कौन-सी संख्या का वर्गमूल \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) जैसे प्रमाणों में अपरिमेय सिद्ध होता है?
Which type of square root is proved irrational in proofs like those for \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#prime-roots
#concept
#hard
A ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
B किसी भी सम संख्या का वर्गमूल / The square root of any even number
C किसी भी विषम संख्या का वर्गमूल / The square root of any odd number
D हर प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल / The square root of every natural number
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Correct Answer
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। / Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें। / Understand the difference between a perfect square and a prime number.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और (p=3r), तो आगे कौन-सा सही समीकरण बनेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and (p=3r), what correct equation follows next?
#real-numbers
#root3
#substitution
#proof-step
#hard
A \(q^2=3r^2\)
B \(q^2=r^2\)
C \(p^2=q^2\)
D \(3q^2=r^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3r) रखने पर \(9r^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3r^2\)। / Substituting (p=3r) gives \(9r^2=3q^2\), so \(q^2=3r^2\).
Step 3
Exam Tip
इस रूप से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता खुलता है। / This shows the path to proving (q) is divisible by (3).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (a=5k) रखा जाए, तो (b) के बारे में क्या सिद्ध होता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if (a=5k), what is proved about (b)?
#real-numbers
#root5
#substitution
#contradiction
#hard
A (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b) (25) से अवश्य विभाज्य है / (b) must be divisible by (25)
D (b) शून्य है / (b) is zero
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Correct Answer
A. (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है। / This is the final step against coprimality.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which option is an incorrect step in the proof of \(\sqrt{2}\) being irrational?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#proof
#hard
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है / From \(p^2=2q^2\), (p) is even
B (p) सम है तो (p=2k) लिखा जा सकता है / If (p) is even, (p=2k) can be written
C \(q^2=2k^2\) से (q) सम है / From \(q^2=2k^2\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
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Correct Answer
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। / After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ। / In error-identification questions, match every step with the equation.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{r}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what conclusion is used in proving the irrationality of \(\sqrt{r}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-divisibility
#irrationality
#hard
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(r^2\mid x\)
D (x) अवश्य (1) है / (x) must be (1)
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Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। / Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है। / This general rule works for the proofs of (2,3,5).
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही क्रम दिया गया है?
Which option gives the correct order of proof for the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#hard
A मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
B पहले \(5\mid b\), फिर \(\sqrt{5}=a+b\) / First \(5\mid b\), then \(\sqrt{5}=a+b\)
C मानें \(\sqrt{5}=a\), फिर (a=5b) / Assume \(\sqrt{5}=a\), then (a=5b)
D पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
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Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। / The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। / Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है। / Keeping the order correct makes the proof clear.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम क्यों माना जाता है?
Why is (p) considered even when \(p^2\) is even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
#hard
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या का वर्ग सम होता है / Because the square of every number is even
C क्योंकि सम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an even number is odd
D क्योंकि \(p^2\) हमेशा (p) से छोटा होता है / Because \(p^2\) is always smaller than (p)
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Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है। / This parity fact is very important in the proof.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो उसे किस रूप में सही तरह लिखा जाता?
If \(\sqrt{3}\) were rational, in which form would it be correctly written?
#real-numbers
#root3
#rational-form
#definition
#hard
A \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\)
C \(\sqrt{3}=p+q\), जहाँ (p,q) दशमलव हैं / \(\sqrt{3}=p+q\), where (p,q) are decimals
D \(\sqrt{3}=3p\), जहाँ (p) कोई भी संख्या है / \(\sqrt{3}=3p\), where (p) is any number
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। / The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें। / Write this complete form at the beginning of the proof.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान है?
Which statement is common to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#common-method
#hard
A परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
B हर प्रमाण में अंश और हर दोनों सम होते हैं / In every proof, numerator and denominator both become even
C हर प्रमाण में (2) साझा गुणनखंड बनता है / In every proof, (2) becomes the common factor
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है / In every proof, the square root becomes an integer
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Correct Answer
A. परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में संख्या को पहले परिमेय माना जाता है। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है। / Then the related prime number is forced to divide both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
समान ढाँचा समझने से तीनों प्रमाण आसानी से याद रहते हैं। / Understanding this common structure makes all three proofs easier to remember.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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