Level 24 • 50/50 questions • 25 seconds per question.
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A. दोTwo
ग्राफ जहाँ (x)-अक्ष को काटता है वही शून्यक होता है। परीक्षा में काटने वाले बिंदुओं की संख्या गिनें। / A zero occurs where the graph meets the (x)-axis. In exams count the (x)-intercepts.
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A. वह बिंदु बहुपद का शून्यक है और उसकी बहुगुण्यता सम (even multiplicity) हैThat point is a zero of the polynomial with even multiplicity (touching root)
जब ग्राफ x-अक्ष को केवल छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान y = 0 होता है और आस-पास के x के लिए फलन का चिह्न नहीं बदलता। यह व्यवहार तभी होता है जब वह शून्यक की बहुगुण्यता सम (even) हो — उदाहरण के लिए बहुगुण्यता 2 पर ग्राफ स्पर्श करके लौटता है। विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है y=0 होना, केवल 'करीब' होना नहीं। विकल्प C गलत है क्योंकि विषम बहुगुण्यता पर ग्राफ अक्ष को काटकर पार कर जाएगा (चिह्न बदलता है)। विकल्प D भी गलत है — एक स्थिर बहुपद (degree 0) x-अक्ष को छू कर लौटने जैसा सामान्य व्यवहार नहीं देता सिवाय शून्य बहुपद के, जो विशेष स्थिति है। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर स्पर्श करते समय सबसे पहले शून्यक की बहुगुण्यता (multiplicity) देखें — सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर कटना। / If the curve merely touches the x-axis at a point, the function value there is y=0 and the sign of the polynomial does not change on either side of the point. That occurs when the root has even multiplicity (e.g. multiplicity 2), so the graph is tangent to the axis. Option B is wrong because touching means the value is exactly zero, not just near zero. Option C is wrong because an odd-multiplicity root causes a sign change and the graph crosses the axis. Option D is incorrect — a degree‑0 polynomial is constant and does not produce a typical touch‑and‑return x‑intercept except in the degenerate zero polynomial case. Exam tip: determine the multiplicity of the root — even multiplicity gives touch (tangent), odd multiplicity gives crossing.
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A. शून्यZero
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
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If \(p(x)=x^2-9\), at which points does its graph intersect the x-axis?
A. (-3, 0), (3, 0)
\(p(x)=0\) पर रखें: \(x^2-9=0\) से \(x^2=9\) और इसलिए \(x=\pm3\). बहुपद के शून्य (zeroes) x-अक्ष पर बिंदु के रूप में होते हैं, यानी \((x,0)\)। अतः शून्य बिंदु \((-3,0)\) और \((3,0)\) होंगे। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=\pm9\) रखने पर \(x^2-9\) शून्य नहीं होगा; विकल्प B और D का पहला समन 0 है इसलिए वे y-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं और गलत हैं। परीक्षा टिप: हमेशा \(p(x)=0\) कर के x निकालें और उत्तर को (x,0) के रूप में लिखें। / Set \(p(x)=0\): \(x^2-9=0\) so \(x^2=9\) and \(x=\pm3\). Zeros of the polynomial are x-axis intercepts, i.e. points of the form \((x,0)\). Therefore the graph intersects the x-axis at \((-3,0)\) and \((3,0)\). Option C is incorrect because \(x=\pm9\) does not satisfy the equation; options B and D give points with x=0 (y-axis), so they are wrong. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\), solve for x, then report as (x,0).
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A. बराबर शून्यक (4) और (4)Equal zeroes (4) and (4)
द्विघात ग्राफ एक बिंदु पर छूता है तो दोनों शून्यक समान होते हैं। परीक्षा में इसे दोहराया शून्यक मानें। / When a quadratic graph touches at one point its two zeroes are equal. Treat it as a repeated zero in exams.
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A. शून्यZero
ग्राफ (x)-अक्ष से न मिले तो वास्तविक शून्यक नहीं होता। केवल (y=0) वाले बिंदु गिने जाते हैं। / If the graph does not meet the (x)-axis there is no real zero. Only points with (y=0) are counted.
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If a function \(p\) satisfies \(p(2)=0\), what is the geometric meaning on its graph?
A. ग्राफ \(x\)-अक्ष को \((2,0)\) पर छेदता हैThe graph intersects the \(x\)-axis at \((2,0)\)
\(p(2)=0\) का अर्थ है कि \(x=2\) पर फलन का मान \(y=0\) है, अर्थात् बिंदु \((2,0)\) ग्राफ पर स्थित है। यह वही परिभाषा है जिससे यह पता चलता है कि \(2\) एक शून्य (zero) या x-इंटरसेप्ट है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर आने का अर्थ \(x=0\) होता है, न कि \(x=2\)। विकल्प C सिर्फ किसी क्वाड्राटिक के शीर्ष का दावा करता है; \(p(2)=0\) से शीर्ष का स्थान नहीं मिलता। विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=2\) एक पूर्ण ऊर्ध्वाधर रेखा होगी जिसमें हर संभव \(y\) मान आएंगे, जबकि \(p(2)=0\) केवल एक बिंदु बताता है। परीक्षा टिप: सामान्य नियम — यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु \((a,0)\) ग्राफ का x-इंटरसेप्ट है; बहुलकता (multiplicity) से पता चलता है कि क्या ग्राफ उस बिंदु पर कटता है या छुकर लौटता है। / \(p(2)=0\) means that at \(x=2\) the function value is \(y=0\), so the point \((2,0)\) lies on the graph. Thus 2 is a zero of the function and corresponds to the x-intercept. Option B is wrong because the y-axis corresponds to \(x=0\), not \(x=2\). Option C is irrelevant: a single equation \(p(2)=0\) does not determine a vertex location. Option D is incorrect because \(x=2\) as a vertical line would contain all \(y\) values, whereas \(p(2)=0\) specifies only the single point \((2,0)\). Exam tip: remember that \(p(a)=0\) always gives the x-intercept \((a,0)\); multiplicity of the root tells you if the graph crosses or merely touches the axis.
