Level 41 • 49/50 questions • 30 seconds per question.
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If (7-4x>19), which solution for (x) is correct?
A. (x<-3)
(7-4x>19) से (-4x>12) और (x<-3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमता का चिन्ह पलटता है। / From (7-4x>19), we get (-4x>12), so (x<-3). The inequality sign reverses when dividing by a negative number.
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If \(x\in\mathbb{R}\) and \(-7<2x+5\leq 13\), which solution for (x) is correct?
A. \(-6<x\leq 4\)
(5) घटाने पर \(-12<2x\leq 8\) और फिर \(-6<x\leq 4\) मिलता है। संयुक्त असमता में हर भाग पर समान क्रिया करें। / Subtracting (5) gives \(-12<2x\leq 8\), then \(-6<x\leq 4\). Apply the same operation to every part of a compound inequality.
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If \(x\in\mathbb{R}\) and \(\frac{5-2x}{3}\geq \frac{x+1}{6}\), which solution for (x) is correct?
A. \(x\leq 3\)
(6) से गुणा करने पर \(10-4x\geq x+1\) और \(9\geq 5x\) मिलता है। इसलिए \(x\leq \frac{9}{5}\) होता है, अतः सही विकल्पों में कोई नहीं होना चाहिए। / Multiplying by (6) gives \(10-4x\geq x+1\), so \(9\geq 5x\). Therefore \(x\leq \frac{9}{5}\), so none of the listed options should be correct.
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What is the solution of (5(2x-3)\leq 3x+20)?
A. \(x\leq 5\)
सरलीकरण से \(10x-15\leq 3x+20\) और \(7x\leq 35\) मिलता है। कोष्ठक खोलने के बाद समान पदों को सही ओर रखें। / Simplifying gives \(10x-15\leq 3x+20\), so \(7x\leq 35\). After opening brackets, place like terms correctly.
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What is the solution of \(\frac{3-x}{-4}<2\)?
A. (x<11)
(-4) से गुणा करने पर चिन्ह पलटकर (3-x>-8) मिलता है। इससे (-x>-11) और (x<11) प्राप्त होता है। / Multiplying by (-4) reverses the sign and gives (3-x>-8). This gives (-x>-11), so (x<11).
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and (4x+9<1), what is the greatest possible (x)?
C. (-2)
असमता से (4x<-8) इसलिए (x<-2) मिलता है। सबसे बड़ा पूर्णांक हल (-3) नहीं बल्कि (-3) से पहले जांचें और सही मान (-3) होगा। / The inequality gives (4x<-8), so (x<-2). The greatest integer less than (-2) is (-3).
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A. \(2x-5\geq x+3,\ x\geq 8\)
‘कम नहीं है’ का अर्थ ‘से बड़ा या बराबर’ होता है, इसलिए असमता \(2x-5\geq x+3\) होगी। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(x-5\geq 3\), अतः \(x\geq 8\)। विकल्प B में ‘कम नहीं’ को सख्त असमता \(>\) माना गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ या ‘कम नहीं’ दिखे तो \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘Not less than’ means ‘greater than or equal to’, so the inequality is \(2x-5\geq x+3\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(x-5\geq 3\), and adding 5 gives \(x\geq 8\). Option B is incorrect because it uses the strict inequality \(>\), which excludes equality. Exam tip: phrases such as ‘at least’ and ‘not less than’ correspond to \(\geq\).
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(-2\leq \frac{x-1}{3}<3\), how many integer solutions are there?
B. (15)
(3) से गुणा करने पर \(-6\leq x-1<9\), इसलिए \(-5\leq x<10\) मिलता है। पूर्णांक (-5) से (9) तक हैं, कुल (15)। / Multiplying by (3) gives \(-6\leq x-1<9\), so \(-5\leq x<10\). The integers from (-5) to (9) are (15) in total.
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If \(-9\leq 3x-6<12\), which interval for (x) is correct?
