यदि \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कोई \(a^2=2b^2\) से सीधे (b) सम लिखे, तो गलती क्या है?
If someone writes (b) is even directly from \(a^2=2b^2\) in the proof of \(\sqrt{2}\), what is the mistake?
#sqrt2 proof
#error spotting
#hard
#class 10
A पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है / First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
B (b) कभी सम नहीं हो सकता / (b) can never be even
C (2) अभाज्य नहीं है / (2) is not prime
D (b=0) होना चाहिए / (b) must be (0)
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Correct Answer
A. पहले (a) सम सिद्ध कर (a=2k) रखना जरूरी है / First (a) must be proved even and (a=2k) must be substituted
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से तुरंत \(a^2\) और फिर (a) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\), then (a), is proved even.
Step 2
Why this answer is correct
(b) को सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) रखना पड़ता है। / To prove (b) even, (a=2k) must be substituted.
Step 3
Exam Tip
सीधे (b) पर जाना प्रमाण की क्रम-गलती है। / Jumping directly to (b) is an order error.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात को उजागर करता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). What does this reveal?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}=5\) था / \(\sqrt{5}=5\)
C \(\frac{p}{q}\) शून्य थी / \(\frac{p}{q}\) was zero
D (q=0) था / (q=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं थी / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती, जो विरोधाभास है। / Therefore it cannot be in lowest form, which is the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता की सिद्धि को सही ढंग से पूरा करता है?
Which option correctly completes the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#completion
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
B \(\sqrt{3}=3\), इसलिए सिद्धि पूरी / \(\sqrt{3}=3\), so the proof is complete
C (q=0), इसलिए विरोधाभास है / (q=0), so there is contradiction
D (p=q), इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / (p=q), so \(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है / Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है। / This contradiction completes the proof.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय मानने पर \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं रह पाती, तो निष्कर्ष क्या होगा?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational makes \(\frac{a}{b}\) not remain in lowest form, what is the conclusion?
#sqrt2 proof
#rational assumption
#hard
#class 10
A परिमेय मान्यता गलत है / The rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C (b=0) है / (b=0)
D (a=b) है / (a=b)
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Correct Answer
A. परिमेय मान्यता गलत है / The rational assumption is false
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप माना गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was assumed in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रमाण दिखाता है कि यह घट सकती है, तो आरंभिक मान्यता असंभव है। / If the proof shows it can be reduced, the initial assumption is impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की सिद्धि में सही पहचान कराता है?
Which option correctly identifies the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#proof identification
#hard
#class 10
A वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
B वर्ग करने के बाद \(p^2=2q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (2) मिलता है / After squaring, \(p^2=2q^2\) is formed and common factor (2) is found
C वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है / After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found
D \(\sqrt{3}=9\) लिखकर प्रमाण पूरा होता है / The proof is completed by writing \(\sqrt{3}=9\)
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Correct Answer
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है / After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। / Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है। / This identifies the proof of \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(a^2=2b^2\) से (a=2k) मिलता है, तो (k) के बारे में क्या सही है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2k) is obtained from \(a^2=2b^2\), what is true about (k)?
#sqrt2 proof
#integer parameter
#hard
#class 10
A (k) पूर्णांक है / (k) is an integer
B (k) अपरिमेय है / (k) is irrational
C (k=0) ही है / (k) is only (0)
D \(k=\sqrt{2}\) है / \(k=\sqrt{2}\)
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Correct Answer
A. (k) पूर्णांक है / (k) is an integer
Step 1
Concept
(a) पूर्णांक है और सम सिद्ध हुआ है। / (a) is an integer and has been proved even.
Step 2
Why this answer is correct
सम पूर्णांक को (2k) के रूप में लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक होता है। / An even integer is written as (2k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
नए अक्षर का प्रकार स्पष्ट लिखना प्रमाण को मजबूत बनाता है। / Clearly mentioning the type of the new variable strengthens the proof.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में गलत कारण के साथ सही कथन देता है?
Which option gives a true statement with a wrong reason in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#wrong reason
#hard
#class 10
A (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5) because \(p^2=5q^2\) makes \(p^2\) divisible by (5)
B (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / (p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
C (q) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(q^2=5k^2\) / (q) is divisible by (5) because \(q^2=5k^2\)
D (p) और (q) सहअभाज्य माने गए हैं / (p) and (q) are assumed coprime
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Correct Answer
B. (p) (5) से विभाज्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) धनात्मक है / (p) is divisible by (5) because \(\sqrt{5}\) is positive
Step 1
Concept
(p) का (5) से विभाज्य होना सही निष्कर्ष हो सकता है। / (p) being divisible by (5) can be a true conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
पर इसका कारण \(\sqrt{5}\) का धनात्मक होना नहीं है। / But its reason is not the positivity of \(\sqrt{5}\).
Step 3
Exam Tip
सही कारण \(p^2=5q^2\) और (5) का अभाज्य होना है। / The correct reason is \(p^2=5q^2\) and (5) being prime.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3k) रखने का उद्देश्य क्या है?
What is the purpose of substituting (p=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#substitution purpose
#hard
#class 10
A (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (3)
B (p=q) सिद्ध करना / To prove (p=q)
C \(\sqrt{3}=3\) सिद्ध करना / To prove \(\sqrt{3}=3\)
D (q=0) सिद्ध करना / To prove (q=0)
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Correct Answer
A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) को समीकरण में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substituting (p=3k) in the equation gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (3).
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों में सबसे बड़ा सामान्य भ्रम है?
Which statement is the biggest common misconception in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common misconception
#square root
#hard
#class 10
A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B परिमेय मानकर शुरुआत करना / Starting by assuming rationality
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D सहअभाज्य शर्त लिखना / Writing the coprime condition
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Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही प्रमाण में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है। / In the correct proof, rationality is assumed and fraction form is taken.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल और उसके अंदर की संख्या को एक जैसा न मानें। / Do not treat the square root and the number inside as the same.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (q) के (5) से विभाज्य होने तक सही रास्ता दिखाता है?
Which option shows the correct route to prove (q) divisible by (5) in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#step chain
#hard
#class 10
A \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
B \(p^2=5q^2\), (q=5k), (p=5q)
C \(p^2=5q^2\), (p=q), (q=5)
D \(p^2=5q^2\), (q=0)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\), (p=5k), \(25k^2=5q^2\), \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से (p=5k) मिलता है। / From \(p^2=5q^2\), (p=5k) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
रखने पर \(25k^2=5q^2\) और फिर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substitution gives \(25k^2=5q^2\), then \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
तब (q) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / Then (q) is proved divisible by (5).
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