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A. दोTwo
अलग-अलग शून्यक केवल (-1) और (2) हैं। छूने वाला शून्यक दोहराया हो सकता है पर अलग मान एक ही गिना जाता है। / The distinct zeroes are only (-1) and (2). A touching zero may be repeated but its distinct value is counted once.
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What is the x-intercept of the graph of \(p(x)=3x+6\)?
A. (-2, 0)
x-अक्ष से प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए x-प्रतिच्छेद के लिए \(p(x)=0\) रखना होगा। \(3x+6=0\) से \(x=-2\) मिलता है, अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((-2,0)\) है। विकल्प C \((0,6)\) y-प्रतिच्छेद है क्योंकि वह \(x=0\) पर \(p(0)=6\) देता है; विकल्प B और D संकेतों या अक्ष को उल्टा दिखाते हैं और इसलिए गलत हैं. परीक्षा-टिप: x-प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें; y-प्रतिच्छेद के लिए \(x=0\) पर फ़ंक्शन का मान लें। / An x-intercept has y-coordinate 0, so set the polynomial equal to zero. Solving \(3x+6=0\) gives \(x=-2\), hence the x-intercept is \((-2,0)\). Option C \((0,6)\) is the y-intercept since \(p(0)=6\). Options B and D mix up sign or axes and are therefore incorrect. Exam tip: to find x-intercepts set \(p(x)=0\); to find the y-intercept evaluate \(p(0)\).
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A. {-4, 1, 6}
x-प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ y=0 होता है; इसलिए शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं। दिए गए बिंदु (-4,0), (1,0) और (6,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -4, 1 और 6 हैं, अतः शून्यकों का समुच्चय {-4, 1, 6} है। विकल्प B, C और D में 0 शामिल है जो y-निर्देशांक है, न कि x-शून्यक; इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: शून्यकों को समुच्चय के रूप में लिखें और द्विघात/बहुपद में समान शून्यक की बारम्बारता (multiplicity) पर ध्यान दें। / The x-intercepts occur where y=0, so the zeroes are the x-coordinates of those intercepts. From (-4,0), (1,0) and (6,0) the x-values are -4, 1 and 6, hence the zero set is {-4, 1, 6}. Options B, C and D wrongly include 0 (a y-coordinate) instead of the x-value -4, so they are incorrect. Exam tip: list roots as a set (order doesn't matter) and check for repeated roots (multiplicity) if a point repeats or the graph merely touches the x-axis.
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A graph cuts the (x)-axis three times. What can be the minimum possible degree of that polynomial?
A. (3)
किसी बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या उसकी डिग्री से अधिक नहीं हो सकती। तीन कटान के लिए न्यूनतम डिग्री (3) है। / The number of real zeroes cannot exceed the degree of the polynomial. Three crossings need minimum degree (3).
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Which statement is correct about the graph of the quadratic polynomial (p(x)=x-2+4)?
A. यह (x)-अक्ष को नहीं काटताIt does not cut the (x)-axis
\(x^2+4\) हमेशा धनात्मक है इसलिए (y=0) नहीं होता। ग्राफ से शून्यक तभी मानें जब अक्ष से मिलन हो। / \(x^2+4\) is always positive so (y=0) never occurs. Count a zero only when the graph meets the axis.
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If the graph of a polynomial crosses the x-axis at the point (0,0), which conclusion is certain?
A. \(x=0\) बहुपद का शून्यक है\(x=0\) is a zero of the polynomial
यदि ग्राफ बिंदु (0,0) पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद p(x) के लिए p(0)=0 होगा, अतः \(x=0\) निश्चित रूप से एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि डिग्री \(0\) होने का मतलब स्थिर (constant) बहुपद p(x)=c (जहाँ c≠0) है जो x-अक्ष को नहीं काटेगा; शून्य बहुपद p(x)=0 की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती। विकल्प C गलत है क्योंकि केवल यह सुनिश्चित होता है कि 0 एक शून्यक है, पर यह नहीं बताता कि अन्य सभी शून्यक भी 0 हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी बहुपद का ग्राफ फ़ंक्शन होता है और यह y-अक्ष के समानांतर (vertical line) नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) पर x-अक्ष को काटना हमेशा दर्शाता है कि \(p(a)=0\)। / If the graph meets the x-axis at (0,0) then for the polynomial p(x) we have p(0)=0, so \(x=0\) is certainly a root. Option B is false because degree 0 means a nonzero constant p(x)=c (c≠0), which cannot cross the x-axis; the zero polynomial is a special case whose degree is not regarded as 0. Option C is false because only one root (0) is guaranteed, not that every root equals 0. Option D is false because a graph parallel to the y-axis would not represent a function of x (and cannot be the graph of a polynomial). Exam tip: whenever the graph crosses x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(p(a)=0\).