A. ([-1,6))
(6) जोड़ने पर \(-3\leq 3x<18\) और फिर \(-1\leq x<6\) मिलता है। संयुक्त असमता में दोनों ओर समान क्रिया करें। / Adding (6) gives \(-3\leq 3x<18\), then \(-1\leq x<6\). Apply the same operation to all parts of a compound inequality.
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What is the solution set of (3(x-2)<3x-8)?
A. \(\emptyset\)
सरलीकरण से (3x-6<3x-8) यानी (-6<-8) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर कथन आने पर हल समुच्चय \(\emptyset\) होता है। / Simplifying gives (3x-6<3x-8), that is (-6<-8), which is false. A false constant statement gives solution set \(\emptyset\).
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Which option is the combined solution of (x>2) and \(x\leq 9\)?
B. ((2,9])
दोनों शर्तों को साथ लेने पर \(2<x\leq 9\) मिलता है। सख्त चिन्ह पर खुला सिरा और बराबरी वाले चिन्ह पर बंद सिरा रखें। / Taking both conditions together gives \(2<x\leq 9\). Use an open endpoint for a strict sign and a closed endpoint for equality.
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What is the solution of \(\frac{2x+3}{5}\geq \frac{x-1}{2}\)?
A. \(x\leq 11\)
(10) से गुणा करने पर \(4x+6\geq 5x-5\) और \(x\leq 11\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने से असमता का चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (10) gives \(4x+6\geq 5x-5\), so \(x\leq 11\). Removing positive denominators does not change the inequality sign.
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Which inequality has the solution set \([4,\infty)\)?
B. \(2x-8\geq 0\)
विकल्प B में \(2x-8\geq 0\) से \(2x\geq 8\), अर्थात् \(x\geq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका हल-समुच्चय \([4,\infty)\) है। विकल्प A से \(x>4\) मिलता है, जिसका हल \((4,\infty)\) होगा और उसमें 4 शामिल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: बंद कोष्ठक \([\) या \(]\) बराबरी सहित असमता को दर्शाता है। / For option B, \(2x-8\geq 0\) gives \(2x\geq 8\), so \(x\geq 4\). Hence, the solution set is \([4,\infty)\). Option A gives \(x>4\), whose solution set is \((4,\infty)\), so 4 is excluded. Exam tip: a square bracket indicates that the endpoint is included, which corresponds to an inequality containing equality.
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If \(x\in\mathbb{N}\) and \(5x-4\leq 21\), what is the solution set?
A. ({1,2,3,4,5})
असमता से \(5x\leq 25\) और \(x\leq 5\) मिलता है। \(\mathbb{N}\) में धनात्मक पूर्णांक लेकर हल (1) से (5) तक हैं। / The inequality gives \(5x\leq 25\), so \(x\leq 5\). Taking positive integers in \(\mathbb{N}\), the solutions are (1) through (5).
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If \(2x+5\) is not positive, which of the following inequalities for \(x\) is correct?
D. \(x\leq -\frac{5}{2}\)
‘धनात्मक नहीं’ का अर्थ है कि व्यंजक शून्य या ऋणात्मक हो सकता है, अर्थात \(2x+5\leq 0\)। दोनों पक्षों में 5 घटाने पर \(2x\leq -5\) और 2 से भाग देने पर \(x\leq -\frac{5}{2}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प C में \(<\) होने के कारण \(x=-\frac{5}{2}\) छूट जाता है, जबकि इस मान पर \(2x+5=0\) होता है और व्यंजक धनात्मक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘नहीं’ जैसे शब्दों पर ध्यान दें—‘धनात्मक नहीं’ में शून्य भी शामिल होता है। / ‘Not positive’ means the expression can be zero or negative, so \(2x+5\leq 0\). Subtracting 5 from both sides gives \(2x\leq -5\), and dividing by 2 gives \(x\leq -\frac{5}{2}\). Therefore, option D is correct. Option C incorrectly uses \(<\) and excludes \(x=-\frac{5}{2}\), even though the expression equals zero at that value and is therefore not positive. Exam tip: ‘not positive’ includes zero, whereas ‘negative’ excludes zero.
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Which value is not a solution of \(-4<x\leq 3\)?
