यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन-सा असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
#hard
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (p) विषम और (q) सम हो / (p) is odd and (q) is even
C (p) और (q) अलग-अलग हों / (p) and (q) are different
D (p) धनात्मक और (q) धनात्मक हों / (p) and (q) are positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\).
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उचित अंतिम वाक्य है?
Which option gives a proper final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
#hard
A अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}\) एक पूर्ण वर्ग है / Hence \(\sqrt{3}\) is a perfect square
C अतः (3) परिमेय नहीं है / Hence (3) is not rational
D अतः हर संख्या अपरिमेय है / Hence every number is irrational
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Correct Answer
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। / The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। / Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(p^2=5q^2\) और \(5\mid p\), तो (p=5k) रखने के बाद \(q^2\) किसके बराबर होगा?
If \(p^2=5q^2\) and \(5\mid p\), after putting (p=5k), what will \(q^2\) equal?
#real-numbers
#root5
#algebra
#proof-step
#hard
A \(5k^2\)
B \(25k^2\)
C \(k^2\)
D \(\frac{k^2}{5}\)
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Correct Answer
A. \(5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। / Putting (p=5k) gives \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(25k^2=5q^2\), इसलिए \(q^2=5k^2\)। / Then \(25k^2=5q^2\), so \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
बीजगणितीय सरलीकरण ध्यान से करें, वरना प्रमाण टूट जाता है। / Simplify algebra carefully, or the proof will break.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा गुण सीधे (2) के अभाज्य होने से जुड़ा है?
Which property in the proof of \(\sqrt{2}\) is directly connected with (2) being prime?
#real-numbers
#root2
#prime-property
#divisibility
#hard
A यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\) / If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
B यदि \(2\mid p\), तो (p=1) / If \(2\mid p\), then (p=1)
C यदि \(p^2=2q^2\), तो (q=0) / If \(p^2=2q^2\), then (q=0)
D यदि (p) सम है, तो (p) अभाज्य है / If (p) is even, then (p) is prime
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Correct Answer
A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\) / If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
Step 1
Concept
(2) अभाज्य संख्या है। / (2) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। / If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).
Step 3
Exam Tip
इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है। / Writing this rule makes the proof logical.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
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Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) में (p,q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम निकलना किस बात का संकेत है?
If (p,q) are coprime in \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), what does it indicate when both (p) and (q) turn out even?
#real-numbers
#root2
#coprime
#evenness
#hard
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B भिन्न सबसे सरल है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
D (p) और (q) में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / (p) and (q) have no common factor
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Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Hence the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (p=3k) है, तो \(p^2\) किसके बराबर होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if (p=3k), what is \(p^2\) equal to?
#real-numbers
#root3
#squaring
#algebra
#hard
A \(9k^2\)
B \(3k^2\)
C (6k)
D \(k^2+3\)
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Correct Answer
A. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर (p-2 =(3k)2 ) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives (p-2 =(3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। / Therefore \(p^2=9k^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है। / Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next.
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किस विकल्प से स्पष्ट होता है कि \(\sqrt{5}\) परिमेय मानना गलत है?
Which option clearly shows that assuming \(\sqrt{5}\) rational is wrong?
#real-numbers
#root5
#rational-assumption
#contradiction
#hard
A सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
B (5) एक धनात्मक संख्या है / (5) is a positive number
C \(\sqrt{5}\) का दशमलव रूप लंबा है / The decimal form of \(\sqrt{5}\) is long
D (5) विषम संख्या है / (5) is an odd number
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Correct Answer
A. सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) सबसे सरल रूप में लिया जाता है। / Assuming rationality, \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both (a) and (b) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए मान्यता गलत है। / This cannot happen in lowest form, so the assumption is false.
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कौन-सा विकल्प पूर्ण वर्ग न होने के कारण अपरिमेय वर्गमूल का सही उदाहरण है?
Which option is a correct example of an irrational square root because it is not a perfect square?
#real-numbers
#root5
#perfect-square
#irrationality
#hard
A \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{4}\)
C \(\sqrt{9}\)
D \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
(4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। / (4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / (5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / In options, identify perfect squares first.
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यदि \(\sqrt{2}\) का प्रमाण लिखते समय छात्र \(q\neq0\) नहीं लिखता, तो क्या कमी रह जाती है?
If a student does not write \(q\neq0\) while proving \(\sqrt{2}\) irrational, what is missing?
#real-numbers
#root2
#rational-form
#proof-writing
#hard
A परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है / The necessary condition of the rational form is incomplete
B प्रमाण में (p) सम नहीं हो सकता / (p) cannot be even in the proof
C \(\sqrt{2}\) अपने आप पूर्णांक बन जाती है / \(\sqrt{2}\) automatically becomes an integer
D वर्ग करना असंभव हो जाता है / Squaring becomes impossible
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Correct Answer
A. परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है / The necessary condition of the rational form is incomplete
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\) हो। / \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय रूप लिखते समय यह शर्त जरूरी है। / This condition is necessary when writing the rational form.
Step 3
Exam Tip
छोटी शर्तें भी प्रमाण को पूर्ण बनाती हैं। / Small conditions make the proof complete.
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