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A. 0
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((7,0)\) का y-समन्वय \(0\) है। इसलिए उस बिंदु पर \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 x-निर्देशांक है, परंतु फलन का मान नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर यदि ग्राफ x-अक्ष को काटे तो तुरंत लिखें \(p(a)=0\)। / Any point on the x-axis has y-coordinate zero, so at the point \((7,0)\) the function value is \(0\). Therefore \(p(7)=0\). Option B (7) confuses the x-coordinate with the function value; option C (−7) and D (1) are just incorrect numerical choices. Exam tip: For intersection \((a,0)\) with the x-axis always record \(p(a)=0\).
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A. दो भिन्न वास्तविक शून्यकTwo distinct real zeroes
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
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If p(x)=2(x-1)(x+4), what are the x-intercepts of its graph?
A. (1,0), (-4,0)
हर गुणनखंड को शून्य मानने पर मिलते हैं: x-1=0 ⇨ x=1 और x+4=0 ⇨ x=-4। x-प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जिनका y-अंश 0 होता है, अतः (1,0) और (-4,0)। गुणांक 2 केवल ग्राफ की ऊर्ध्वाधर स्केल बदलता है, शून्यस्थल नहीं। निकटतम भ्रमक विकल्प C में (-4,0) सही है पर दूसरा बिंदु (2,0) गलत है क्योंकि (x-1)=0 से x=1 होना चाहिए न कि 2। परीक्षा टिप: फैक्टर्स को 0 पर रखें और प्राप्त शून्य को (root,0) के रूप में लिखें। / Set each factor to zero: x-1=0 gives x=1 and x+4=0 gives x=-4. x-intercepts are points with y=0, so (1,0) and (-4,0). The leading factor 2 only scales the graph vertically and does not change the zeros. Closest distractor C contains the correct (-4,0) but incorrectly lists (2,0) instead of (1,0); option B flips the signs. Exam tip: For factorised polynomials set each factor to zero and record each root as (root,0).
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In which situation will \(x=3\) be called a zero of the polynomial \(p(x)\)?
A. जब \(p(3)=0\) होWhen \(p(3)=0\)
शून्यक (root) उस x‑मान को कहते हैं जिस पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए यदि \(p(3)=0\) है तो \(x=3\) बहुपद का शून्यक है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि: \(p(0)=3\) में \(x=3\) का परीक्षण ही नहीं है; ग्राफ यदि \((0,3)\) से गुजरता है तो वह y‑अक्ष पर बिंदु (0,3) दर्शाता है, न कि x‑अक्ष पर शून्य; और \(p(3)=3\) में मान शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी कथित शून्य के लिए सीधे बहुपद में वह x‑मान रखकर मान जांचें (p(a) देखें)। / A zero (root) is an x‑value at which the polynomial evaluates to zero. So if \(p(3)=0\), then \(x=3\) is a zero of \(p(x)\). The other choices are wrong: \(p(0)=3\) checks the value at x=0, not at x=3; passing through \((0,3)\) is a y‑intercept, not an x‑intercept (root); and \(p(3)=3\) gives a nonzero value. Exam tip: to verify if \(x=a\) is a root compute \(p(a)\) and check if it equals 0.
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A. दोTwo
x-अक्ष को काटना दर्शाता है कि x = -5 पर एक वास्तविक शून्यक मौजूद है। x = 2 पर 'स्पर्श' होने का अर्थ है कि x = 2 भी शून्यक है (आमतौर पर सम बहुलकता — multiplicity ≥ 2), पर यह भी एक ही भिन्न वास्तविक शून्यक गिना जाता है। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक x = -5 और x = 2 — कुल 2। विकल्प C (तीन) केवल तब सही होता अगर प्रश्न में शून्यकों को उनकी बहुलकता सहित गिनने को कहा गया हो (उदाहरण: multiplicity 1 at -5 और multiplicity 2 at 2 → कुल गणनात्मक शून्य 3), पर यहाँ भिन्न शून्यकों की संख्या माँगी गई है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में देखें कि ‘भिन्न’ (distinct) माँगा है या 'बहुलकता सहित' (counting multiplicity)। / A crossing at x = -5 gives a real root at -5. A touch (tangent) at x = 2 also gives a real root at 2 (typically with even multiplicity), but it still counts as one distinct real zero. Therefore the distinct real zeros are x = -5 and x = 2 — two in total. Option C (three) would be correct only if you were asked to count zeros with multiplicity (for example multiplicity 1 at -5 and multiplicity 2 at 2 would total 3). Exam tip: check whether the question asks for distinct zeros or asks to count multiplicities.