D. (x=-4)
(-4) खुला सिरा है इसलिए (x=-4) शामिल नहीं है। सीमा मान जांचना ऐसे प्रश्नों में जरूरी है। / (-4) is an open endpoint, so (x=-4) is not included. Checking boundary values is essential in such questions.
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What is the solution of (6-2(5x-1)<0)?
A. \(x>\frac{4}{5}\)
सरलीकरण से (8-10x<0) और (-10x<-8) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर \(x>\frac{4}{5}\) होगा। / Simplifying gives (8-10x<0), so (-10x<-8). Dividing by a negative number gives \(x>\frac{4}{5}\).
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A. (x+8>3x)
कथन में संख्या (x) मानकर परिणाम (x+8) होगा और वह (3x) से अधिक है। भाषा को पहले सही बीजीय असमता में बदलें। / Let the number be (x); the result is (x+8), and it is greater than (3x). First translate the statement into the correct algebraic inequality.
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(-10<2x\leq 6\), how many integer solutions are there?
B. (8)
भाग देने पर \(-5<x\leq 3\) मिलता है। पूर्णांक हल (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं इसलिए कुल (8) हैं। / Dividing gives \(-5<x\leq 3\). The integer solutions are (-4,-3,-2,-1,0,1,2,3), so there are (8).
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Which statement is equivalent to \(y\geq -7\)?
B. \(-7\leq y\)
\(y\geq -7\) को उलटकर लिखने पर \(-7\leq y\) होता है। पक्ष बदलते समय चिन्ह की दिशा को सही पढ़ें। / Writing \(y\geq -7\) in reverse order gives \(-7\leq y\). Read the direction correctly when sides are switched.
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What is the solution of the inequality �frac{7-x}{3}<2�?
A. \(x>1\)
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर \(7-x<6\) मिलता है। अतः \(-x<-1\)। अब \(-1\) से गुणा करने पर असमता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>1\)। परीक्षा-युक्ति: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिह्न अवश्य उलटें। / Multiplying both sides by the positive number 3 gives \(7-x<6\), so \(-x<-1\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign; hence \(x>1\). Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the simplest form of \\(11\leq 2x+1\\)?
B. \\(x\geq 5\\)
दोनों पक्षों से 1 घटाने पर \\(10\leq 2x\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \\(5\leq x\\), अर्थात् \\(x\geq 5\\) प्राप्त होता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमता का चिह्न उलटता है। / Subtracting 1 from both sides gives \\(10\leq 2x\\). Dividing both sides by the positive number 2 yields \\(5\leq x\\), which is equivalent to \\(x\geq 5\\). The inequality sign does not reverse when dividing by a positive number. Exam tip: Reverse the sign only when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
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If \(x\in\mathbb{R}\) and \(2\leq \frac{x+1}{3}<5\), which interval is for (x)?
A. ([5,14))
(3) से गुणा करने पर \(6\leq x+1<15\) और \(5\leq x<14\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलते। / Multiplying by (3) gives \(6\leq x+1<15\), hence \(5\leq x<14\). Removing a positive denominator does not change the signs.
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Which number-line graph represents (x<-5)?
B. (-5) पर खुला वृत्त और बाईं ओर छाया
सख्त असमता (x<-5) में (-5) शामिल नहीं है और उससे छोटी संख्याएं शामिल हैं। इसलिए खुला वृत्त और बाईं छाया सही है। / In the strict inequality (x<-5), (-5) is not included and smaller numbers are included. So an open circle and left shading are correct.
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(3x+2\geq 17\), what is the least possible value of \(x\)?
B. 5
असमता \(3x+2\geq 17\) से \(3x\geq 15\), अतः \(x\geq 5\) प्राप्त होता है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 5 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(3(4)+2=14<17\)। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। / From \(3x+2\geq 17\), we get \(3x\geq 15\), and hence \(x\geq 5\). Since \(x\) is an integer, the least possible value is 5. Option 4 is incorrect because \(3(4)+2=14<17\). Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
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Which option includes (x=0) but excludes (x=-3)?
