\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। यदि (p) विषम माना जाए, तो क्या समस्या होगी?
In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2=2q^2\) shows \(p^2\) is even. If (p) is assumed odd, what problem occurs?
#real-numbers
#root2
#parity
#logical-reasoning
A विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए / The square of an odd number should be odd
B विषम संख्या का वर्ग शून्य होता है / The square of an odd number is zero
C विषम संख्या का वर्ग हमेशा (2) होता है / The square of an odd number is always (2)
D विषम संख्या का वर्ग परिभाषित नहीं होता / The square of an odd number is undefined
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Correct Answer
A. विषम संख्या का वर्ग विषम होना चाहिए / The square of an odd number should be odd
Step 1
Concept
विषम पूर्णांक का वर्ग हमेशा विषम होता है। / The square of an odd integer is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(p^2\) सम है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / Here \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार (p) सम सिद्ध होता है। / Thus (p) is proved even.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंत में कौन-सी असंभव स्थिति बनती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what impossible situation would appear at the end of the proof?
#real-numbers
#root3
#impossible-result
#contradiction
A सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
B हर शून्य हो जाता / The denominator would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) सम संख्या बन जाती / (3) would become even
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य होते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both be divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / In the rational assumption, \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दोनों मिलते हैं। / The proof gives both \(3\mid p\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में यह असंभव है, इसलिए मान्यता गलत है। / This is impossible in lowest form, so the assumption is false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि कोई \(5\mid a^2\) से (a=25k) लिख दे, तो गलती क्या है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if someone writes (a=25k) from \(5\mid a^2\), what is the mistake?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#overclaim
A \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं / From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
B \(5\mid a^2\) से (a) विषम होता है / From \(5\mid a^2\), (a) is odd
C \(5\mid a^2\) से (a=0) होता है / From \(5\mid a^2\), (a=0)
D \(5\mid a^2\) से (b=5) होता है / From \(5\mid a^2\), (b=5)
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Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं / From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
Step 1
Concept
अभाज्य नियम से \(5\mid a^2\) होने पर \(5\mid a\) मिलता है। / By the prime rule, \(5\mid a^2\) gives \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a=5k) लिखना सही है, (a=25k) आवश्यक नहीं। / So (a=5k) is correct, but (a=25k) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में अतिरिक्त दावा करने से बचें। / Avoid making extra claims in proofs.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय संख्या की कौन-सी विशेषता उपयोग होती है?
Which property of rational numbers is used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#rational-number
#coprime
#proof-base
A हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
B हर परिमेय संख्या पूर्णांक होती है / Every rational number is an integer
C हर परिमेय संख्या का हर शून्य होता है / Every rational number has zero denominator
D हर परिमेय संख्या अभाज्य होती है / Every rational number is prime
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Correct Answer
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है। / This property is used to create the contradiction.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2m) और (q=2n) एक साथ मिलना क्यों असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, why is it impossible to get both (p=2m) and (q=2n)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#multiple-form
A क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (2) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (2) अभाज्य नहीं रहेगा / Because then (2) will not remain prime
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Correct Answer
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। / (p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। / (q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं। / Together, they give a common factor against coprimality.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा कथन अनावश्यक है?
Which statement is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#unnecessary-step
#proof-writing
A \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=3q^2\) बनाना / Forming \(p^2=3q^2\)
D \(3\mid p\) और \(3\mid q\) दिखाना / Showing \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण परिमेय मान्यता, वर्ग और अभाज्य विभाज्यता पर आधारित है। / The proof is based on rational assumption, squaring, and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनावश्यक दशमलव लिखने से बचें। / Avoid unnecessary decimals in exams.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस प्रकार का परिणाम है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) are found divisible by (5). What type of result is this?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#result-type
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिभाषा / Ordinary definition
C दशमलव विस्तार / Decimal expansion
D पूर्ण वर्ग परिणाम / Perfect-square result
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Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है और परिमेय मान्यता गलत होती है। / Therefore this is a contradictory result, and the rational assumption is false.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय मानी जाए और अंत में (p,q) दोनों सम निकलें, तो कौन-सा निष्कर्ष तार्किक है?
If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and finally both (p,q) turn out even, which conclusion is logical?
#real-numbers
#root2
#logical-conclusion
#contradiction
A मान्यता सही है / The assumption is correct
B मान्यता गलत है / The assumption is false
C (q=0) है / (q=0)
D \(\sqrt{2}=2\) है / \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
B. मान्यता गलत है / The assumption is false
Step 1
Concept
(p,q) को सरलतम रूप में सहअभाज्य माना गया था। / (p,q) were assumed coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बनता है। / Both being even makes (2) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(3\mid p\) and then \(3\mid q\), which statement would be false?
#real-numbers
#root3
#false-statement
#coprime
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are both divisible by (3)
B (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
C (3) साझा गुणनखंड है / (3) is a common factor
D \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
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Correct Answer
B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। / \(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। / With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime becomes false.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के लिए सबसे अच्छा परीक्षा-सूत्र कौन-सा है?
What is the best exam formula for proving irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#exam-tip
#proof-structure
A दशमलव लिखो और उत्तर दे दो / Write the decimal and answer
B सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो / Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
C हर बार हर को शून्य रखो / Make the denominator zero every time
D हर वर्गमूल को पूर्णांक मानो / Treat every square root as an integer
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Correct Answer
B. सरलतम परिमेय रूप लो, वर्ग करो, अभाज्य विभाज्यता लगाओ, सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखो / Take lowest rational form, square, apply prime divisibility, write contradiction with coprimality
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में मानें। / First assume \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करके संबंधित अभाज्य (r) की विभाज्यता से \(r\mid p\) और \(r\mid q\) दिखाएँ। / Square and use the related prime (r) to show \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
अंत में सहअभाज्यता से विरोधाभास लिखें। / Finally write the contradiction with coprimality.
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