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If (p(x)=(x+2)2), how will its graph behave with the (x)-axis?
A. ((-2,0)) पर छुएगाIt will touch at ((-2,0))
दोहराए गुणनखंड से समान शून्यक (-2) मिलता है। द्विघात परवलय ऐसे बिंदु पर सामान्यतः (x)-अक्ष को छूता है। / The repeated factor gives equal zero (-2). A quadratic parabola generally touches the (x)-axis at such a point.
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A. दोनों वास्तविक शून्यक समान हैंBoth real zeroes are equal
शीर्ष (x)-अक्ष पर होने पर परवलय अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है। इसलिए शून्यक समान होते हैं। / When the vertex lies on the (x)-axis, the parabola touches the axis at one point. Hence the zeroes are equal.
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A. दोनों \(0\) होंगेBoth are \(0\)
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
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A. इससे शून्यक निश्चित नहीं किया जा सकताA zero cannot be determined from this alone
y‑प्रतिच्छेद बताता है कि x = 0 पर बहुपद का मान क्या है; यहाँ यह दर्शाता है कि \(p(0) = -8\)। शून्यक वे x‑मूल्य होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) अर्थात् ग्राफ x‑अक्ष को काटता है। इसलिए केवल y‑प्रतिच्छेद से शून्यक निर्धारित नहीं किए जा सकते। विकल्प B यह भूल है कि y‑मान (-8) को शून्यक समझ लिया गया; विकल्प C तब भी गलत है क्योंकि p(0) = -8 ≠ 0; विकल्प D कोई तर्कसंगत संबंध नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए ग्राफ के x‑अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं (x‑intercepts) देखें, y‑प्रतिच्छेद केवल \(p(0)\) देता है। / The y‑intercept gives the value of the polynomial at x = 0; here it shows \(p(0) = -8\). Zeros (roots) are x values for which \(p(x)=0\), i.e. where the graph intersects the x‑axis. Thus a y‑intercept alone does not determine the zeros. Option B mistakes the y‑value (-8) for a root; option C is wrong because p(0) = -8 ≠ 0; option D is unrelated. Exam tip: to find zeros look for x‑intercepts (points where y=0); y‑intercept only gives \(p(0)\).
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If p(x)=-(x-3)(x+1), what are the zeros of p(x)?
A. 3 और -13 and -1
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ बहुपद शून्य हो। गुणनखंड -(x-3)(x+1) में बाहरी ऋण चिह्न मान्यताओं को बदलता है पर शून्यक नहीं बदलता। इसलिए (x-3)=0 से x=3 और (x+1)=0 से x=−1 मिलता है। निकटवर्ती विचलन: विकल्प D में दूसरा शून्य +1 है जो (x+1) को गलत पढ़ने पर आ सकता है; विकल्प C में 0 को शामिल करना तब होता है जब किसी ने x के किसी कारक को ग़लत तरीके से मान लिया हो। परीक्षा टिप: हर गुणनखंड को 0 के बराबर करके सीधे शून्यक निकालें और साइन के चिह्न से भ्रमित न हों। / Zeros of a polynomial are the x-values that make it zero. For p(x)=-(x-3)(x+1) the leading negative sign does not change the zeros. Set each factor to zero: x-3=0 gives x=3, x+1=0 gives x=−1. Why other choices are wrong: choice D mistakenly uses +1 instead of −1; choice C includes 0 which would require a factor x, not present. Exam tip: set each linear factor equal to zero; ignore an overall constant factor (including a minus sign) when finding zeros.
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If a parabola opens downward and cuts the (x)-axis at two points, how many real zeroes will it have?
A. दोTwo
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
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The graph cuts the (x)-axis at ((-2,0)), ((0,0)), and ((5,0)). Which statement is correct?
A. शून्यक (-2,0,5) हैंThe zeroes are (-2,0,5)
मूल बिंदु भी (x)-अक्ष पर है इसलिए (0) भी शून्यक है। सभी (x)-प्रतिच्छेदों के (x)-मान लिखें। / The origin also lies on the (x)-axis so (0) is also a zero. Write the (x)-values of all intercepts.
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If (p(x)=x-2-6x+9), how will the graph meet the (x)-axis?
A. ((3,0)) पर छुएगाIt will touch at ((3,0))
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए शून्यक (3) दोहराया है। दोहराया शून्यक ग्राफ में छूने जैसा दिखता है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so (3) is a repeated zero. A repeated zero appears as touching on the graph.
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A. डिग्री कम से कम (4) होगीThe degree is at least (4)
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती। / Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
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How many real zeros does the constant polynomial \(p(x)=5\) have?