B. ((-3,4])
((-3,4]) में (0) शामिल है और (-3) खुले सिरे के कारण शामिल नहीं है। सिरों के कोष्ठक से समावेशन तय होता है। / In ((-3,4]), (0) is included and (-3) is excluded because of the open endpoint. Inclusion is decided by brackets.
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What is the solution of \(-5x+4\leq -16\)?
B. \(x\geq 4\)
\(-5x\leq -20\) से \(x\geq 4\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटना आवश्यक है। / From \(-5x\leq -20\), we get \(x\geq 4\). Reversing the sign is necessary when dividing by a negative coefficient.
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If the value of \(4x-7\) is not greater than \(13\), which is the correct solution for \(x\)?
C. \(x\leq 5\)
“अधिक नहीं” का अर्थ \(\leq\) होता है, इसलिए असमिका \(4x-7\leq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x\leq 20\), और 4 से भाग देने पर \(x\leq 5\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। विकल्प D गलत है, क्योंकि वह \(x=5\) को शामिल नहीं करता, जबकि \(x=5\) रखने पर \(4(5)-7=13\) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: “not greater than” को \(\leq\) और “not less than” को \(\geq\) के रूप में पढ़ें। / “Not greater than” means \(\leq\), so the inequality is \(4x-7\leq 13\). Adding 7 to both sides gives \(4x\leq 20\), and dividing by 4 gives \(x\leq 5\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because it excludes \(x=5\), even though \(4(5)-7=13\). Exam tip: interpret “not greater than” as \(\leq\) and “not less than” as \(\geq\).
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Which inequality statement correctly represents the open interval \((2,7)\)?
B. \(2<x<7\)
खुले अंतराल \((2,7)\) में 2 और 7 दोनों अंतिम बिंदु शामिल नहीं होते, इसलिए \(2<x<7\) सही है। विकल्प A में दोनों सिरे, C में 2 और D में 7 शामिल है। परीक्षा में याद रखें: कोष्ठक \(()\) का अर्थ है कि संबंधित अंतिम बिंदु शामिल नहीं है। / In the open interval \((2,7)\), neither endpoint 2 nor endpoint 7 is included, so \(2<x<7\) is correct. Option A includes both endpoints, option C includes 2, and option D includes 7. Exam tip: round brackets indicate that the corresponding endpoint is excluded.
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What is the solution set of the inequality \(3(2-x)>x+10\)?
A. \(x<-1\)
कोष्ठक खोलने पर \(6-3x>x+10\) मिलता है। अतः \(-4x>4\)। दोनों पक्षों को \(-4\) से भाग देने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \(x<-1\)। विकल्प B में चिन्ह उलटने की यह आवश्यक प्रक्रिया नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमता का चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the bracket gives \(6-3x>x+10\), so \(-4x>4\). Dividing both sides by \(-4\) reverses the inequality sign, yielding \(x<-1\). Option B incorrectly keeps the original direction after division by a negative number. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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A. \([-4,5)\)
पहली असमता से \(x+4\geq0\Rightarrow x\geq-4\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद \(-4\leq x<5\) है, अर्थात \([-4,5)\)। \(-4\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\geq\) है, जबकि \(5\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) है। परीक्षा-टिप: \(\geq\) या \(\leq\) पर सिरा बंद और \(>\) या \(<\) पर सिरा खुला रखें। / From the first inequality, \(x+4\geq0\) gives \(x\geq-4\). From the second, \(2x-1<9\Rightarrow2x<10\Rightarrow x<5\). Thus both conditions together give \(-4\leq x<5\), represented by \([-4,5)\). The endpoint \(-4\) is included because the inequality is non-strict, whereas \(5\) is excluded because the inequality is strict. Exam tip: use a closed endpoint for \(\leq\) or \(\geq\), and an open endpoint for \(<\) or \(>\).
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What is the solution of the inequality \(\frac{x-4}{-2}\geq 3\)?
