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Mathematics Proof of irrationality of √2, √3, √5 MCQ Questions for Class 10

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Proof of irrationality of √2, √3, √5 Practice Questions

Showing 401-410 of 600 questions.

Question 401/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास मुख्य रूप से किस बात से आता है?

If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction mainly come from?

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Correct Answer

A. (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं(p) and (q) both become even

Step 1

Concept

\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। / So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / In exams, remember that coprime numbers cannot both be even.

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Question 402/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?

Which statement is most essential in proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

B. यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगाIf (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)

Step 1

Concept

\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। / The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).

Step 3

Exam Tip

अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है। / Writing this prime-number property clearly helps in scoring well.

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Question 403/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?

If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) and (a,b) are coprime, what is the first correct conclusion from \(a^2=5b^2\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)

Step 1

Concept

समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).

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Question 404/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद कौन-सा निष्कर्ष मिलता है?

In the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational, what conclusion is obtained after putting (p=2k)?

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Correct Answer

A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है\(q^2=2k^2\), so (q) is even

Step 1

Concept

\(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। / Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.

Step 3

Exam Tip

यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है। / This second evenness completes the contradiction.

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Question 405/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

किस कारण से \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) मानना अंत में गलत सिद्ध होता है, जब (m,n) सहअभाज्य लिए गए हों?

Why is the assumption \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) finally proved wrong when (m,n) are taken coprime?

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Correct Answer

A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं(m) and (n) both turn out divisible by (3)

Step 1

Concept

\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। / This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).

Step 3

Exam Tip

सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.

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Question 406/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि किसी छात्र ने लिखा कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) पूर्ण संख्या है, तो सही सुधार क्या होगा?

If a student writes that \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is a whole number, what is the correct correction?

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Correct Answer

A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होताThe square root of a whole number is not always rational

Step 1

Concept

(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.

Step 2

Why this answer is correct

(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.

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Question 407/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में लेना क्यों जरूरी है?

Why is it necessary to take \(\frac{p}{q}\) in lowest form while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?

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Correct Answer

A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बनेSo that getting a common factor at the end becomes a contradiction

Step 1

Concept

परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। / The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.

Step 3

Exam Tip

शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है। / Always mention coprime at the start of the proof.

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Question 408/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

कौन-सा तर्क सीधे सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता?

Which argument directly proves that \(\sqrt{3}\) cannot be rational?

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Correct Answer

A. मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैंOn assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)

Step 1

Concept

\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। / Taking \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। / This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.

Step 3

Exam Tip

यही बात सहअभाज्यता से टकराती है। / That contradicts the condition of being coprime.

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Question 409/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

यदि \(a^2\) (5) से विभाज्य है, तो (a) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?

If \(a^2\) is divisible by (5), what conclusion about (a) is correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. (a) (5) से विभाज्य है(a) is divisible by (5)

Step 1

Concept

(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। / If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.

Step 3

Exam Tip

यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है। / This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\).

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Question 410/600 Hard Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 18

\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद \(p^2=2q^2\) लिखते समय कौन-सी शर्त नहीं भूलनी चाहिए?

After assuming \(\sqrt{2}\) rational and writing \(p^2=2q^2\), which condition must not be forgotten?

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Correct Answer

A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\)(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)

Step 1

Concept

परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).

Step 2

Why this answer is correct

प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। / The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.

Step 3

Exam Tip

यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है। / This condition is what creates the contradiction later.

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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास मुख्य रूप से किस बात से आता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद कौन-सा निष्कर्ष मिलता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस कारण से \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) मानना अंत में गलत सिद्ध होता है, जब (m,n) सहअभाज्य लिए गए हों?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी छात्र ने लिखा कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) पूर्ण संख्या है, तो सही सुधार क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में लेना क्यों जरूरी है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

कौन-सा तर्क सीधे सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(a^2\) (5) से विभाज्य है, तो (a) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद \(p^2=2q^2\) लिखते समय कौन-सी शर्त नहीं भूलनी चाहिए?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

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