A. शून्यZero
स्थिर बहुपद \(p(x)=5\) का ग्राफ रेखा \(y=5\) है जो \(x\)-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। वास्तविक शून्यक वे बिंदु हैं जहाँ \(p(x)=0\)। यहाँ \(5=0\) सम्भव नहीं है, इसलिए कोई भी वैसा \(x\) नहीं मिलेगा। इसीलिए वास्तविक शून्यक की संख्या शून्य है। निकटतम विचलन जैसे “एक” गलत है क्योंकि इससे तर्क यह होगा कि किसी विशेष \(x\) पर बहुपद शून्य होगा — पर ऐसा कोई समाधान नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद के शून्य देखने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) लगा कर हल करें; यदि स्थिर मान शून्य नहीं है तो शून्यक नहीं होंगे। / The graph of the constant polynomial \(p(x)=5\) is the horizontal line \(y=5\), parallel to the x-axis. Real zeros are values of \(x\) for which \(p(x)=0\). Since the equation \(5=0\) has no solution, there is no real \(x\) with \(p(x)=0\). Therefore the number of real zeros is zero. The distractor “one” is incorrect because it assumes some \(x\) makes the polynomial zero, which is impossible here. Exam tip: To check zeros, set \(p(x)=0\) — for nonzero constants this immediately shows there are none.
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What is the graph of the zero polynomial \(p(x)=0\)?
A. पूरा x-अक्षThe entire x-axis
शून्य बहुपद \(p(x)=0\) का अर्थ है कि प्रत्येक वास्तविक x के लिए y का मान 0 होगा। इसलिए ग्राफ उन सभी बिंदुओं का समूह है जो रूप में हैं \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\) — अर्थात् पूरा x-अक्ष। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष के बिंदु \((0,y)\) का सामान्य रूप y=0 नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि अनगिनत बिंदु मौजूद हैं (हर x पर y=0)। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल मूल बिंदु नहीं बल्कि हर x पर बिंदु मौजूद हैं। परीक्षा टिप: जब किसी बहुपद को शून्य बताया जाए तो याद रखें वह "पहचान के बराबर शून्य" है यानी हर x पर y=0। / The zero polynomial \(p(x)=0\) yields y=0 for every real x, so its graph is the set \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\), i.e. the entire x-axis. Option B is incorrect because the y-axis consists of points \((0,y)\), not points with y=0. Option C is wrong because there are infinitely many points (one for each x). Option D is wrong because the graph is not just the origin but all points with y=0. Exam tip: For an identically zero polynomial check values for all x — the graph will be the horizontal line y=0 (the x-axis).
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A. -6
शून्यक वह x–मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है. प्रश्न में स्पष्ट रूप से कहा गया है कि केवल \(x=-6\) पर ही \(y=0\) है और किसी अन्य बिंदु पर नहीं, अत: शून्यक \(-6\) है. विकल्प B (6) और C (0) गलत हैं क्योंकि उन बिंदुओं पर \(y\) का शून्य होने का संकेत नहीं दिया गया है. परीक्षा टिप: ग्राफ पर जहाँ x-अक्ष को काटा गया हो वही x-निर्देशक शून्यक होता है; काटना (cross) और छूना (touch) अलग-अलग गुणसूत्र (multiplicity) दिखाते हैं। / A zero is an x-value where the function value is \(y=0\). The problem states that \(y=0\) occurs only at \(x=-6\) and nowhere else, so the zero is \(-6\). Options 6 and 0 are incorrect because the graph is not said to meet the x-axis at those x-values. Exam tip: read the x-coordinate of points where the graph intersects the x-axis; note also that whether the graph crosses or merely touches the axis indicates multiplicity but does not change the x-value of the zero.
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A. \(p(r)=0\)
बिंदु \((r,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=r\) पर है तो \(y=0\)। किसी बहुपद के लिए \(y=p(x)\) होता है, इसलिए \(p(r)=0\) होना चाहिए। विकल्प \(p(0)=r\) गलत है क्योंकि वह \(x=0\) पर बहुपद का मान देता है और \(r\) से जुड़ा नहीं है। \(r=0\) तभी सत्य होगा जब विशेष रूप से शून्यक 0 हो; सामान्य रूप से यह आवश्यक नहीं है। \(p(r)=r\) भी गलत है — यह कहता है कि बहुपद का मान उसी x के बराबर है, जो x-अक्ष पर होने का आवश्यक परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु \((a,0)\) का मतलब सीधे f(a)=0 होता है, इसलिए पहले उसी पर ध्यान दें। / The point \((r,0)\) means that when \(x=r\), the function value \(y=0\). For a polynomial function \(y=p(x)\), this implies \(p(r)=0\). Option \(p(0)=r\) refers to the value at \(x=0\) and is unrelated to the intercept at \(x=r\). \(r=0\) need not hold unless the specific root equals zero. \(p(r)=r\) is incorrect because it equates the function value to the x-coordinate, which is not required for an x-intercept. Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(f(a)=0\).
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At which x-values will the graph of \(p(x)=x^2+2x-15\) cut the x-axis?