B. \(x\leq -2\)
दोनों पक्षों को \(-2\) से गुणा करने पर असमता का चिन्ह उलट जाता है, क्योंकि \(-2\) ऋणात्मक है: \(x-4\leq -6\)। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \(x\leq -2\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिन्ह अवश्य पलटता है। / Multiplying both sides by \(-2\) reverses the inequality sign because \(-2\) is negative: \(x-4\leq -6\). Adding 4 to both sides gives \(x\leq -2\), so option B is correct. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
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If �\(x\in\mathbb{Z}\)� and �\(-3\leq \frac{x}{2}<4\)�, what is the solution set?
A. \(\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\)
असमानता के सभी पदों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर �\(-6\leq x<8\)� मिलता है; असमानता के चिह्नों की दिशा नहीं बदलती। चूँकि �(x� पूर्णांक है, इसलिए �x� के मान �-6� से �7� तक होंगे। �8� शामिल नहीं होगा क्योंकि ऊपरी असमानता सख्त है। परीक्षा-युक्ति: सख्त चिह्न �<� या �>� होने पर संबंधित अंतिम संख्या को हल समुच्चय में शामिल न करें। / Multiplying every part of the inequality by the positive number 2 gives �\(-6\leq x<8\)�, so the inequality signs retain their directions. Since �x� is an integer, its values range from �-6� through �7�. The value �8� is excluded because the upper inequality is strict. Exam tip: for a strict sign such as �<� or �>�, do not include the corresponding endpoint.
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Which inequality has no real-number solution?
A. (x+2>x+5)
(x+2>x+5) से (2>5) मिलता है जो असत्य है। जब चर कटकर झूठा कथन आए तो कोई हल नहीं होता। / From (x+2>x+5), we get (2>5), which is false. If variables cancel and a false statement remains, there is no solution.
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Which inequality has all real numbers as its solution?
B. \(5x-4\leq 5x+2\)
\(5x-4\leq 5x+2\) से \(-4\leq 2\) मिलता है जो हमेशा सत्य है। सत्य स्थिर कथन आने पर सभी वास्तविक संख्याएं हल होती हैं। / From \(5x-4\leq 5x+2\), we get \(-4\leq 2\), which is always true. If a true constant statement remains, all real numbers are solutions.
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If �(�x�)� is a real number and �\(-1<\frac{2x-3}{5}\leq 3\)�, what is the solution set for �(x)�?
A. \(-1<x\leq 9\)
असमानता �\(-1<\frac{2x-3}{5}\leq 3\)� में हर 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: �\(-5<2x-3\leq 15\)�। 3 जोड़ने और फिर 2 से भाग देने पर �\(-1<x\leq 9\)� मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि बाएँ छोर पर '<' होने से �(-1)� शामिल नहीं होगा, जबकि दाएँ छोर पर '�\leq�' होने से 9 शामिल होगा। / In �\(-1<\frac{2x-3}{5}\leq 3\)�, the denominator 5 is positive, so multiplying by 5 does not reverse either inequality sign: �\(-5<2x-3\leq 15\)�. Adding 3 and then dividing by 2 gives �\(-1<x\leq 9\)�, so option A is correct. Exam tip: the strict sign excludes �(-1)�, whereas the inclusive sign includes 9.
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Which option represents the correct interval form of \(x\leq -4\) or \(x>1\)?
A. \(\left(-\infty,-4\right]\cup\left(1,\infty\right)\)
\(x\leq -4\) का अंतराल \(\left(-\infty,-4\right]\) है, क्योंकि \(-4\) शामिल है। \(x>1\) का अंतराल \(\left(1,\infty\right)\) है, क्योंकि \(1\) शामिल नहीं है। ‘या’ दोनों अंतरालों का संघ दर्शाता है, इसलिए सही उत्तर \(\left(-\infty,-4\right]\cup\left(1,\infty\right)\) है। विकल्प B में दोनों सिरों की समावेशन स्थिति गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) के लिए वर्ग कोष्ठक और \(<\) या \(>\) के लिए गोल कोष्ठक लगाएँ। / The interval for \(x\leq -4\) is \(\left(-\infty,-4\right]\) because \(-4\) is included. The interval for \(x>1\) is \(\left(1,\infty\right)\) because \(1\) is excluded. The word “or” means the union of these two intervals, giving \(\left(-\infty,-4\right]\cup\left(1,\infty\right)\). Option B reverses the inclusion status of both finite endpoints. Exam tip: use square brackets for \(\leq\) or \(\geq\), and parentheses for strict inequalities.
