यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानकर \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो (p) के सम होने का सबसे सटीक कारण क्या है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, what is the most precise reason that (p) is even?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#prime-divisibility
A \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
B (q) हमेशा सम होता है / (q) is always even
C हर वर्ग संख्या सम होती है / Every square number is even
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
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Correct Answer
A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। / Since (2) is prime, \(2\mid p\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए। / In such proofs, state the prime-factor rule clearly.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया। यहाँ (a) और (b) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
When \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), why are (a) and (b) taken coprime?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#coprime
A क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
B क्योंकि (a) और (b) हमेशा अभाज्य होते हैं / Because (a) and (b) are always prime
C क्योंकि (a=b) होना जरूरी है / Because (a=b) is necessary
D क्योंकि (b=0) होना चाहिए / Because (b=0) is required
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Correct Answer
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Later, getting a common factor contradicts this condition.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) और (x,y) सहअभाज्य हैं, तो \(x^2=5y^2\) से कौन-सा निष्कर्ष तुरंत निकलता है?
If \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) and (x,y) are coprime, which conclusion follows immediately from \(x^2=5y^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#proof-step
A \(5\mid x\)
B \(5\mid y\) तुरंत / \(5\mid y\) immediately
C (x=y)
D (y=5)
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Correct Answer
A. \(5\mid x\)
Step 1
Concept
\(x^2=5y^2\) बताता है कि \(x^2\) में (5) गुणनखंड है। / \(x^2=5y^2\) shows that \(x^2\) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (x) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (x) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले (x) पर निष्कर्ष निकालें, फिर (y) पर जाएँ। / Conclude about (x) first, then move to (y).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p=2r) रखने के बाद कौन-सा समीकरण सही बनता है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2r), which equation is correct?
#real-numbers
#root2
#substitution
#algebra
A \(q^2=2r^2\)
B \(q^2=r^2\)
C \(p^2=q^2\)
D \(q=2r^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=2r^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। / Put (p=2r) in \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। / Then \(4r^2=2q^2\), so \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है। / This step completes the proof that (q) is even.
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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यदि \(5\mid x^2\) है, तो \(5\mid x\) क्यों माना जाता है?
If \(5\mid x^2\), why is \(5\mid x\) concluded?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#divisibility
A क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि हर संख्या (5) से विभाज्य है / Because every number is divisible by (5)
D क्योंकि \(x^2=x\) होता है / Because \(x^2=x\)
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Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। / If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है। / This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाएँ, तो कौन-सा अंतिम निष्कर्ष उचित है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are proved even, which final conclusion is appropriate?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#contradiction
A आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\frac{p}{q}\) शून्य है / \(\frac{p}{q}\) is zero
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Correct Answer
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। / But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने पर आगे कौन-सा सही निष्कर्ष मिलेगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), which correct conclusion follows?
#real-numbers
#root3
#substitution
#common-factor
A \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
B \(b^2=k^2\), इसलिए (b=k) / \(b^2=k^2\), so (b=k)
C (b=3a), इसलिए (b) (3) से विभाज्य है / (b=3a), so (b) is divisible by (3)
D (a=b), इसलिए दोनों बराबर हैं / (a=b), so both are equal
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Correct Answer
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। / From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है। / This shows (3) in both numerator and denominator.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय (x=5m) रखने के बाद (y) पर निष्कर्ष निकालने के लिए किस बात की जरूरत होती है?
While proving \(\sqrt{5}\) irrational, after putting (x=5m), what is needed to conclude about (y)?
#real-numbers
#root5
#prime-rule
#proof
A \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम / The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
B (y=0) मान लेना / Assuming (y=0)
C (x=y) लिखना / Writing (x=y)
D (5) को सम मानना / Treating (5) as even
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Correct Answer
A. \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम / The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
Step 1
Concept
(x=5m) रखने पर \(y^2=5m^2\) मिलता है। / Putting (x=5m) gives \(y^2=5m^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(5\mid y^2\) और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) मिलता है। / Hence \(5\mid y^2\), and by the prime-factor rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम साझा गुणनखंड देता है। / This gives the final common factor.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत तर्क दिखाता है?
Which option shows an incorrect argument in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / \(p^2=2q^2\) implies \(p^2\) is even
C (p) सम है तो (p=2r) / If (p) is even, then (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) से (q) सम है / \(q^2=2r^2\) implies (q) is even
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Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। / If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें। / In error-based questions, check small rules carefully.
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