A. 3 और -53 and -5
x-अक्ष पर कटान के लिए p(x)=0 होना चाहिए। \(x^2+2x-15\) को गुणनखंडों में बाँटने पर \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(x+5=0\) से \(x=-5\) तथा \(x-3=0\) से \(x=3\)। अतः x-अक्ष को काटने के मान 3 और -5 हैं। निकटतम भ्रम (जैसे विकल्प B) में चिह्न उल्टा लिया गया है (3 को -3 समझना या -5 को 5 मानना) — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: गुणनखंड न बन रहा हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और जाँच के लिए मूलों का योग \((-b/a)\) और गुणन \(c/a\) से सत्यापित कर लें (यहाँ sum = -2 और product = -15)। / x-intercepts occur where p(x)=0. Factorizing \(x^2+2x-15\) gives \((x+5)(x-3)\). Setting each factor to zero yields \(x=-5\) and \(x=3\), so the graph cuts the x-axis at 3 and -5. A common distractor (option B) flips signs (e.g. taking 3 as -3 or -5 as 5), which is incorrect. Exam tip: if factorisation is unclear, use the quadratic formula and verify roots quickly by checking sum = -b/a and product = c/a (here sum = -2, product = -15).
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A. 1
शून्यक का अर्थ है वह x‑मान जहाँ p(x)=0। यहाँ स्पष्ट रूप से p(1)=0 दिया है, अतः x=1 निश्चित रूप से शून्यक है। p(-3)<0 और p(4)>0 यह केवल बताते हैं कि उन बिंदुओं पर मान शून्य नहीं है; हालाँकि बहुपद सतत होता है इसलिए p(-3) और p(4) के विभिन्न चिह्न होने से (-3,4) के अंदर कम-से-कम एक शून्य उपस्थित होने की गारंटी है, पर वह किसी भी विशेष बिंदु (जैसे -3 या 4) पर होना अनिवार्य नहीं है. निकटतम भ्रामक विकल्प (-3 और 4) गलत है क्योंकि दोनों पर दिए गए मान शून्य नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: किसी बिंदु के शून्य होने के लिए p(x)=0 स्पष्ट रूप से दिया होना चाहिए; केवल चिह्न परिवर्तन से किसी अंतराल में शून्य का अस्तित्व पता चलता है, उसकी ठोस स्थिति नहीं। / A root means an x where p(x)=0. Here p(1)=0 is explicitly given, so x=1 is certainly a root. The facts p(-3)<0 and p(4)>0 only show those values are nonzero; although polynomials are continuous and a sign change guarantees at least one root in (-3,4), it does not force the root to be at -3 or 4. Thus the option “-3 and 4” is incorrect because both p(-3) and p(4) are nonzero. Exam tip: look for an explicit p(x)=0 for a definite root; use sign changes only to conclude existence inside intervals, not exact locations.
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The graph does not cut the (x)-axis but cuts the line (y=2) twice. What is certain about zeroes?
A. दिए गए आधार पर कोई शून्यक नहीं दिखताNo zero is shown from the given data
शून्यक केवल (x)-अक्ष यानी (y=0) से जुड़े होते हैं। (y=2) से प्रतिच्छेद शून्यक नहीं बताता। / Zeroes are linked only with the (x)-axis where (y=0). Intersections with (y=2) do not show zeroes.
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If \(p(x)=4x\), at which point does its graph intersect the x-axis?
A. (0,0)
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद के लिये बहुपद के शून्य खोजें: \(p(x)=0\) । यहाँ \(4x=0\) से \(x=0\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((0,0)\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((4,0)\) गलत है क्योंकि \(p(4)=4\times4=16\) शून्य नहीं है। विकल्प \((0,4)\) को भ्रमित करने से बचें — वह y-अक्ष पर बिंदु है (यदि \(p(0)=4\) होता)। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का x-अक्ष पर प्रतिच्छेद खोजने के लिये \(p(x)=0\) करके x के मान निकालें और उत्तर को \((x,0)\) रूप में लिखें। / To find intersection with the x-axis, set the polynomial equal to zero: \(p(x)=0\). Here \(4x=0\) gives \(x=0\), so the intersection point is \((0,0)\). The closest distractor \((4,0)\) is incorrect because \(p(4)=4\times4=16\), not zero. \((0,4)\) is a y-value confusion (it would be the point \((0,y)\) if \(p(0)=4\)). Exam tip: always solve \(p(x)=0\) for x and report the intercept as \((x,0)\).
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A. (k(x-m)(x-n)), जहाँ \(k\neq0\)(k(x-m)(x-n)), where \(k\neq0\)
शून्यक (m) और (n) के लिए गुणनखंड ((x-m)) और ((x-n)) होते हैं। गैर शून्य गुणक शून्यक नहीं बदलता। / For zeroes (m) and (n), the factors are ((x-m)) and ((x-n)). A non-zero multiplier does not change zeroes.
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If the graph of a polynomial intersects the x-axis at \((2.5,0)\), what is the corresponding zero?
A. 2.5
शून्यक (zero) वह x‑मान होता है जहाँ फंक्शन का मान शून्य होता है। x‑अक्ष पर कटने का बिंदु \((2.5,0)\) बताता है कि f(2.5)=0, अतः शून्यक संख्या \(2.5\) है। विकल्प B बिंदु है न कि शून्यक; विकल्प C केवल y‑मान (0) है; विकल्प D में निर्देशांक उल्टे हैं। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर इंटरसेप्ट का पहले घटक ही शून्यक होता है — यानी अगर बिंदु \((a,0)\) है तो शून्यक \(a\) है। / A zero of a polynomial is the x‑value where the function equals zero. The intercept \((2.5,0)\) means \(f(2.5)=0\), so the zero is the number \(2.5\). Option B is the coordinate point (not the numerical root); C is the y‑value 0; D has the coordinates reversed. Exam tip: when the graph meets the x‑axis at \((a,0)\), the zero (root) is the x‑coordinate \(a\).