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B. \(m\geq 40\)
“40 से कम नहीं” का अर्थ है कि अंक 40 के बराबर या 40 से अधिक हो सकते हैं। इसलिए सही असमता \(m\geq 40\) है। विकल्प A में \(m=40\) को शामिल नहीं किया गया है, जबकि ठीक 40 अंक मिलने पर भी विद्यार्थी उत्तीर्ण होगा। परीक्षा-युक्ति: “कम नहीं” को \(\geq\) और “अधिक नहीं” को \(\leq\) से व्यक्त करें। / “Not less than 40” means the marks can be equal to 40 or greater than 40. Hence, the correct inequality is \(m\geq 40\). Option A incorrectly excludes the case \(m=40\), even though exactly 40 marks satisfy the passing condition. Exam tip: translate “not less than” as \(\geq\) and “not more than” as \(\leq\).
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What is the solution of \\(2x-3<5x+12\\)?
A. \\(x>-5\\)
दोनों पक्षों से \\(2x\\) घटाने पर \\(-3<3x+12\\) मिलता है। फिर 12 घटाने पर \\(-15<3x\\) और 3 से भाग देने पर \\(x>-5\\) प्राप्त होता है। 3 धनात्मक है, इसलिए असमता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न बदलना अनावश्यक है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमता का चिह्न वही रहता है। / Subtracting \\(2x\\) from both sides gives \\(-3<3x+12\\). Subtracting 12 and then dividing by the positive number 3 gives \\(-15<3x\\), hence \\(x>-5\\). The inequality sign does not reverse because 3 is positive; therefore, option B is incorrect. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \(x\in[0,6)\), which of the following values is not included in this interval?
C. \(x=6\)
अंतराल \([0,6)\) में 0 शामिल है क्योंकि 0 के पास वर्ग कोष्ठक है, जबकि 6 शामिल नहीं है क्योंकि 6 के पास गोल कोष्ठक है। 5 और \(\frac{1}{2}\), दोनों 0 और 6 के बीच हैं, इसलिए शामिल हैं। परीक्षा में याद रखें: वर्ग कोष्ठक का अर्थ शामिल और गोल कोष्ठक का अर्थ शामिल नहीं होता है। / In the interval \([0,6)\), 0 is included because it has a square bracket, whereas 6 is excluded because it has a round bracket. Both 5 and \(\frac{1}{2}\) lie between 0 and 6, so they are included. Exam tip: a square bracket means included, while a round bracket means excluded.
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If (k>0) and \(a\leq b\), which conclusion is correct?
B. \(ka\leq kb\)
धनात्मक (k) से गुणा करने पर असमता की दिशा वही रहती है। इसलिए \(ka\leq kb\) सही है। / Multiplying by positive (k) keeps the direction of the inequality unchanged. Therefore \(ka\leq kb\) is correct.
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What is the solution of the inequality \(9-3x\geq 2x-16\)?
A. \(x\leq 5\)
असमता को सरल करने पर \(9-3x\geq 2x-16\Rightarrow 25\geq 5x\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 5 से भाग देने पर \(x\leq 5\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प A है। यदि किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो असमता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ ऐसा नहीं होता। परीक्षा-टिप: चर वाले पदों को एक ओर और स्थिर पदों को दूसरी ओर रखने के बाद चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / Rearranging the inequality gives \(9-3x\geq 2x-16\Rightarrow 25\geq 5x\). Dividing both sides by the positive number 5 yields \(x\leq 5\), so option A is correct. The inequality sign would reverse only if we divided or multiplied by a negative number; that does not happen here. Exam tip: after collecting the variable terms, always check the sign of the number used to divide.
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Which inequality shows an open circle at (4) and shading to the right?
