cup\(11,\infty\)) is correct.
B. \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु/One closed point at \(\frac{4}{5}\)
Explanation
Simple Explanation
समान सीमाओं वाला बंद अंतराल केवल उसी संख्या को शामिल करता है। इसलिए \(\frac{4}{5}\) पर एक भरा बिंदु बनेगा। / A closed interval with equal endpoints includes only that number. Therefore one closed point is drawn at \(\frac{4}{5}\).
भरा वृत्त \(-\frac{5}{2}\) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(x\ge -\frac{5}{2}\) सही है। / The closed circle includes \(-\frac{5}{2}\), and greater numbers lie to the right. Therefore \(x\ge -\frac{5}{2}\) is correct.
A. समाधान में शामिल है/It is included in the solution
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक (7) को समाधान में शामिल करता है। इसलिए (7) पर भरा वृत्त बनेगा। / The square bracket includes (7) in the solution. Therefore a closed circle is drawn at (7).
खाली वृत्त (0) को बाहर रखता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। इसलिए अंतराल (\(-\infty,0\)) होगा। / The open circle excludes (0), and smaller numbers lie to the left. Hence the interval is (\(-\infty,0\)).
बंद सिरा (2) को शामिल करता है और खुला सिरा (9) को बाहर रखता है। इसलिए सही असमता \(2\le x<9\) है। / The closed endpoint includes (2), and the open endpoint excludes (9). Therefore the correct inequality is \(2\le x<9\).