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If p(x)=x-2-2x-8, at which points does its graph intersect the x-axis?
A. (-2,0) और (4,0)
x-अक्ष पर मिलने के लिये p(x)=0 होना चाहिए। इसलिए \(x^2-2x-8=0\) इसे गुणनखण्डित करें: \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\)। अतः \(x=4\) और \(x=-2\)। इसलिए x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदु (-2,0) और (4,0) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह जड़ें x=2 और x=-4 देता है जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करतीं; विकल्प C साथों (y)-अक्ष पर बिंदु दिखा रहा है; विकल्प D यादृच्छिक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदने के बिंदु पाने के लिये हमेशा p(x)=0 रखें और गुणनखंड या द्विघाती सूत्र से हल करें। / To meet the x-axis we set p(x)=0. So \(x^2-2x-8=0\). Factorizing gives \(x^2-2x-8=(x-4)(x+2)\). Thus \(x=4\) and \(x=-2\), so the intersection points are (-2,0) and (4,0). Option B is incorrect because it corresponds to roots x=2 and x=-4 which do not satisfy the equation; option C lists points on the y-axis; option D is unrelated. Exam tip: Always set p(x)=0 to find x-intercepts and solve by factoring or the quadratic formula to avoid sign mistakes.
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A. तीनThree
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
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If the graph of a polynomial touches the (x)-axis at \(\frac{1}{2}\), which statement is correct?
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है\(\frac{1}{2}\) is a zero
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है। / A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
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The graph intersects the x-axis at \(-\sqrt{3}, 0\). What is the zero of the polynomial?
A. -\sqrt{3}
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए ग्राफ x‑अक्ष को काटता (y = 0)। प्रतिच्छेद \(-\sqrt{3},0\) में x‑निर्देशांक -\sqrt{3} है, इसलिए शून्यक -\sqrt{3} होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि संकेत विपरीत है; विकल्प C केवल y‑निर्देशांक (यहाँ 0) है, जो शून्यक नहीं है; विकल्प D पूरे बिंदु को दर्शाता है, जबकि शून्यक एक मात्रांक (x‑मान) होता है। परीक्षा सुझाव: x‑अक्ष का प्रतिच्छेद हमेशा (x,0) के रूप में लिखें — शून्यक वही x होगा। / A zero of a polynomial is the x‑value where its graph meets the x‑axis (y = 0). The intercept \(-\sqrt{3}, 0\) has x‑coordinate -\sqrt{3}, so the zero is -\sqrt{3}. Option B has the wrong sign; option C is the y‑coordinate (0) not the x‑value; option D gives the ordered pair, not the zero (a single x‑value). Exam tip: remember x‑axis intercepts are of the form (x,0); the zero is the x in that pair.
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Which statement is geometrically incorrect?
A. हर (y)-प्रतिच्छेद शून्यक होता हैEvery (y)-intercept is a zero
शून्यक (x)-अक्ष से संबंधित है न कि सामान्य (y)-प्रतिच्छेद से। (y)-प्रतिच्छेद तभी शून्यक देगा जब वह मूल बिंदु हो। / A zero is related to the (x)-axis not a general (y)-intercept. A (y)-intercept gives a zero only if it is the origin.
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If \(p(x)=x^2+6x+10\), what will be the relation of its graph to the x-axis?
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मालेगाIt will not meet the x-axis
\(p(x)=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) है, जो हर वास्तविक \(x\) के लिये धनात्मक है (न्यूनतम मान \(1\) पर होता है)। द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0\) है, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है और ग्राफ \(x\)-अक्ष को नहीं काटेगा। नज़दीकी भ्रामक विकल्प “एक बार छुएगा” तब सही होता जब \(\Delta=0\) (एक द्विगुण मूल) — यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा संकेत: ग्राफ के x-अक्ष से सम्बन्ध जानने के लिए या तो \(\Delta\) निकालें या वर्टेक्स का y-मान देखें; यदि वर्टेक्स का y-मान >0 और परबोला ऊपर खुलती है तो कोई वास्तविक शून्य नहीं होगा। / Write \(p(x)=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\), which is always positive with minimum value 1 at the vertex \((-3,1)\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0\), so there are no real zeros and the parabola does not meet the x-axis. The closest distractor “touch once” would mean \(\Delta=0\) (a repeated root), which is not the case here. Exam tip: compute \(\Delta\) or check the vertex's y-coordinate — either quickly tells you whether real x-intercepts exist.
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If \(p(x)=2x^2-8\), at which x-values will its graph cut the x-axis?