B. (x>4)
खुला वृत्त बताता है कि (4) शामिल नहीं है और दाईं छाया बड़ी संख्याएं दिखाती है। इसलिए (x>4) सही है। / An open circle shows that (4) is not included, and right shading shows greater numbers. Therefore (x>4) is correct.
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If \(x\in\mathbb{R}\) and \(12<4x\leq 28\), which is the correct solution set for \(x\)?
A. \(3<x\leq 7\)
असमानता \(12<4x\leq 28\) के प्रत्येक भाग को धनात्मक संख्या \(4\) से भाग देने पर \(3<x\leq 7\) प्राप्त होता है। क्योंकि भाजक धनात्मक है, इसलिए असमानता के चिन्हों की दिशा नहीं बदलती। विकल्प B में दोनों सिरों पर समानता और असमानता के चिन्ह उलटे हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिन्ह पलटता है। / Dividing every part of \(12<4x\leq 28\) by the positive number \(4\) gives \(3<x\leq 7\). Since the divisor is positive, the inequality signs do not reverse. Option B incorrectly reverses the endpoint inclusions. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(\frac{x-2}{3}\leq -1\), what is the greatest possible (x)?
C. (-1)
(3) से गुणा करने पर \(x-2\leq -3\) और \(x\leq -1\) मिलता है। इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक हल (-1) है। / Multiplying by (3) gives \(x-2\leq -3\), so \(x\leq -1\). Therefore the greatest integer solution is (-1).
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Which of the following is the solution of the inequality \(4(x+2)-3(x-5)\geq 20\)?
A. \(x\geq -3\)
कोष्ठक खोलने पर \(4x+8-3x+15\geq 20\) मिलता है, अर्थात् \(x+23\geq 20\)। दोनों पक्षों से 23 घटाने पर \(x\geq -3\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में स्थिरांक घटाने की गणना गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक पद के सामने कोष्ठक खोलते समय उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / Expanding the brackets gives \(4x+8-3x+15\geq 20\), so \(x+23\geq 20\). Subtracting 23 from both sides yields \(x\geq -3\), making option A correct. Option B reverses the inequality incorrectly, while options C and D result from an incorrect subtraction. Exam tip: when removing a minus sign before a bracket, change the sign of every term inside that bracket.
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If \(x\) is a real number and \(x-2<4\) as well as \(x+5\geq 1\), what is the combined solution set?
A. \([-4,6)\)
पहली असमता से \(x-2<4\) होने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। दूसरी असमता से \(x+5\geq 1\) होने पर \(x\geq -4\) मिलता है। इसलिए दोनों शर्तों का साझा हल \(-4\leq x<6\) है, जिसे अंतराल रूप में \([-4,6)\) लिखा जाता है। ध्यान रखें कि वर्ग कोष्ठक \(-4\) को शामिल करता है, जबकि कोष्ठक \(6\) को शामिल नहीं करता। / From the first inequality, \(x-2<4\) gives \(x<6\). From the second, \(x+5\geq 1\) gives \(x\geq -4\). Therefore, the common solution is \(-4\leq x<6\), written in interval notation as \([-4,6)\). Remember that the square bracket includes \(-4\), while the parenthesis excludes \(6\).
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Which inequality has solution (\(-\infty,\infty\)) in \(\mathbb{R}\)?
C. \(7x-4\leq 7x+9\)
\(7x-4\leq 7x+9\) से \(-4\leq 9\) मिलता है जो हमेशा सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है। / From \(7x-4\leq 7x+9\), we get \(-4\leq 9\), which is always true. Therefore every real (x) is a solution.
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What is the integer solution set of \(-3\leq 2x+1<7\)?
A. ({-2,-1,0,1,2})
\(-3\leq 2x+1<7\) से \(-4\leq 2x<6\) और \(-2\leq x<3\) मिलता है। पूर्णांक हल (-2) से (2) तक हैं। / From \(-3\leq 2x+1<7\), we get \(-4\leq 2x<6\), hence \(-2\leq x<3\). The integer solutions are from (-2) to (2).
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