A. (-2) और (2)(-2) and (2)
x-अक्ष पर कटने के लिए शून्य ढूँढिए: \(p(x)=0\Rightarrow 2x^2-8=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). इसलिए शून्यक (-2) और (2) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह तब मिलेगा जब गलत तरीके से \(x^2=16\) मान लिया जाए; C गलत है क्योंकि नकारात्मक मूल को छोड़ दिया गया है; D केवल एक सकारात्मक मान बताता है जो अधूरा और गलत है। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और समिकरण को फैक्टर या वर्गमूल की विधि से हल करें (यहाँ \(2(x-2)(x+2)=0\)). / For x-intercepts set the polynomial to zero: \(p(x)=0\Rightarrow 2x^2-8=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\). Hence the zeros are -2 and 2. Option B is incorrect (it would follow from the erroneous equation \(x^2=16\)); C omits the negative root; D gives only one value and is incomplete. Exam tip: Always start with \(p(x)=0\) and factor or take square roots (here \(2(x-2)(x+2)=0\)).
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If a graph cuts the (x)-axis at (-7) and (-2), what are the solutions of (p(x)=0)?
A. (-7) और (-2)(-7) and (-2)
(p(x)=0) के हल वही हैं जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। इसलिए दिए गए दोनों (x)-मान हल हैं। / The solutions of (p(x)=0) are where the graph meets the (x)-axis. So both given (x)-values are solutions.
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A. शून्यZero
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। कोई मिलन नहीं तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं। / For a real zero the graph must meet the (x)-axis. No meeting means no real zero.
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If (p(x)=5(x+1)(x-2)(x-4)), at how many distinct points will the graph cut the (x)-axis?
A. तीनThree
गुणनखंडों से शून्यक (-1), (2), और (4) हैं। तीन अलग शून्यक तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद देते हैं। / The factors give zeroes (-1), (2), and (4). Three distinct zeroes give three distinct (x)-intercepts.
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A. x=9 शून्यक हैx=9 is a zero
बिंदु \\((9,0)\\) x-अक्ष पर है, अतः बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। यदि ग्राफ किसी बहुपद p(x) का है तो \\((p(9)=0)\\) होगा — इसका अर्थ है कि x=9 उस बहुपद का शून्यक (root) है। प्रश्न में ऊपर से नीचे क्रॉस होना संकेत देता है कि बहुपद का मान उस बिंदु पर साइन बदलता है (positive से negative) — यह केवल x-अक्ष पर मौजूद सामान्य बिंदु होने का बयान (विकल्प D) गलत ठहराता है; विकल्प C भी गलत है क्योंकि वहाँ y=0 होना चाहिए न कि 9। परीक्षा-टिप: किसी भी बिंदु के शून्यक होने की जाँच के लिए बिंदु का y-निर्देशांक देखें — यदि y=0 तो संबंधित x मान root है। / The point \\((9,0)\\) lies on the x-axis, so its y-coordinate is zero. For a graph of a polynomial p(x), this means \\((p(9)=0)\\) — therefore x=9 is a root (zero) of the polynomial. The fact that the curve goes from above to below shows a sign change at x=9 (crossing the axis). Option D is wrong because a point on the x-axis with y=0 is by definition a zero; option C is wrong because it asserts p(9)=9 whereas the y-value is 0. Exam tip: always check the y-coordinate — if y=0 the corresponding x is a zero of the polynomial.
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If the graph of \(p(x)=x^2-11x+30\) is drawn, at which points does it intersect the x-axis?
A. \((5,0)\) और \((6,0)\)\((5,0)\) and \((6,0)\)
\(p(x)=x^2-11x+30\) को गुणनखण्डों में लिखें: \(x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\). इसलिए शून्य तब होगा जब \(x-5=0\) या \(x-6=0\), अर्थात् \(x=5\) और \(x=6\)। ग्राफ \(x\)-अक्ष को बिंदु \((5,0)\) और \((6,0)\) पर काटता है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B है जिसमें संकेत उल्टा दिया गया है (\(-5,-6\) नहीं)। विकल्प C \(y\)-अक्ष पर बिंदु दर्शाता है (\(x=0\)) और D में दिए गए अंक पद के गुणांक/स्थायी पद हैं, वे जड़ें नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: किसी द्विघात को तेज़ी से जाँचने के लिए गुणनखण्ड निकालें या मूलों का योग व गुणन (\(\alpha+\beta=11,\;\alpha\beta=30\)) सत्यापित करें। / Factorise: \(p(x)=x^2-11x+30=(x-5)(x-6)\). Hence the roots are \(x=5\) and \(x=6\), so the graph meets the x-axis at \((5,0)\) and \((6,0)\). The closest distractor B flips the signs (\(-5,-6\)), which would give sum \(-11\) not \(+11\). Option C lists points on the y-axis (\(x=0\)), and D uses the constant and coefficient values which are not the roots. Exam tip: quickly check factorisation or use sum/product of roots \((\alpha+\beta=11,\;\alpha\beta=30)\) to confirm answers.
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A. वास्तविक शून्यकों की संख्या प्रतिच्छेदों की संख्या के बराबर होती हैThe number of real zeroes equals the number of intersection points
ज्यामितीय अर्थ में हर (x)-अक्ष प्रतिच्छेद एक वास्तविक शून्यक देता है। द्विघात में वास्तविक शून्यक (0), (1), या (2) हो सकते हैं। / Geometrically each (x)-axis intersection gives one real zero. A quadratic may have (0), (1), or (2) real zeroes.
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